初一数学第三章一元一次方程教案Word文档下载推荐.docx
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=
(n不为0)
例题:
1.方程①
;
②
③
④
⑤
中是一元一次方程的是;
2.比a的3倍大5的数是9,列出方程式是__________________。
3.如果
是一元一次方程,那么
。
4.利用等式的性质解下列方程:
(1)
(2)
(3)
(4)
.
考点2、解一元一次方程的基本步骤:
变形步骤
具体方法
变形根据
注意事项
去分母
方程两边都乘以各个分母的最小公倍数
等式性质2
1.不能漏乘不含分母的项;
2.分数线起到括号作用,去掉分母后,如果分子是多项式,则要加括号
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号
乘法分配律、去括号法则
1.分配律应满足分配到每一项
2.注意符号,特别是去掉括号
移项
把含有未知数的项移到方程的一边,不含有未知数的项移到另一边
等式性质1
1.移项要变号;
2.一般把含有未知数的项移到方程左边,其余项移到右边
合并同
类项
把方程中的同类项分别合并,化成“
”的形式(
)
合并同类项法则
合并同类项时,把同类项的系数相加,字母与字母的指数不变
未知数的系数化成“1”
方程两边同除以未知数的系数
,得
(1)对于含字母系数的方程,确保字母系数不为0时才能进行系数化为1这一步;
(2)两边都除以未知数的系数时,注意分子、分母不要颠倒位置
去分母时须注意:
1.确定分母的最小公倍数;
2.不要漏乘没有分母的项;
3.去掉分母后,若分子是多项式,应该多项式(分子)添上括号,视多项式为一整体.
例题:
1.解下列方程:
(2)
2.解方程:
(1)5x-41=12x-33.
(2)
(4)
(5)
(6)
3.一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B地.A,B两地间的路程是多少?
4.一艘船从甲码头到乙码头顺流航行,用了2小时;
从乙码头到甲码头逆流航行,用了2.5小时;
已知水流的速度是3千米/小时,求船在静水中的平均速度是多少千米/小时?
5.有一列数,按一定的规律排列成-4,-8,-12,-16,-20,-24,…,其中某三个相邻的数的和为-672,求这三个数各为多少.
考点3、一元一次方程应用题分类
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:
1.行程问题
行程问题中有三个基本量:
路程、时间、速度。
关系式为:
①路程=速度×
时间;
②速度=路程/时间;
③时间=路程/速度。
航行问题是行程问题中的一种特殊情况,其速度在不同的条件下会发生变化:
①顺水(风)速度=静水(无风)速度+水流速度(风速);
②逆水(风)速度=静水(无风)速度-水流速度(风速)。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系:
顺水(风)速度-水流速度(风速)=逆水(风)速度+水流速度(风速)=静水(无风)速度。
例1、一艘轮船在甲、乙两地之间行驶,顺流航行需6小时,逆流航行需8小时,已知水流速度每小时2km。
求甲、乙两地之间的距离。
例2、甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里.
(1)两车同时开出,相向而行多少小时后两车相遇?
(2)慢车先开出1小时,快车再开,两车相向而行.问快车开出多少小时后两车相遇?
(3)若两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)若两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
例3、从甲地到乙地,长途汽车原需行驶7个小时,开通新高速公路后,路程缩短了45km,若车速平均每小时增加30km,则只需4个小时即可到达.求新高速公路的路程.
2.工程问题
解决工程问题的基本思路:
1.三个基本量:
工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是:
工作量=工作效率×
工作时间.
2.相等关系:
工作总量=各部分工作量之和.
(1)按工作时间,工作总量=各时间段的工作量之和;
完成同一工作的时间差=多用的时间.
(2)按工作者,工作总量=各工作者的工作量之和.
3.通常在没有具体数值的情况下,把工作总量看作1.如果完成全部工作的时间为t,则工作效率为______。
在工程问题中,还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量,这时不能看作整体1,此时工作效率也即工作速度。
例1.加工某种工件,甲单独作要20天完成,乙只要10就能完成任务,现在要求二人在12天内完成任务。
问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务?
例2.一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,现在先由甲单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做.剩下的部分需要几小时完成?
3.经济问题
与生活、生产实际相关的经济类应用题,是近年中考数学创新题中的一个突出类型。
经济类问题主要体现为三大类:
①销售利润问题、②优惠(促销)问题、③存贷问题。
这三类问题的基本量各不相同,在寻找相等关系时,一定要联系实际生活情景去思考,才能更好地理解问题的本质,正确列出方程。
⑴销售利润问题。
四个基本量:
成本(进价)、销售价(收入)、利润、利润率。
基本关系式有:
①利润=售价-进价;
当______>______时,会盈利,当______<_____时,会亏本;
②利润率=_______________÷
_____×
100%.【利润=进价×
利润率】。
在有折扣的销售问题中,实际销售价=标价×
折扣率。
打x折出售是按标价的_______出售.打折问题中常以进价不变作相等关系。
商品售价=商品进价+商品利润
=商品进价+商品进价×
利润率
=商品进价×
(1+利润率).
