微分方程习题及答案Word文档下载推荐.docx
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2(lnyx)
(5)d^4eysinx1dx
(1)yytanxsecx,yx00;
⑵yy叫lx。
1
xx
3.—曲线过原点,在(x,y)处切线斜率为2xy,求该曲线方程.
4.设可导函数(x)满足方程
(x)cosx2°
(t)sintdt
x1,求(x).
ydyX
x2lny0
x21
xy2
5.设有一个由电阻R10,电感L2H,电流电压E20sin5tV串联
组成之电路,合上开关,求电路中电流i和时间t之关系.
6.求下列贝努利方程的通解
y26
(1)yxy
4可降阶的高阶方程
1.求下列方程通解。
(1)yyx;
(2)y竽;
⑶yy2y204y3y1
x1
2.求下列方程的特解
1yy2,yxo0,yxo1
(2)y
2
2xyex,yx00,yx00
3.求y
x的经过(0,1)且在与直线y上1相切的积分曲线
4.证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线
证明:
(1A’K‘(K
0,K0可推出y是线性函数;
K可取正或负
5.枪弹垂直射穿厚度为
的钢板,入板速度为a,出板速度为b(ab),
设枪弹在板内受到阻力与速度成正比,问枪弹穿过钢板的时间是多少
5高阶线性微分方程
1.已知y1(x),y2(x)是二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的解,试证
y1(x)y2(x)是yp(x)yq(x)y0的解
2.已知二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个特解
y1x,y2x2,y3e3x,试求此方程满足y(0)0,y(0)3的特解.
3.验证yix1,y2ex1是微分方程(x1)yxyy1的解,并求其通解•
6二阶常系数齐次线性微分方程
2yo;
6y
13yo;
4y
4yo;
2y
yo.
(1)y4y3y0,yxo6,y|xo10
(2)y25y0,yxo2,yxo5
(3)y4y13y0,yxo2,yxo3
3.设单摆摆长为I,质量为m,开始时偏移一个小角度°
,然后放开,
开始自由摆动•在不计空气阻力条件下,求角位移随时间t变化的规
4.圆柱形浮筒直径为,铅垂放在水中,当稍向下压后突然放开,浮
x(t)
筒周期为2s,求浮筒质量.
5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动,设运动开始时,链条自
桌上垂下部分长为im问需多少时间链条全部滑过桌面.
7二阶常系数非齐次线性微分方程
(1)y3y2y3xex;
(2)y5y4y32x;
(3)y4yxcosx;
(4)yysin2x;
(5)yy2yx(ex4).
2.求下列微分方程的特解
(1)y3y2y5,y(0)6,y(0)2;
(2)yysin2x0,y()1,y()1
求f(x).
3.设连续函数f(x)满足f(x)ex,(tx)f(t)dt
4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中,下沉时水的反作用力与速度成正比(比例系数为k),求此物体之运动规律.
5.一链条悬挂在一钉子上,起动时一端离开钉子8m另一端离开钉
子12m若不计摩擦力,求链条全部滑下所需时间.
6.大炮以仰角、初速V。
发射炮弹,若不计空气阻力,求弹道曲线
8欧拉方程及常系数线性微分方程组
(1)x3yxy2xy2yx3
x2
(2)y
2.求下列微分方程组的通解
dxdy
dtdtdxdydtdt
d2x
dt2d2ydt2
3x
4y0
y0
自测题
1.求下列微分方程的解。
tan》;
(3)y
2xy
(4)yyxsin2x.
2.求连续函数(X),使得x0时有0(xt)dt2(x).
3•求以y(CiC2Xx2)e2x为通解的二阶微分方程.
x,求
试求:
4.某个三阶常系数微分方程yaybycy0有两个解ex和
a,b,c.
5.设yp(x)yf(x)有一个解为-,对应齐次方程有一特解x2,
(1)p(x),f(x)的表达式;
(2)该微分方程的通解.
6.已知可导函数f(x)满足关系式:
f(x)1求f(x).
7.已知曲线yy(x)上原点处的切线垂直于直线x2y10,且y(x)满足微分方程y2y5yexcos2x,求此曲线方程.
微分方程习题答案
(1)x2xyy2C,(x2y)y2xy
解:
求导:
2xyxy2yy0
移项:
(x2y)y2xy
故所给出的隐函数是微分方程的解
x1,y
y(y)2.
