最新高等数学上册期末考试试题含答案XG.docx
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最新高等数学上册期末考试试题含答案XG
2019最新高等数学期末考试试题(含答案)
一、解答题
1.计算抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率.
解:
y=-(x-2)2+4,故抛物线顶点为(2,4)
当x=2时,,
故
2.求下列幂级数的收敛半径及收敛域:
(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…;
(2);
(3);(4);
解:
(1)因为,所以收敛半径收敛区间为(-1,1),而当x=±1时,级数变为,由知级数发散,所以级数的收敛域为(-1,1).
(2)因为
所以收敛半径,收敛区间为(-e,e).
当x=e时,级数变为;应用洛必达法则求得,故有由拉阿伯判别法知,级数发散;易知x=-e时,级数也发散,故收敛域为(-e,e).
(3)级数缺少偶次幂项.根据比值审敛法求收敛半径.
所以当x2<1即|x|<1时,级数收敛,x2>1即|x|>1时,级数发散,故收敛半径R=1.
当x=1时,级数变为,当x=-1时,级数变为,由知,发散,从而也发散,故原级数的收敛域为(-1,1).
(4)令t=x-1,则级数变为,因为
所以收敛半径为R=1.收敛区间为-1 当t=1时,级数收敛,当t=-1时,级数为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛. 所以,原级数收敛域为0≤x≤2,即[0,2] 3.证明,若收敛,则绝对收敛. 证: ∵ 而由收敛,收敛,知 收敛,故收敛, 因而绝对收敛. 4.写出下列级数的一般项: (1); (2); (3); 解: (1); (2); (3); 5.某企业投资800万元,年利率5%,按连续复利计算,求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期. 解: 投资20年中总收入的现值为 纯收入现值为 R=y-800=2528.4-800=1728.4(万元) 收回投资,即为总收入的现值等于投资,故有 6.求正弦交流电经过半波整流后得到电流 的平均值和有效值。 解: 有效值 故有效值为. 7.求对数螺线相应θ=0到θ=φ的一段弧长. 解: . 8.讨论下列广义积分的敛散性: ; 解: 原式= 故该广义积分当时收敛;时发散. . 解: 原式= 综上所述,当k<1时,该广义积分收敛,否则发散. 9.求下列极限: 解: 原式 解: 原式 10.证明下列不等式: ; 证明: 当时,即 由积分的保序性知: 即 (2) 证明: 当时, 由积分的保序性知: 即 11.逻辑斯谛(Logistic)曲线族 建立了动物的生长模型. (1)画出B=1时的曲线的图像,参数A的意义是什么(设x表示时间,y表示某种动物数量)? 解: ,g(x)在(-∞,+∞)内单调增加, 当x>0时,在(0,+∞)内是凸的. 当x<0时,在(-∞,0)内是凹的. 当x=0时,. 且.故曲线有两条渐近线y=0,y=A.且A为该种动物数量(在特定环境中)最大值,即承载容量.如图: (2)计算g(-x)+g(x),并说明该和的意义; 解: . (3)证明: 曲线是对g(x)的图像所作的平移. 证明: ∵ 取,得 即曲线是对g(x)的图像沿水平方向作了个单位的平移. 习题四 12.利用函数的图形的凹凸性,证明下列不等式: ; 证明: 令 , 则曲线y=f(x)是凹的,因此, 即. ; 证明: 令f(x)=ex . 则曲线y=f(x)是凹的, 则 即. 证明: 令f(x)=xlnx(x>0) 则曲线是凹的,,x≠y,有 即, 即. 13.设a为非零常数,b为正常数,求y=ax2+bx在以0和为端点的闭区间上的最大值和最小值. 解: 得不可能属于以0和为端点的闭区间上, 而, 故当a>0时,函数的最大值为,最小值为; 当a<0时,函数的最大值为,最小值为. 14.求下列级数的和函数: (1); (2); (3);(4). 解: (1)可求得原级数的收敛半径R=1,且当|x|=1时,级数是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1] 记 则S1(0)=0, 所以 即S1(x)=arctanx,所以S(x)=xarctanx,x∈[-1,1]. (2)可求得原级数的收敛半径R=1,且当|x|=1时,原级数发散.记则 ,即,S(0)=0 所以,(|x|<1) (3)由知收敛域为(-∞,+∞).记则,所以 ,(-∞ (4)由知收敛半径R=1,当x=1时,级数变为,由知级数收敛,当x=-1时,级数变为是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1]. 记则S(0)=0,, (x≠1) 所以 即 即 当x≠0时,,又当x=1时,可求得S (1)=1 (∵) 综上所述 15.求曲线x=acos3t,y=asin3t在t=t0处的曲率. 解: , , 故 且当t=t0时,. 16.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的? 解: (1)是由复合而成. (2)是由复合而成. (3)是由复合而成. (4)是由复合而成. 17.球的半径以速率v改变,球的体积与表面积以怎样的速率改变? 解: 18.求下列函数的高阶微分: ⑴,求;⑵,求; ⑶,求;⑷,求; ⑸(为常数),求. 解: ⑴, ⑵ 故 ⑶由莱布尼兹公式,得 ⑷由莱布尼兹公式,得 ⑸ 两端求导,得 等式两端再求导得 解得 故 19.利用一阶微分形式的不变性,求下列函数的微分,其中和均为可微函数: ⑴;⑵. 解: ⑴ ⑵ 20.设具有二阶连续导数,且,试证: 可导,且导函数连续. 证明: 因具有二阶连续导数,故时,可导,又 故是可导的,且导函数为 又因 故的导函数是连续的. 21.求由下列参数方程所确定函数的二阶导数: ⑴(为常数); ⑵设存在且不为零. 解: ⑴ ⑵ . 22.若,求. 解: 23.下列各题中均假定存在,按照导数定义观察下列极限,指出A表示什么. (1) 解: 故 (2) 解: 故 (3) 解: 故 24.设,求. 解: ,故. 25.若在上连续,,证明: 在中必有,使 . 证: 由题设知在上连续,则在上有最大值M和最小值m,于是 由介值定理知,必有,使 . 习题二 26.利用或等价无穷小量求下列极限: 解: (1)因为当时, 所以 (4)因为当时,,所以 (5)因为当时,所以 . (7)因为当时,,所以 (8)因为当时,所以 . (9)因为当时,,所以 (10)因为当时,,所以 (11)因为当时,所以 (12)因为当时,所以 (13)因为 而当时, 故 又当x→0进,所以 (14)因为当时, 故 所以 27.通过恒等变形求下列极限: 解: 而而 (14)令则当时,. 所以(利用(13)题的结果). (16)令,则 而所以 28.解: 因为 由已知知,分式的分子与分母的次数相同,且x项的系数之比为,于是 且 解得. 29.根据数列极限的定义证明: 证: 要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故. (2),要使只要,取,则当n>N时,恒有.故. (3),要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而. (4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故. 30.⑴证明: 不等式 证明: 令在[0,x]上应用拉格朗日定理,则使得 即,因为,则 即 ⑵设证明: 证明: 令,在[b,a]上应用拉格朗日定理,则使得 因为,则, 即 ⑶设证明: 证明: 令在[b,a]上应用拉格朗日定理,则使得 因为,所以, 即. ⑷设证明: 证明: 令,,应用拉格朗日定理,有 即 【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除 一、解答题 1.无 2.无 3.无 4.无 5.无 6.无 7.无 8.无 9.无 10.无 11.无 12.无 13.无 14.无 15.无 16.无 17.无 18.无 19.无 20.无 21.无 22.无 23.无 24.无 25.无 26.无 27.无 28.无 29.无 30.无
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