⑵优惠(促销)问题。
日常生活中有很多促销活动,不同的购物(消费)方式可以得到不同的优惠。
这类问题中,一般从“什么情况下效果一样分析”。
并以求得的数值为基准,取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验,预测其变化趋势。
⑶存贷问题。
存贷问题与日常生活密切相关,也是中考命题时最好选取的问题情景之一。
存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量,还有与之相关的利率、本息和、税率等量。
其关系式有:
①利息=本金×
利率×
期数;
②利息税=利息×
税率;
③本息和(本利)=本金+利息-利息税。
例1.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折(即按标价的80%)优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本是多少元?
我们知道,每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差.如果设每件服装的成本价为x元,那么每件服装的标价为_______,每件服装的实际售价为______,每件服装的利润为______,由此,列出方程为__________,解方程,得x=_____,因此每件服装的成本价是_____元.
例2.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件,后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。
如果商店销售这种商品时,要获利12%,那么这种商品的销售价应定多少?
4、数字问题
数字问题是常见的数学问题。
一元一次方程应用题中的数字问题多是整数,要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系:
任何数=∑(数位上的数字×
位权),如两位数
=10a+b;
三位数
=100a+10b+c。
例题.一个三位数,三个数位上的和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数的3倍。
求这个数。
5.配套问题
例1某车间有22名工人,每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名?
想一想:
本题需要我们解决的问题是什么?
题目中哪些信息能解决人员安排的问题?
螺母和螺钉的数量关系如何?
【方法归纳】
生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系,建立方程.解决配套问题的思路:
1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据;
2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据
例题2:
某家具厂生产一种方桌,1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿,现有10立方米的木材,怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材,才能使桌面、桌
腿刚好配套,共可生产多少张方桌?
(一张方桌有1个桌面,4条桌腿)
解:
设用x立方米的木材做桌面,则用(10-x)立方米的木材做桌腿.
根据题意,得4×
50x=300(10-x),
解得x=6,所以10-x=4,
可做方桌为50×
6=300(张).
答:
用6立方米的木材做桌面,4立方米的木材做桌腿,可做300张方桌.
6、调配(分配)与比例问题
调配与比例问题在日常生活中十分常见,比如合理安排工人生产,按比例选取工程材料,调剂人数或货物等。
调配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。
在调配问题中主要考虑“总量不变”;
而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系,或是量与量之间的比例关系。
例1:
我国民间流传着许多有趣的数学题,请大家看这样的一个数学问题:
一群老人去赶集,半路买了一堆梨,一人一个多一梨,一人两个少两梨,请问君子知道否,几个老人几个梨?
请你用所学的知识求出有几个老人,几个梨?
例2.教室内共有灯管和吊扇总数为13个。
已知每条拉线管3个灯管或2个吊扇,共有这样的拉线5条,求室内灯管有多少个?
例3:
某校为了开展乒乓球运动,买了一些乒乓球运动器材,其中买球网、球拍和乒乓球共花了1320元,且这三种器材所花钱数之比为3∶6∶2,那么购买球网花了多少钱?
7.其他问题
年龄问题
儿子出生时父亲30岁,5年前父亲的年龄是儿子的4倍,求儿子今年多少岁?
积分问题
某同学到某高校游玩时,看到运动场的宣传栏中的部分信息(如下表):
1、从表中可以看出,负一场积___分,胜一场积__分。
2、如果一个队胜m场,则负_______场,胜场积_____分,负场积_______分,总积分为________分.
3、某队在比完22场的前提下,胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗?
请说明理由.
4、某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3倍吗?
计费(方案)问题
例题1.一家电信公司给顾客提供上网的两种计费方式:
方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;
方式B除收月基费20元外,再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。
(1)当上网时间为x分钟时,方式A收费_____元,方式B收费____________元,当上网时间为_____分钟时,两种收费方式收费相等.
(2)如果小明和小华两个人每个月上网时间分别为300分钟和500分钟,那么他们选哪种计费方式划算?
小明选择方案A划算,小华选择方案B划算
例题2.根据下面的两种移动电话计费方式表,考虑下列问题:
(1)若一个月本地通话时间分别为150分钟和300分钟,按两种移动电话计费方式各要交费多少元?
当一个月本地通话时间为150分钟时,
计费方式一的费用为50+150×
0.3=95(元),
计费方式二的费用为10+150×
0.5=85(元);
当一个月本地通话时间为300分钟时,
计费方式一的费用为50+300×
0.3=140(元),
计费方式二的费用为10+300×
0.5=160(元)
(2)当通话时间是多少分钟时两种计费方式费用相等?
