考研数二真题及解析.docx
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考研数二真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)
(1)已知当时,与是等价无穷小,则()
(A). (B). (C).(D).
(2)已知在处可导,且,则=()
(A).(B).(C).(D)0.
(3)函数的驻点个数为()
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.
(4)微分方程的特解形式为()
(A). (B).
(C). (D).
(5)设函数均有二阶连续导数,满足且,则函数在点处取得极小值的一个充分条件是()
(A)(B)
(C)(D)
(6)设,,,则的大小关系是()
(A).(B).(C).(D).
(7)设为3阶矩阵,将的第2列加到第1列得矩阵,再交换的第2行与第3行得单位矩阵,记,,则()
(A).(B).(C).(D).
(8)设是4阶矩阵,为的伴随矩阵,若是方程组的一个基础解系,则的基础解系可为()
(A).(B).(C).(D).
二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9).
(10)微分方程满足条件的解为.
(11)曲线的弧长.
(12)设函数则.
(13)设平面区域由直线圆及轴围成,则二重积分.
(14)二次型,则的正惯性指数为.
三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
已知函数,设试求的取值范围.
(16)(本题满分11分)
设函数由参数方程确定,求的极值和曲线的凹凸区间及拐点.
(17)(本题满分9分)
设函数,其中函数具有二阶连续偏导数,函数可导且在处取得极值,求.
(18)(本题满分10分)
设函数具有二阶导数,且曲线与直线相切于原点,记为曲线在点处切线的倾角,若求的表达式.
(19)(本题满分10分)
(I)证明:
对任意的正整数n,都有成立.
(II)设,证明数列收敛.
(20)(本题满分11分)
一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面,该曲线由与连接而成的.
(I)求容器的容积;
(II)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?
(长度单位:
,重力加速度为,水的密度为).
图1
(21)(本题满分11分)
已知函数具有二阶连续偏导数,且,,,其中,计算二重积分.
(22)(本题满分11分)
设向量组,不能由向量组,,线性表示.
(I)求的值;
(II)将由线性表示.
(23)(本题满分11分)
为三阶实对称矩阵,的秩为2,即,且.
(I)求的特征值与特征向量;
(II)求矩阵.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)
(1)【答案】(C).
【解析】因为
.
所以,故答案选(C).
(2)【答案】(B).
【解析】
.
故答案选(B).
(3)【答案】(C).
【解析】
令,得,故有两个不同的驻点.
(4)【答案】(C).
【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为,解得特征根.
所以非齐次方程有特解,
非齐次方程有特解,
故由微分方程解的结构可知非齐次方程可设特解
(5)【答案】(A).
【解析】由题意有,
所以,,,即点是可能的极值点.
又因为,,,
所以,,,,
根据题意由为极小值点,可得且,所以有由题意,所以,故选(A).
(6)【答案】(B).
【解析】因为时,,
又因是单调递增的函数,所以.
故正确答案为(B).
(7)【答案】(D).
【解析】由于将的第2列加到第1列得矩阵,故
,
即,.
由于交换的第2行和第3行得单位矩阵,故
,
即故.因此,,故选(D).
(8)【答案】(D).
【解析】由于是方程组的一个基础解系,所以,且,即,且.由此可得,即,这说明是的解.
由于,,所以线性无关.又由于,所以,因此的基础解系中含有个线性无关的解向量.而线性无关,且为的解,所以可作为的基础解系,故选(D).
二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)【答案】.
【解析】原式=.
(10)【答案】.
【解析】由通解公式得
.
由于故=0.所以.
(11)【解析】选取为参数,则弧微元
所以.
(12)【答案】.
【解析】原式
.
(13)【答案】.
【解析】原式
.
(14)【答案】2.
【解析】方法1:
的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数.
二次型对应矩阵为.
,
故.因此的正惯性指数为2.
方法2:
的正惯性指数为标准形中正的平方项个数.
,
令则,故的正惯性指数为2.
三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
【解析】如果时,,
显然与已知矛盾,故.
当时,又因为.
所以即.
又因为
所以,即,综合得.
(16)(本题满分11分)
【解析】因为,
令得,
当时,,,此时,所以为极小值.
当时,,,此时,所以为极大值.
令得,.
当时,,此时;当时,,此时.
所以曲线的凸区间为,凹区间为,拐点为.
(17)(本题满分9分)
【解析】
.
因为在可导,且为极值,所以,则
.
(18)(本题满分10分)
【解析】由题意可知当时,,,由导数的几何意义得,即,由题意,即.
令,,则,,即
,,即.
当,,代入得,所以,
则
.
又因为,所以.
(19)(本题满分10分)
【解析】(Ⅰ)设
显然在上满足拉格朗日的条件,
所以时,
,即:
,
亦即:
.
结论得证.
(II)设.
先证数列单调递减.
,
利用(I)的结论可以得到,所以得到,即数列单调递减.
再证数列有下界.
,
,
.
得到数列有下界.利用单调递减数列且有下界得到收敛.
(20)(本题满分11分)
【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分
+==.
(II)所做的功为
.
(21)(本题满分11分)
【解析】因为,,所以.
.
(22)(本题满分11分)
【解析】(I)由于不能由线性表示,对进行初等行变换:
.
当时,,此时,不能由线性表示,故不能由线性表示.
(II)对进行初等行变换:
,
故,,.
(23)(本题满分11分)
【解析】(I)由于,设,则
,即,而,知的特征值为,对应的特征向量分别为,.
由于,故,所以.
由于是三阶实对称矩阵,故不同特征值对应的特征向量相互正交,设对应的特征向量为,则
即
解此方程组,得,故对应的特征向量为.
(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交,只需单位化:
.
令,则,
.
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