连续时间系统的时域分析Word格式文档下载.docx
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面是已知系统单位冲激响应,将冲激响应与激励信号进行卷
积,求出系统的响应;
同时引入近代系统时域分析方法,将建
立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。
本章还将说明微分方程的算子符号表示法,它使微分方程
的表示及运算简化。
最后,简单介绍“分配函数”的概念。
2.2微分方程的建立与求解
为建立线性系统的数学模型,需列出描述系统特性的微分
方程表达式,现举例说明微分方程的建立方法。
一、复习R,L,C,的电压电流关系。
+—
uR
iR
R
uRiRR
C
的方法。
要强调系统
的线性。
作业
2-4、2-5、
2-6
当然为易于
学生接受,
可让上方程
自由项为
e(t)
it7it10itet
=e(t)
把我发表的
相关学术论
文介绍给学
生,开阔学
生的视野。
2-9、2-12、
2-13
2-19、2-20.
uL
t
LdiLt
1
dt
iL
L
d
例2-1:
如下图所示为RLC并联电路,求并联电路的端电压ut与激励源ist间的关系。
—
由KCL得:
iRtiLtictist
(1)
将以上三式代入上方程
(1)得:
内容时,要
结合CAI课
件,使同学
真正掌握卷
积的实质。
建议学生研
究本章的
“精品题
库”。
若组成系统的文件都是参数恒定的线性元件(且无储能),
则构成的系统是线性时不变系统。
对于复杂系统,设激励信号为
et,响应为rt,则可用一
高阶的微分方程表示
drn
C1
drn1t
Cnrt
C0
dtn
(2)
dmet
dm1et
Emet
E0
dtm
E1
dtm1
若方程
(2)的et及其各阶导数都为零,则方程称为齐次方程
C0
drnt
drn1
Cn1
drt
Cnrt0(3)
由经典法可知,方程
(2)的解由齐次方程和特解两部分组成。
齐次解是齐次方程的解。
齐次方程解的形式为Aet函数的线性组合,将rtAet代入方
程(3)得
n
n1
Cn0
(4)
方程(4)称为方程
(2)的特征方程,对应的n个根1,2,n
称为微分方程的特征根。
若特征根无重根,则
Aieit
rh
i
nk
若
1是K阶重根,则rn
AitKie1t
Bjejt
i1
j1
例1求r
3r
2rt
0的齐次解
例3求r
7r
16r
r
et
的齐次解
3
7
2
16
12
解其特征方程为
22
rnt
A1tA0e2t
A3e3t
特解rpt
的函数形式与激励函数形式有关
求解方法是将激励et代入方程
(2)右端,化简右端函
数式称为“自由项”,根据自由项选特解函数式,代入方程后,求得特解的待定系数,即可求出特解rpt
激励函数例:
2-4
et与特解的对应关系,见
给定方程rt2rt3rt
P46表2-2。
etet
若
(1)et
t2,
(2)et
et分别求两种情况下此方程的
特解
解:
(1)将ett2代入方程得:
自由项为t22t
故设特解ypt
B1t2
B2tB3代入方程得
B1
3B1
对比系数得:
4B1
3B2
B2
9
2B1
2B2
3B3
B3
10
27
(2)当et
et,可选rp
Bet
,代入方程后得
于是特解rpt
et
于是完全解rt
Aeitr
p
若给定微分方程和激励信号
et,在给出一组求解区间
内的边界条件,便可确定待定系数
Ai。
若et是在t=0时刻加入,则把求解区间定为
0t,通常
取t0这样对应的一组条件称为初始条件。
微分方程的齐次解称为系统的自由响应,特征方程
ii1,2,3,n称为系统的“固有频率”(自由频率,自然频率);
特解称为系统的强迫响应,强迫响应只与激励函数的形式有
关,完全响应由系统的自身特性决定的自由响应
t和与外加
激励信号
有关的强迫响应
rp
组成的。
2.3
起始点的跳变——从
0到0
的转换
在系统分析中,把响应区间确定为激励信号
加入后,
系统变化区间,一般et在t=0时刻加入,这样系统的响应时
间为0
,若系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态,
k
r0
dn1
r0,
n1r0这组状态称为系统的起