请你说明怎样选择计费方式会更省钱?
设通话时间为x分钟时,两种计费方式费用相等.
根据题意,得50+0.3x=10+0.5x.解得x=200.
所以通话时间是200分钟时,两种计费方式费用相等.
当一个月本地通话时间x<200分钟时,选择计费方式二划算;
当一个月本地通话时间x=200分钟时,两种计费方式费用相同;
当一个月本地通话时间x>200分钟时,选择计费方式一划算.
④和差倍分问题
例题1.某校七年级共有587名学生分别到北京博物馆和中国科技馆参观,其中到北京博物馆的人数比到中国科技馆人数的2倍还多56人,设到中国科技馆的人数为x人,可列方程为__________________.
例题2.在某学校的一次劳动中,在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的有19人,后因劳动任务需要,又调20人来支援,使在甲处的人数是在乙处人数的2倍,问应分别调往甲、乙两处各多少人?
8、需设中间(间接)未知数求解的问题
一些应用题中,设直接未知数很难列出方程求解,而根据题中条件设间接未知数,却较容易列出方程,再通过中间未知数求出结果。
例题.某县中学生足球联赛共赛10轮(即每队均需比赛10场),其中胜1场得3分,平1场得1分,负1场得0分。
向明中学足球队在这次联赛中所负场数比平场数少3场,结果公得19分。
向明中学在这次联赛中胜了多少场?
9、设而不求(设中间参数)的问题
一些应用题中,所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要,而且其中某些量不需要求解。
这时,我们可以通过设出这个量,并将其看成已知条件,然后在计算中消去。
这将有利于我们对问题本质的理解。
例题、某校两名教师带若干名学生去旅游,联系两家标价相同的旅行社,经洽谈后,甲旅行社的优惠条件是:
1名教师全部收费,其余7.5折收费;
乙旅行社的优惠条件是:
全部师生8折优惠。
(1)当学生人数等于多少人时,甲旅行社与乙旅行社收费价格一样?
(2)若核算结果,甲旅行社的优惠价相对乙旅行社的优惠价要便宜
,问学生人数是多少?
【综合练习】
一、选择题
1.下列方程是一元一次方程的是( )
A..x-2=3B.1+5=6C..x2+x=1D..x-3y=0
2.方程2x+3=7的解是( )
A..x=5B..x=4C..x=3.5D..x=2
3.下列等式变形正确的是( )
A.若a=b,则a-3=3-bB.若x=y,则
=
C.若a=b,则ac=bcD.若
,则b=d
4.解方程
,去分母后可以得到()
A.1-x-3=3xB.6-2x-6=3x
C.6-x+3=3xD.1-x+3=3x
5.若关于x的方程xm-1+2m+1=0是一元一次方程,则这个方程的解是( )
A.-5B.-3C.-1D.5
6.已知x=5是方程ax-8=20+a的解,则a的值是()
A.2B.3C.7D.8
7.大箱子装洗衣粉36千克,把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里,装满后还剩余2千克洗衣粉,则每个小箱子装洗衣粉的千克数为()
A.6.5B.7.5 C.8.5 D.9.5
8.某物品标价为130元,若以9折出售,仍可获利10%,则该物品进价约是()
A.105元B.106元C.108元D.118元
9.甲、乙两车同时分别从A,B两地相向而行,甲车速度是45km/h.两地相距190km,2h后相遇,问乙车的速度是多少?
设乙车的速度是xkm/h,那么下列方程正确的是()
A.2(45-x)=190B.2(x-45)=190
C.2(45+x)=190D.45+x=190×
2
10.七年级某社团计划做一批“实验模型”,如果每人做5个,那么比计划多了9个;
如果每人做4个,那么比计划少15个.设该班共有x人,根据题意可列方程为()
A.5x+9=4x+15B.5x-9=4x-15
C.5x-9=4x+15D.5x+9=4x-15
11.某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在六一儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.若设铅笔卖出x支,则依题意可列得的一元一次方程为()
A.1.2×
0.8x+2×
0.9(60+x)=87
B.1.2×
0.9(60-x)=87
C.2×
0.9x+1.2×
0.8(60+x)=87
D.2×
0.8(60-x)=87
12.某商城将一件男式衬衫按进价提高90%标价,然后再按八折出售,这样商城每卖出一件衬衫可盈利60元,设每件衬衫的进价是x元,根据题意列一元一次方程,正确的是()
A.(1+90%)x·
80%-x=60B.90%x·
80%-x=60
C.(1+90%)x·
80%=60D.(1+90%)x-x=60
13.对任意四个有理数a,b,c,d,定义新运算:
,已知
,则x=()
A.-1B.2C.3D.4
二、填空题
1.已知
与
互为倒数,则x等于.