隐函数方程两边对x求导
匚
eTy10
方程两边再对x求导
_y_
e[yyyy]0
指数函数非零,即有
yy(y)2
2.已知曲线族,求它相应的微分方程(其中cc,C2均为常数)
对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数
决定求导次数.)
(1)(xC)2y21;
求导得:
2(xc)2yy0
解出xcyy
代入原方程得y2y2y21
y25cos2x2c2(sin2x)再求导得:
y4c1sin2x4c2cos2x消去c1,c2得:
y4y0
设曲线为y二y(x)则曲线上的点x,y处的切线斜率为y,由题意知所求方程为yx2
(2)曲线在点Px,y处的法线x轴的交点为Q,,PQ为y轴平分。
曲线上的点x,y处法线方程:
Yy丄Xx。
故法线x轴的交点为Q坐标应为yyx,0,又PQ为y轴平分,故
1c
yyxx0,
便得曲线所满足的微分方程:
yy2x0
(3)曲线上的点Px,y处的切线与y轴交点为QPQ长度为2,且曲
线过点(2,0)。
点Px,y处切线方程:
Yyy(Xx)
故Q坐标为0,yyx,则有
PQ
yyyx
则得初值问题为:
x2(1y2)4
yx20
(1)-.1x2y.1y2;
解:
分离变量
dy
_dx_,两边积分
1x2,
2x
得arcsinyarcsinxc
(2)sec2xtanydxsecytanxdy
sec2xdx
tanx
sec2ydy
tany
驚常Wx「anyC1
IntanxtanyG
In|tanxtany|
e
eC1
tanxtanyeC1tanxtanyeC1
tanxtanyC其中ceC1
(3)乎3xyxy2;
3xy
xdxxdx
y(y3)y(y3)
孚xy(y3)分
xdx
y(y3)
3
y3
In
1y3
3x23C1
|y3
人2
ln|y3
Ci
e2
3Ci
3C3
Ex2
Ce2其中c
e1
(4)(2xy2x)dx(2xy2y)dy
0.
2y1
2x
2x1
In2x1C1
12x1
其中CeC1
In2y12x1
(1)ye2xy,yxo0;
变
d2y1
量
d2x1
得
In2y1e
2y12x1eC1
2y12x1C
eydye2xdx
y12x
eec
由yx0o解得c—
所以特解为:
ey-(e2x1)
⑵xyyy2,yx1寸
分离变量得
yy
(-
)dyy
InxCi
y」
ln|x|C1
e11
y_1
eC1x
山Cx,其中
CeC1,
1,故特解为y
(1)xyy(lny1);
方程变形为齐次方程
原方程变为
du
uInu
In|Inu
Inx|C1
x-
即
u(lnu1),
dInu
Inu
(InV
1),
uInu故InInu
则鱼
x,故
两边积分
In—Cx其中CeC1
x'
八
(2)(x3y3)dx3xy2dy0
程变为
ux——
1则3
xdx
故原方
第,分离变量得
3u2du
12u3
d12u3
12u
2u3
2口厂
In1
2lnxC1
2lnx
In1e
2u3x2
2y3
Cx其中C
4.
求下列微分方程的特解
⑴2"
,小1;
原方程化为光
X虫,故原方程变为
u
1u2
~-
2udu
Inx
C1
Inux
eIn|yC1
u2
Cy其中
C1,
故特解为
(y23x2)dy
2xydx
0,yx01.
原方程可化为
2》
x~2~
_y
-,令u
上则矽
xdx,
故原方程变为
ux—
2u
3'
3u_du
uu
曾n
dx,两边积分
Lduu
1Inu
1In
InC即
u21
InCx得
Cx
即亠
-Cx,
1得特解为
(xy)2;
令u
xy则dxdx得arctanu
dx1'
原方程变为du
1u2,
分离变量并积
故方程通解为arctan(xy)
yy(lnxIny)
令xy
u,贝yy
岁,原方程变为字
dxdx
得InInu
得Inu
Cx,即InxyCx,其中C
eC1故方程通解
为xy
cxe
(少1
ln|xGe
InuCx,其中
eC1)
令x
u,则1
原方程变为1
,分离变量并
积分
udu
dx得
xC故方程通解为
(x
令xyu,
则xdxy
dU,原方程变为X竺uU『2,分离变
dxdx1uu
量并积分一u3udu
得-u2u1InuInxG,即2x2y3
C12xy其中C
c-
(分析原方程可变形为XX?
y
,故令令x
yu,
121
—uuInuInxC12
In—
C12u2u1e2
2x2y3C12xy其中CeC1)
x(1
xyx2y
2、dy
)匸
(xy
1)
令xy
u,
代入上式
—(1
u2)(ru
-3
得通解:
2x2y2
解得:
lny
2xy1cx2y
—2Inxc
6.求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线和x轴
所围城三角形面积等于常数a2.