始状态(0状态),它包含了为计算未来响应的全部“过去”
信息。
在et加入之后,这组状态从t
到0时刻可能发生变
化。
完全响应表达式rtAieit
rpt
中常数Aii1,2,n
是由响应区间内t0时刻的一组状态确定的。
这组状态称为初始条件(简称0状态)。
由此可见,用时域经典法求解系统的响应时,为确定自由响应部分常数Aii1,2,n,还必须根据系统的0状态和激励情况求出0状态。
对于具体电路,0状态就是系统中储能元件的储能情
况,一般情况
下,先求出电容上的起始电压和电感中的起始电流,
Vc0,
iL0。
当电路中没有冲激电流(或阶跃电压)强迫作用于电容
及没有冲激电压(或阶跃电流)作用于电感,则换路期间电容
两端电压和流过电感中的电流不会发生突变,即
Vc0Vc0,iL0iL0,然后根据元件特性约束和网络
拓扑约束求得0时刻的其他电流或电压值,下面以具体例子,
说明这种情况下电路响应的求解方法。
例:
如图所示
ict
ust
uct
4v2v
而icC
duc(t)
LLLL2
将
(2)式代入
(1)式子得令ucptB则代入方程得
而uc02V
uc
t的电压不能突变,故
将uc
2V
代入
Ae
tut
4,得
A=-2
2-5例如图所示电路,t0开关S处1位置且已达到稳定,当t=0时,由1转向2,建立电流it的微分方程并求解it在t0时的变化。
e2t
R1it
ct
iLtR2
it
ict
iLt
dct
iLt(3)
c
消去ct,iLt得
d2
det
2it7
it10it
2e2t6
4e2t
.求齐次方程
特征方程:
27100
a)求特解:
当t0
时,e2t
4v代入(4)式得
故方程i
t7it
10it
(5)
令ipt
B代入(5)式得
故系统的完全解为
A1e2t
A2e5t
8
t0(6)
5
c.确定待定系数A1,A2
由于无冲激电压,故电容电压不能突变
vc0
,
而vc0
R2
6
V
R1
R25
d.求it在t
0时的完全响应
将i0
14
i0
2代入(6)式得
当系统已经用微分方程表示时,系统的0-状态到0+状态有
无跳变,取决定于微分方程在右端自由项中是否包含(t)及其
各阶导数.若包含有
(t)及其各阶导数,说明相应的变量从0
-
到0+状态发生了跳变
即r(0)r(0)或r(0)
r(0)等等.此时
为确定r0,r0等,可以用冲激函数匹配法。
其原理根据t=0
时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。
下面举一例子说明:
已知rt3rt3t若0-2V,求r0?
由分析可知:
方程右边含
可以断定rt含3
t,由此
可推断rt包含3
,而方程右端无t
项,故
rt中还应包含
t,由于r
t中含
t,得出r(t)
在t=0时
刻有
9ut存在,若ut表示0
到0
相对单位跳变函数,即
上述方程可用数学方法描述
设rt
a
bt
ut
积分一次有:
rt
at
b
将rt
rt
代入原方程r
3rt
得
解得:
b
3a
3b
ut表示从0-到0+相对单位发生跳变函数
即r0
92
例2-6
用冲激函数匹配法求解例
2-5
的完全响应r(t)
已知:
i0
4A,di0
0A
5dt
S
用冲激函数匹配法求
i0
di0
?
4
考虑方程右端冲激函数项最高次是t因而设
将其代入原方程得
解得
至此可将求解微分方程流程图见
p52图2-5
2.4零输入响应和零状态响应
由于时域经典法求解系统完全响应是把响应分成自由
响应和强迫响应,为确定完全响应中的常数,往往利用冲激函
数匹配法,把给定的0状态转换成0状态以便求解。
另一种
分解方法是将总响应分为零输入响应和零状态响应。
我们先考察一个实例
例2-7,如图2-6所示RC电路,电容两端起始电压
vc0,激
励源为e(t),求t>
0时电容两端电压vct。
将上式两端同乘以eRC得
两边求积分
得:
ctc0eRC
e
RC
edt
RC0
vct的第一项只和电容两端的起始储能vc0有关,与
输入无关。
被称为零输入响应。
第二项与起始储能无关,只与输入有关,称为零状态响应。
一般情况下,设系统是线性时不变的,把输出响应分成由
激励信号e(t)引起的响应H[e(t)],和由系统起始状态x0
引起的响应Hx0两者叠加,由此可分别定义零输入响应和
零状态响应。
e(t
H[?
