测量学教案第五章测量误差的基本知识Word文档下载推荐.docx
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2)若观测条件不好,则测量误差大,精度就低;
3)若观测条件相同,则可认为观测精度相同。
3、等精度观测:
在相同观测条件下进行的一系列观测。
不等精度观测:
在不同观测条件下进行的一系列观测。
4、研究误差理论的目的:
由于在测量的结果中有误差是不可避免的,研究误差理论不是为了去消灭误差,而是要对误差来源、性质及其产生和传播的规律进行研究,以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。
5、研究误差理论所解决的问题:
(1)在一系列的观测值中,确定观测量的最可靠值;
(2)如何来评定测量成果的精度,以及如何确定误差的限度等;
(3)根据精度要求,确定测量方案(选用测量仪器和确定测量方法)。
5.1.2、测量误差的分类
测量误差按其性质可分为:
系统误差;
偶然误差。
一、系统误差
1、系统误差:
在相同的观测条件下,对某一未知量进行一
系列观测,若误差的大小和符号保持不变,或按照一定的规律变化,这种误差称为系统误差。
2、系统误差产生的原因:
仪器工具上的某些缺陷;
观测者
的某些习惯的影响;
外界环境的影响。
3、系统误差的特点:
具有累积性,对测量结果影响较大,
应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。
例:
水准测量中LL//CC产生的i角误差对尺读数的影响:
即=a´
–a=Stgi
随着S的增长而加大----系统误差
系统误差对观测值的准确度(偏离真值的程度)影响很大,必须消除。
4、系统误差消减方法
1)在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
前后视距相等——水准测量中i角误差对h的影响、地球气差对h的影响及调焦所产生的影响。
盘左盘右取均值——经纬仪的CC不垂直于HH;
HH不垂直于VV;
度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。
水准测量往返观测取均值——仪器和尺垫下沉对h的影响。
2)找出产生的原因和规律,对测量结果加改正数。
例:
光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。
3)仔细检校仪器。
经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响。
二、偶然误差
1、偶然误差:
在相同的观测条件下,对某一未知量进行一系列观测,如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性,即从表面上看,误差的大小和符号均呈现偶然性,这种误差称为~。
2、产生偶然误差的原因:
主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制,如观测者的估读误差、照准误差等,以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。
3、偶然误差的规律:
偶然误差在测量过程中是不可避免的,从单个误差来看,其大小和符号没有一定的规律性,但对大量的偶然误差进行统计分析,就能发现在观测值内部却隐藏着统计规律。
偶然误差就单个而言具有随机性,但在总体上具有一定的统计规律,是服从于正态分布的随机变量。
三、偶然误差分布的表示方法
1、表格法
2、直方图法
3、误差概率分布曲线----正态分布曲线
例如:
在相同观测条件下观测了217个三角形
(见图5-J1)的内角,每一个三角形内角和的
真误差为三内角观测值的和减去180°
,
即:
Δ=α+β+γ-180°
。
将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间d△(如表5-1中的3″);
统计出每一个小区间出现的误差个数k及频率,
频率=个数k/总数n(n=217),得出统计表。
表5-1三角形内角和真误差统计表
从表5-1中可以看出,该组误差的分布表现出如下规律:
1)小误差出现的个数比大误差多;
2)绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等;
3)最大误差不超过27″。
横坐标—以偶然误差为横坐标,纵坐标—以频率d△(频率/组距)为纵坐标,在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形,各矩形的面积=误差出现在该区间的频率(Kn),所有区间的矩形构成了直方图,如图5-1所示统计表和直方图是偶然误差的实际分布。
3、误差概率分布曲线----正态分布曲线。
3、误差概率分布曲线
当直方图中:
n→∞,d△各区间的频率也就趋于一个完全确定的数值——概率。
若d△→0时,则直方图成为误差概率曲线——正态分布曲线。
它服从于正态分布。
正态分布曲线的方程式为:
式中:
△为偶然误差;
σ(>
0)称为标准差,是与观测条件有关的一个参数。
它的大小可以反映观测精度的高低。
四、偶然误差的四个特性
1、有限性:
在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值;
2、集中性:
即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大;
3、对称性:
绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同;
4、抵偿性:
当观测次数无限增多时,偶然误差的算术平均值趋近于零。
即:
在数理统计中,(5-5)式也称偶然误差的数学期望为零,用公式表示:
E(△)=0.