2.如果一个两位数上的十位数是个位数的一半,两个数位上的数字之和为9,则这个两位数是______
3.已知-2x+3y=3x-2y+1,则x和y的大小关系是_______________.
4.某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船3h,已知船在静水中的速度是8km/h,水流速度是2km/h,若A、C两地距离为2km,则A、B两地间的距离是_________km。
5.张红在某月日历的一个竖列上圈了三个相邻的数,这三个数的和恰好是33,则这三个数中最大的一个数是___________.
6.美国篮球明星乔丹在一场比赛中28投20中,拿下了38分,其中三分球4投全中,那么乔丹两分球投中多少个?
罚球投中多少个(罚球投中1个得1分)?
设罚球投中x个,则可列方程为________________.
7.若
,则3x+4y+6z的值是___________。
8.若方程x+2m=8与方程
的解相同,则m= .
9.王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋,分给朋友们品尝,如果每人分5袋,还余3袋;
如果每人分6袋,还差3袋,那么王经理带回孔明菜_______袋.
10.图①是边长为30cm的正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子,已知该长方体的宽是高的2倍,则它的体积是 cm3.
3、解答题
(1)3x+3=2x+9
(2)34x-15=-8x-21
2.解关于x的方程:
(1)mx-2=3m+5x
(2)|5x+3|=2x+9.
3.若
是关于x的一元一次方程,求关于y的方程k|y|=x的解。
4.一个两位数,个位上的数字是十位上的数字的2倍,如果把十位与个位上的数字对调,那么所得的数比原来的两位数大36,求原来的两位数.
5.父亲今年40岁,儿子今年10岁,再过多少年,父亲的年龄是儿子年龄的3倍?
6.某中学七年
(1)班、
(2)班共有90名学生,如果从
(1)班转出4名同学到
(2)班,那么
(1)班的学生人数是
(2)班的80%,问两班原来各有多少名学生?
7.某校有住宿生若干人.若每间宿舍住8人,则还差5个床位,若每间宿舍增加1人,则还空35张床位.问有多少间宿舍?
有多少人住宿?
(法一)解:
设有x间宿舍.
则可列出方程,得8x+5=9x-35.解得x=40.则住宿人数为8x+5=325.
答:
有40间宿舍,有325人住宿.
(法二)解:
设共有住宿生x人.
则可列出方程为.解得x=325.宿舍有(325-5)÷
8=40(间).
8.一个道路工程,甲队单独施工9天完成,乙队单独做24天完成.现在甲乙两队共同施工3天,因甲另有任务,剩下的工程由乙队完成,问乙队还需几天才能完成?
9.一艘轮船从甲地开往乙地,顺水而行,每小时行驶28km,到达乙地后又逆水返回,回到甲地;
逆水比顺水多用2h.如果水流速度是每小时4km,那么甲、乙两地相距多少千米?
10.某车间有技术工人85人,平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个。
2个甲种部件和3个乙种部件配成一套,问加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套?
设安排x人加工甲部件,则安排(85-x)人加工乙部件.
根据题意,得3×
16x=2×
10×
(85-x).
解得x=25,所以85-25=60(人).
应安排25人加工甲部件,安排60人加工乙部件
11.车间有26名工人生产零件甲和零件乙,每人每天平均生产零件甲120个或零件乙180个,为使零件甲和零件乙按3∶2配套,则需分配多少工人生产零件甲,多少工人生产零件乙?
设分配x名工人生产零件甲,则有(26-x)名工人生产零件乙.
由题意,得2×
120x=3×
(26-x)×
180.
解得x=18,26-x=8.
需分配18名工人生产零件甲,8名工人生产零件乙.
12.甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行,甲车每小时行80km,乙车每小时行70km,当甲行至全程的
时,乙车距中点还有36km.A,B两地的路程是多少千米?
13.某学校七年级8个班进行足球友谊赛,采用胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分的记分制.某班与其他7个队各赛1场后,以不败战绩得17分,那么该班共胜了几场比赛?
设该班共胜了x场.依题意可列出方程为3x+1×
(7-x)=17.
解得x=5.答:
该班共胜了5场.
14.学校组织一次知识竞赛,共有20道题,每小题答对得5分,答错或不答都扣1分,小明最终得了82分,那么他答对了多少道题?
这次竞赛中有得90分的同学吗?
为什么?
设小明答对了x道题,则答错了(20-x)道题.根据题意,
得5x-(20-x)=82,解得x=17.所以小明答对了17道题.
假设有得90分的同学,他答对了y道题,答错了(20-y)道题,
则有5y-(20-y)=90,解得y=.
因为y为正整数,所以假设不成立.
小明答对了17道题,这次竞赛中没有得90分的同学.
15.在如图3-2-2的2016
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