届陕西省安康市高三上学期联考数学试题理解析版.docx
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届陕西省安康市高三上学期联考数学试题理解析版
陕西省安康市2021届高三上学期10月联考数学试题(理)
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则()
A.B.
C.D.
『答案』B
『解析』,,
∴.
故选:
B.
2.已知是复数的共轭复数,则()
A.B.0C.1D.2
『答案』D
『解析』,∴.
3.“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
『答案』B
『解析』因为,
而不能推出,
故选:
B.
4.已知是第二象限角,,则()
A.B.C.D.
『答案』C
『解析』,
,即
为第二象限角,,,
又,即,解得.
故选:
C.
5.已知函数的极值点为,则所在的区间为()
A.B.C.D.
『答案』C
『解析』由,得(),
令(),则,
所以在上单调递增,
因为,
所以存在,使,即,
当时,,
当时,,
所以为的极大值点,
所以所在区间为,
故选:
C.
6.已知向量,满足,,且与的夹角为,则向量与的夹角为()
A.B.C.D.
『答案』D
『解析』,
,
,
设向量与的夹角为,
,
因为,
所以,
所以与的夹角为.
故选:
D.
7.定义在上的偶函数满足,且当时,,则()
A.B.C.4D.16
『答案』B
『解析』因为,故,故函数的周期为,
所以,
又为偶函数,故,故,
故选:
B.
8.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:
.它表示:
在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比从1000提升至8000,则C大约增加了()()
A.10%B.30%C.60%D.90%
『答案』B
『解析』当时,,当时,,
∴,∴约增加了30%.
故选:
B.
9.四棱锥的顶点都在球O的球面上,是边长为的正方形,若四棱锥体积的最大值为54,则球O的表面积为()
A.B.C.D.
『答案』C
『解析』设球心到平面的距离为h,球O的半径为r,
根据题意,当P到平面距离最大,即为r+h时,四棱锥的体积最大,
所以,解得,
又都在球面上,设平面所在圆心为,由题意得,
所以,解得,
所以表面积.
故选:
C.
10.已知函数,若,,则()
A.-1B.0C.1D.2
『答案』B
『解析』因为,,,
即,,
,得,
所以,,得,
则,
故选:
B.
11.函数的部分图像如图所示,则下列结论正确的是()
A.是图像的一条对称轴
B.图像的对称中心为
C.的解集为
D.的单调递减区间为
『答案』C
『解析』且,,
又,由五点作图法可得:
,解得:
,
.
对于,当时,,是的对称中心,错误;
对于,当时,,是的对称轴,错误;
对于,由得:
,,
解得:
,正确;
对于,当时,,
当时,,不是的单调递减区间,错误.
故选:
C.
12.已知函数,则不等式解集为()
A.B.
CD.
『答案』D
『解析』可知的定义域为,
且,
,即是偶函数,
令,,
当时,,即在单调递增,
在单调递增,
不等式等价于,
,解得.
故选:
D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数的最大值为________.
『答案』
『解析』,
∴当时,单调递增,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
∵,∴的最大值为.
故答案为:
.
14.若的展开式中第7项为常数项,则常数项为_________(用数字填写答案).
『答案』84
『解析』根据二项式定理:
,∴,
∴,故常数项为.
故答案为:
84.
15.为美化环境,某小区计划将一片扇形区域改造为一个绿化区兼休闲娱乐区,如图所示,该扇形区域的圆心角为120°,,在上选一点M,在弧上选一点N,使得,计划在点O处建休闲区,在点N处建健身区,并修建小路,,则的最大值为________.
『答案』20
『解析』如图,由题意,设,
则.
在中,,由正弦定理可得,
故
,
∵,∴.
∴当时,的最大值为.
16.已知函数,若恒成立,则a的取值范围是________.
『答案』
『解析』若,则,
当时,显然成立;
当时,则,又因为当时,,
所以只需满足即可,
令(),则,
则时,,所以在上递减,
当时,,则在上递增,
所以,所以,
令(),
则,
令,得(舍)或,
则当时,;当时,,
所以函数在上递增,在上递减,
所以,
故,
综上所述:
.
故答案为:
.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.已知公差的等差数列的前n项和为,,是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
解:
(1)由是与的等比中项,所以,
联立,即得,解得,
所以.
(2),
所以.
18.为了调查糖尿病是否与不爱运动有关,在某地300名40岁以上的人中进行抽样调查,结果如下:
患糖尿病
未患糖尿病
总计
不爱运动
爱运动
总计
(1)根据以上数据判断是否有97.5%的把握认为“40岁以上的人患糖尿病与不爱运动有关”;
(2)从调查的患糖尿病的人中任意抽取2人作进一步了解,求抽取的爱运动人数X的分布列与数学期望.
参考公式:
,其中.
参考数据:
解:
(1)由表中数据可得,
∴有97.5%的把握认为“40以上的人患糖尿病与不爱运动有关”.
(2)X的可能取值为0,1,2.
,,,
故X的分布列为
X
0
1
2
P
.
19.如图,四棱锥中,平面,为等腰梯形,,,.
(1)证明:
平面平面;
(2)求二面角的大小.
(1)证明:
显然,过A,B两点向引垂线交于M,N,则,,
∵,∴,,
设,∵,∴,,由勾股定理得.
∵平面,∴,∴平面,∴平面平面.
(2)解:
在上取E,使,连接,则,∴平面.
以为原点,分别为轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
∴,,
设平面的法向量为,则,令得,
同理可求得平面的法向量为,∴,
∴二面角为90°.
20.已知抛物线的焦点为F,过F且斜率为k的直线与抛物线交于A,B两点.
(1)设O为坐标原点,直线,的斜率分别为,,证明:
;
(2)过A,B两点分别作抛物线的切线,设两切线交于点C,若的面积为,求k的值.
解:
(1)由题意,抛物线,可得,设,
代入抛物线方程得,
设,,可得,,
.
(2)不妨设,,由得,
所以,,
联立解得,即,
所以,
所以,解得.
21.已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求a,b的值;
(2)证明:
.
(1)解:
由已知得,∴.
,.
(2)证明:
设,则,由得;由得.
∴在上单调递减,在上单调递增,
∴在处取得最小值,
∴当时,,所以,
∴要使在上成立,只需使在上成立,即在上成立,
设,则,由得,由得.
∴在上单调递减,在上单调递增,
∴在处取得最小值,即在上成立
∴原不等式成立.
22.以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线:
,M是上的动点,点N在射线上且满足,设点N的轨迹为.
(1)写出曲线的极坐标方程,并化为直角坐标方程;
(2)已知直线l的参数方程为(t为参数,),曲线截直线l所得线段的中点坐标为,求的值.
解:
(1)设,因为,可得,
代入满足的方程,可得,
即,两边同乘以并展开整理得,
又由,
所以的直角坐标方程为.
(2)将l的参数方程代入的直角坐标方程,整理得,
可得,
又由直线参数方程经过点,可得,
即,即,
因为,所以.
23.已知函数.
(1)在坐标系中画出函数的图像,并写出的值域;
(2)若恒成立,求a的取值范围.
解:
(1),其图像如图所示:
由图像可得的值域为.
(2)在同一坐标系中画出满足题意的,的图像,
当过点时,或,
由图像可知:
,,即实数的取值范围为.
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