]
r(t)=H[e(t)]+H[{
χ
)
{
(0-)}]
(0-)}
零输入响应:
没有激励作用,只有起始状态所产生的响应。
记为
rzit,它满足方程
及起始状态r(k)(0)(k0,1,...,n1)的解。
可见它是齐次解的一部
分。
由于没有外界激励作用,因而r(k)(0)r(k)(0)即Azik可以
由r(k)(0)确定。
零状态响应:
起始状态等于零时,由系统的外加激励信号所
产
生的响应,记为rzs(t)。
它满足方程
及起始状态r(k)(0)
0(k0,1,...,n1)
其形式为
下题讲授时为便于学生接受,可先将
et去掉使问题简化
例
给定方程r
(t)3r(t)
2r(t)
e(t)3e(t)
当e(t)
u(t),r(0)
1,r(0)
2求rzit,rzst=?
解:
1.先求rzi(t)
因为零输入响应,故e(t)=0,原方程兑变为
其特征方程为
320
,1
=-1,2=-2
rzi(t)A1et
A2e2t,rzi(0
rzi(0-),rzi(0)rzi(0-)
代入起始状态得
2.再求rzst?
将e(t)u(t)代入原方程得
设rzs(t)a(t)bu(t)
代入上方程得:
得:
时,rzst满足方程
设特解
rzspt
B代入上方程得
B
代入rzs(0),rzs(0
)得
注意:
为使计算思路清晰,可将求解rzs(t)与求初始条件
rzs(0),rzs(0)的顺序对调一下。
对响应的另一种区分是瞬间响应和稳态响应。
零状态响应的另一种求法:
求rzs(t)
3rzs(t)2rzs(t)
(t)6u(t)
的零状态响应。
由于零状态,故
r(0
又由于解的区间为
,故当t
时,上方程蜕变为
设rp(t)
B代入方程
(2)得rp(t)
求r(0),r
分析:
r
t含有
t,r
含有u
t含有tut
对方程
(1)从0到0积分得
将初始条件代入(
3)式:
r(t)
4e
e2t
3t0
注:
直接用r(t)
A1et
A2e2tut
But代入方程此方法是不正
确的。
瞬态响应:
当t时,响应趋于零的那部分响应分量,
稳态响应:
保留下来的那部分响应分量。
在建立了零输入响应和零状态响应的概念后,进一步说明
系统的线性和时不变问题。
由下图可知,对外加激励信号e(t)
和它对应的响应rzstHet的关系而言,若xi00,则用
常系数线性微分方程描述的系统是线性和时不变的,若起始状
态xi00,由于响应中零输入分量的存在,导致系统响应对外激励e(t)不满足叠加性和均匀性,也不满足时不变性,因而是非线性时变系统,同时由于零输入分量的存在,使响应的变化不可能发生在激励之后,因而系统又是非因果的。
e(tH[?
]r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-
){x(0-)})}]
然而,若把起始状态等效成系统的激励,则对零输入响
应rzit而言,也满足叠加性和均匀性。
(1)响应的可分解性:
系统响应可以分解为零输入响应和
(2)零状态线性:
当起始状态为零时,系统的零状态响应rzst对于外加激励信号et呈线性,称为零状态线性。
例1.某LTI系统,其初始状态一定,当激励为e(t)时,其全响应为
r1tetcostt0;
若初始状态不变,激励为
2e(t),其全响应r2t2costt0,求初始化状态
不变,激励为3et时系统的全响应。
e(tLTI
{x(0-)}
rzi
rzst
cos
rzi
2rzst
2cos
根据线性不变的性质
例2.某LTI系统,初始状态为
x10
,x2
。
已知当x101,
x20
时,其零输入响应为
rzit
e-2t,t0
当x1
0,x2
1时,其零输入响应为
1,x2
1时,而输入为e(t)
时,其全响应
求当x1
3,x20
2时,输入为2e(t)
时的全响应
LTI
X1(0-),
X2(0-)
当x101,x201时,而输入为e(t)时,其全响应
根据线性时不变系统的性质
(3)零输入线性:
当外加激励为零时,系统的零输入响应rzit,对于各起始状态呈线性关系,称为零输入线性。
2.5冲激响应与阶跃响应
对于线性时不变系统,冲激响应h(t)的性质,可以表
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- 关 键 词:
- 连续 时间 系统 时域 分析