五、不同精度的误差分布曲线:
如图5-3:
曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。
曲线Ⅰ较陡峭,即分布比较集中,或称离散度较小,因而观测精度较高。
曲线Ⅱ较为平缓,即离散度较大,因而观测精
度较低。
如图5-3中,曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。
当△=0时,
上式是两误差分布曲线的峰值。
其中曲线Ⅰ的峰值较曲线Ⅱ的高,即σ1<
σ2,故第Ⅰ组观测的小误差出现的概率较第Ⅱ组的大。
由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1,所以当小误差出现的概率较大时,大误差出现的概率必然要小。
曲线I表现为较陡峭,即分布比较集中,或称离散度较小,因而观测精度较高。
曲线II相对来说较为平缓,即离散度较大,因而观测精度较低。
六、错误
1、测量成果中除了系统误差和偶然误差以外,还可能出现错误(有时也称之为粗差)。
2、错误产生的原因较多,可能由作业人员疏忽大意、失职而引起,如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等;
也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起;
还有可能是容许误差取值过小造成的。
错误对观测成果的影响极大,所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。
3、发现错误的方法:
进行必要的重复观测,通过多余观测条件,进行检核验算;
严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。
七、误差理论研究的主要对象——偶然误差
在测量的成果中:
错误可以发现并剔除,系统误差能够加以改正,偶然误差是不可避免的,它在测量成果中占主导地位,测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。
5-2评定精度的指标
一、精度——是指一组观测值的密集与离散程度,也可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。
例:
对A边三次丈量值为56.882,56.885,56.884后对A边丈量了三次为56.882,56.883,56.883,可以看出:
前者离散度大,精度低;
后者离散度小,精度高。
但为了准确评定观测结果的精度,需要有一些确定的指标。
二、评定精度的指标:
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
1、中误差
式(5-3)定义的标准差是衡量精度的一种指标,是理论上的表达式。
在测量实践中观测次数不可能无限多,因此实际应用中,以有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m,作为衡量精度的一种标准,计算公式为:
注意:
在一组同精度的观测值中,尽管各观测值的真误差出现的大小和符号各异,而观测值的中误差却是相同的,因为中误差反映观测的精度:
只要观测条件相同,则中误差不变。
中误差代表的是一组观测值的误差分布。
【例5-1】
有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角,得三角形的闭合差(即三角形内角和的真误差)分别为:
甲:
+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″;
乙:
+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″。
试分析两组的观测精度。
【解】用中误差公式(5-6)计算得:
从上述两组结果中可以看出,甲组的中误差较小(2.0),所以观测精度高于乙组(4.3)。
而直接从观测误差的分布来看,也可看出甲组观测的小误差比较集中,离散度较小,因而观测精度高于乙组。
在测量工作中,普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
2、相对误差
绝对误差:
有符号,并且有与观测值相同的单位的误差,被称为绝对误差。
(如真误差和中误差)用于衡量其误差与观测值大小无关的观测值的精度。
(如角度、方向等)
相对误差:
在某些测量工作中,绝对误差不能完全反映出观测的质量。
相对误差“K”——等于误差的绝对值与相应观测值的比值。
它是一个不名数,常用分子为1的分式表示,即:
相对中误差:
当误差的绝对值为中误差m的绝对值时,K称为~。
相对较差:
在距离测量中还常用往返测量结果的
相对较差来进行检核。
相对较差定义为:
相对较差是相对真误差,它反映的只是往返测的符合程度,显然,相对较差愈小,观测结果愈可靠。
三、极限误差和容许误差
1.极限误差
在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。
这个限值就是极限误差。
在一组等精度观测值中,(—中误差)
绝对值大于的偶然误差,其出现的概率为31.7%;
绝对值大于2的偶然误差,其出现的概率为4.5%;
绝对值大于3的偶然误差,出现的概率仅为0.3%。
l
在测量工作中,要求对观测误差有一定的限值。
大于3m的误差出现的机会只有3‰,在有限的观测次数中,实际上不大可能出现。
所以,可取3作为偶然误差的极限值,称极限误差。
2.容许误差
在实际工作中,测量规范要求观测中不容许存在较大的误差,可由极限误差来确定测量误差的容许值,称为容许误差,即:
当要求严格时,也可取两倍的中误差作为容许误差,即
如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差,则认为该观测值不可靠,应舍去不用或重测。
5-3误差传播定律