曲线点P(x,y)的切线方程为:
Yyy(xx)
该曲线与x轴交点记为B,则B坐标为x上,0,
过点P(x,y)平行于y轴的直线和x轴交点记为A,则A坐标为x,0
故三角形面积为2abap
x|ya2
即有微分方程y22a2dy
当y22a2也时用分离变量法解得y(Cx)2a2
当y22a2业时用分离变量法解得y(Cx)2a2
7.设质量为m的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时(t0)速度为0,求物体速度v与时间t的函数关系.
根据Fma
m巴,而F
dt
mg
kv(k为比例常数)便得V满足微分方程:
mgkv
dvm—.
及初始条件:
v|t00
求解方程:
lxmdv
积分得:
t—ln(mgkv)ck
由v|t0
0解得cmln(mg)
所以得:
v
kt
逊em).
&
有一种医疗手段,是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能.
正常胰脏每分钟吸收掉40%染色,现内科医生给某人注射了染色,
30分钟后剩下,试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P(t)随时间t变化的规律,此人胰脏是否正常
t以分为单位,因此,每分钟正常胰脏吸收40%fe色可得
通解为:
5
Inptc
加以初始
P(0)=,
便可求出
p(t)=04t及p(30)=12
dp门,
0.4p
然后与实测比较知,此人胰脏不正常.
9.有一容器内有100L的盐水,其中含盐10kg,现以每分钟3L的速度注入清水,同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出,问一小
时后,容器内尚有多少盐
设t时刻容器内含盐P(t),P(0)10,由于t时刻容器内液体为:
100+t,因此t时刻容器内浓度为:
Q(t)上虬.于是在t时刻盐的流失
100t
速度为:
2Q(t),从而有P(t)满足的方程为:
P(t)
100
dP(t)2t
初始化条件为:
10
dp
100tdt
InP
2ln(100t)IncIn
(100t)
f010,求得c100000
当t60分钟时,
輕03.9(kg)
25600
1求下列微分方程的通解
法一:
常系数变易法:
解齐次方程y
y0,分离变量得也虫,
xyx
eC1(注:
在常系数变易法
Iny
InxG
InyInxCiee
eCix
Cx其中Ce
Ci。
齐次方
程有解
代入非齐次方程有
积分得InyInxC1,即yCx,其中C
时求解齐次方程通解时写成显式解;
x,即u
非齐次微分方程的通解
法二(公式法)
!
Idx
yex
x2exdxC
Inxe
2Inx,
xedxC
xxdxC
cosx
ax21[
2xH
cosxxndxex1dxC]1
cosxdx
C]
sinxC
(x2
2x—dx
~2~
r)
yinydx
iny)dy
方程变形为
dx1
dyyiny
iny
iinydy
dyyiny
dyG
ininye
1inin
ydyCi
即2xiny
in2
其中
2G
2(iny
x)
dx2
dyy
-iny,y
故x
2hdyy
2in
2dy
y.
yedy
Ce2iny
—inye2inydyC
2,
dyC
2.1宀
2ylnydyC
ylnyC
即xy2
1C
(
分
部
积
分法
2yln
ydy
ln
ydy2y2
y2dlnyy2
y、
ydyylny厅c)
(5)
4ey
sinx1
两边同乘e得澧4sinxe,即先4sinxey,故令uey,则原方程变为一u4sinx
故uedx(4sinxeC),即卩uex(4sinxexdxC)
得uex[2(sinxexcosxex)C]
即原方程通解为ey
2(sinxcosx)
Ce
(sinxexdx用分部积分法积分)
(1)yytanxsecx,yxo0;
sinx」sinx」
tanxdxtanxdxdxdx
ye[secxedxC]ecosx[secxecosxdxC]
ecosx[secxecosxdxC]
Incosx「Incosx■
e[secxedxC]
dxC
代y(0)0
c0特解:
⑵yy沁,ylxo1
1dx
x[
sinx
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