在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。
一、误差传播定律:
说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。
求任意函数中误差的方法和步骤如下:
列出独立观测量的函数式:
求出真误差关系式。
对函数式进行全微分,得
求出中误差关系式。
只要把真误差换成中误差的平方,系数也平方,即可直接写出中误差关系式:
二、常用函数的中误差公式
倍数函数
和差函数
若
线性函数
三、应用举例
例5-2在比例尺为1:
500的地形图上,量得两点的长度为d=23.4mm,其中误差md=±
0.2mm,求该两点的实际距离D及其中误差mD。
解:
函数关系式:
D=Md,属倍数函数,M=500是地形图比例尺分母。
两点的实际距离结果可写为:
11.7m±
0.1m。
例5-3
水准测量中,已知后视读数a=1.734m,前视读数b=0.476m,中误差分别为ma=±
0.002m,mb=±
0.003m,试求两点的高差及其中误差。
函数关系式为h=a-b,属和差函数,得
两点的高差结果可写为1.258m±
0.004m。
例5-4在斜坡上丈量距离,其斜距为L=247.50m,中误差mL=±
0.05m,并测得倾斜角α=10°
34′,其中误差mα=±
3′,求水平距离D及其中误差mD
解:
1)首先列出函数式
2)水平距离
这是一个非线性函数,所以对函数式进行全微分,
3)先求出各偏导值如下
4)写成中误差形式:
5)得结果:
D=243.30m±
0.06m。
例5-5在水准测量中,已知每次读水准尺的中误差为mi=±
2mm,假定视距平均长度为50m,若以3倍中误差为容许误差,试求在测段长度为Lkm的水准路线上,图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。
1)每站观测高差为:
2)每站观测高差的中误差:
因视距平均长度为50m,则每公里可观测10个测站,L公里共观测10L个测站,L公里高差之和为:
L(km)高差和的中误差为:
往返高差的较差(即高差闭合差)为:
高差闭合差的中误差为:
以3倍中误差为容许误差,则高差闭合差的容许值为:
在第二章中,取作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响(如外界环境的影响、仪器的i角误差等)。
三、注意事项
1.要正确列出函数式
用长30m的钢尺丈量了10个尺段,若每尺段的中误差为ml=±
5mm,求全长D及其中误差mD。
1)函数式
按倍数函数式求全长中误差,将得出
2)实际上全长应是10个尺段之和,故函数式应为
用和差函数式求全长中误差,因各段中误差均相等,故得全长中误差为
按实际情况分析用和差公式是正确的,而用倍数公式则是错误的。
2.在函数式中各个观测值必须相互独立,即互不相关。
如有函数式:
而:
若已知x的中误差为mx,求Z的中误差mz。
1)直接用公式计算,由(a)式得:
由(b)式得:
代入(c)式得
(上面所得的结果是错误)因为y1和y2都是x的函数,它们不是互相独立的观测值,因此在(a)式的基础上不能应用误差传播定律。
正确的做法是:
先把(b)式代入(a)式,再把同类项合并,然后用误差传播定律计算。
四、最或然值:
平差的结果是得到未知量最可靠的估值,它最接近真值,平差中一般称这个最接近真值的估值为“最或然值”,或“最可靠值”,有时也称“最或是值”,一般用x表示。
一、等精度直接观测值的最或然值
算术平均值(最或然值x)
二、评定精度
(一)观测值的中误差
1.由真误差来计算
当观测量的真值已知时,可根据中误差估值的定义即由观测值的真误差来计算其中误差。
2.由改正数(最或然值误差v)来计算
在实际工作中,观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。
因此在多数情况下,我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。
该式称为白塞尔公式。
等精度观测用改正数计算观测值中误差的公式。
(二)最或然值的中误差
一组等精度观测值为L1、L2、…Ln,其中误差均相同,设为m,最或然值x(算术平均值)的中误差M为
例5-6对某角等精度观测6次,其观测值见表5-3。
试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差。
观测值的最或然值:
x=75°
32′15.5″
观测值的中误差:
最或然值的中误差:
观测值
改正数v(″)
vv(″)
L1=75°
32′13″
2.5″
6.25
L2=75°
32′18″
-2.5″
L3=75°
32′15″
0.5″
0.25
L4=75°
32′17″
-1.5″
2.25
L5=75°
32′16″
-0.5″
L6=75°
32′14″
1.5″
x=[L]/n=75°
[v]=0
[vv]=17.5
一般袖珍计算器都具有统计计算功能(STAT),能很方便地进行上述计算(参考各计算器说明书)
算术平均值的中误差是观测值中误差的倍,这说明算术平均值的精度比观测值的精度要高,且观测次数愈多,精度愈高。
所以多次观测取其平均值,是减小偶然误差的影响、提高成果精度的有效方法。
当观测的中误差m一定时,算术平均值的中误差M与观测次数n的平方根成反比,观测次数与算术平均值中误差的关系
观测次数n与M之间的变化关系:
n增加时,M减小;
当n达到一定数值后,再增加观测次数,工作量增加,但提高精度的效果就不太明显了。
不能单纯靠增加观测次数来提高测量成果的精度。
偶然误差的削弱的方法
如:
使用精度较高的仪器、提高观测技能、在较好的外界条件下进行观测。
2)进行多次观测:
观测值个数大于未知量的个数,分配闭合差(超限重测);
求观测值的最可靠值(算术平均值或改正后平差值).
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- 测量学 教案 第五 测量误差 基本知识