全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题9 几何综合问题.docx
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全国中考数学压轴题分类解析汇编专题9几何综合问题
2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编
专题9:
几何综合问题
24.(2012湖北恩施12分)如图,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的度数;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.
【答案】解:
(1)证明:
连接OB,
∵OB=OA,CE=CB,
∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC。
又∵CD⊥OA,
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。
∴∠OBA+∠ABC=90°。
∴OB⊥BC。
∴BC是⊙O的切线。
(2)连接OF,AF,BF,
∵DA=DO,CD⊥OA,
∴△OAF是等边三角形。
∴∠AOF=60°。
∴∠ABF=∠AOF=30°。
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,
∴EG=BE=5。
易证Rt△ADE∽Rt△CGE,
∴sin∠ECG=sin∠A=,
∴。
∴。
又∵CD=15,CE=13,∴DE=2,
由Rt△ADE∽Rt△CGE得,即,解得。
∴⊙O的半径为2AD=。
【考点】等腰(边)三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】
(1)连接OB,有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。
(2)连接OF,AF,BF,首先证明△OAF是等边三角形,再利用圆周角定理:
同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,可求出EG=BE=5,由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2,由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长,从而求出⊙O的半径。
25.(2012黑龙江哈尔滨10分)已知:
在△ABC中,∠ACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,A0=MN.
(1)如图l,求证:
PC=AN;
(2)如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,∠DKE=∠ABC,EF⊥PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK:
CF=2:
3,求DQ的长.
【答案】解:
(1)证明:
∵BA⊥AM,MN⊥AP,∴∠BAM=ANM=90°。
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°,∴∠PAQ=∠AMN。
∵PQ⊥ABMN⊥AC,∴∠PQA=∠ANM=90°。
∴AQ=MN。
∴△AQP≌△MNA(ASA)。
∴AN=PQ,AM=AP。
∴∠AMB=∠APM。
∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠PBC。
∵PQ⊥AB,PC⊥BC,∴PQ=PC(角平分线的性质)。
∴PC=AN。
(2)∵NP=2PC=3,∴由
(1)知PC=AN=3。
∴AP=NC=5,AC=8。
∴AM=AP=5。
∴。
∵∠PAQ=∠AMN,∠ACB=∠ANM=90°,∴∠ABC=∠MAN。
∴。
∵,∴BC=6。
∵NE∥KC,∴∠PEN=∠PKC。
又∵∠ENP=∠KCP,∴△PNE∽△PCK。
∴。
∵CK:
CF=2:
3,设CK=2k,则CF=3k。
∴,。
过N作NT∥EF交CF于T,则四边形NTFE是平行四边形。
∴NE=TF=,∴CT=CF-TF=3k-。
∵EF⊥PM,∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。
∴∠BPC=∠BFH。
∵EF∥NT,∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。
∴。
∴,。
∴CT=。
∴。
∴CK=2×=3,BK=BC-CK=3。
∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK,∠DKE=∠ABC,∴∠BDK=∠PKC。
∴。
∴tan∠BDK=1。
过K作KG⊥BD于G。
∵tan∠BDK=1,tan∠ABC=,∴设GK=4n,则BG=3n,GD=4n。
∴BK=5n=3,∴n=。
∴BD=4n+3n=7n=。
∵,AQ=4,∴BQ=AB-AQ=6。
∴DQ=BQ-BD=6-。
【考点】相似形综合题,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形。
【分析】
(1)确定一对全等三角形△AQP≌△MNA,得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线,利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN。
(2)由已知条件,求出线段KC的长度,从而确定△PKC是等腰直角三角形;然后在△BDK中,解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。
26.(2012湖北十堰10分)如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于点E.
(1)求证:
BD是⊙O的切线;
(2)若点E为线段OD的中点,证明:
以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;
(3)作CF⊥AB于点F,连接AD交CF于点G(如图2),求的值.
【答案】解:
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°。
∴∠ABC+∠BAC=90°。
又∵∠CBD=∠BAC,∴∠ABC+∠CBD=90°。
∴∠ABD=90°。
∴OB⊥BD。
∴BD为⊙O的切线。
(2)证明:
如图,连接CE、OC,BE,
∵OE=ED,∠OBD=90°,∴BE=OE=ED。
∴△OBE为等边三角形。
∴∠BOE=60°。
又∵OD∥AC,∴∠OAC=60°。
又∵OA=OC,∴AC=OA=OE。
∴AC∥OE且AC=OE。
∴四边形OACE是平行四边形。
而OA=OE,∴四边形OACE是菱形。
(3)∵CF⊥AB,∴∠AFC=∠OBD=90°。
又∵OD∥AC,∴∠CAF=∠DOB。
∴Rt△AFC∽Rt△OBD。
∴,即。
又∵FG∥BD,∴△AFG∽△ABD。
∴,即。
∴。
【考点】圆的综合题,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,直角三角形斜边上的中线性质,等边三角形的判定和性质,平行的判定和性质,菱形的判定,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,则∠ABC+∠BAC=90°,
而∠CBD=∠BA,得到∠ABC+∠CBD=90°,即OB⊥BD,根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切
线。
(2)连接CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED,则△OBE为等边三角形,于是∠BOE=60°,又因为AC∥OD,则∠OAC=60°,AC=OA=OE,即有AC∥OE且AC=OE,可得到四边形OACE是平行四边形,加上OA=OE,即可得到四边形OACE是菱形。
(3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°,而OD∥AC,则∠CAF=∠DOB,根据相似三角形的
判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD,则有,即,再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD,则,即,然后求FG与FC的比即可。
27.(2012江苏镇江11分)等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)。
(1)求证:
AM=AN;
(2)设BP=x。
若,BM=,求x的值;
记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;
连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H(如图2),当x取何值时,∠BAD=150?
并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。
【答案】解:
(1)证明:
∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形,
∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=600,∠ADM=∠APN=600。
∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN(ASA),∴AM=AN。
(2)易证△BPM∽△CAP,∴,
∵BN=,AC=2,CP=2-x,∴,即。
解得x=或x=。
四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
∵△ADM≌△APN,∴。
∴。
如图,过点P作PS⊥AB于点S,过点D作DT⊥AP于点T,则点T是AP的中点。
在Rt△BPS中,∵∠P=600,BP=x,
∴PS=BPsin600=x,BS=BPcos600=x。
∵AB=2,∴AS=AB-BC=2-x。
∴。
∴。
∴。
∴当x=1时,S的最小值为。
连接PG,设DE交AP于点O。
若∠BAD=150,
∵∠DAP=600,∴∠PAG=450。
∵△APD和△APE都是等边三角形,
∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=AG。
∴∠APG=∠PAG=450。
∴∠PGA=900。
设BG=t,
在Rt△BPG中,∠B=600,∴BP=2t,PG=。
∴AG=PG=。
∴,解得t=-1。
∴BP=2t=2-2。
∴当BP=2-2时,∠BAD=150。
猜想:
以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
∵四边形ADPE是菱形,∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=300。
∵∠BAD=150,∴易得∠AGO=450,∠HAO=150,∠EAH=450。
设AO=a,则AD=AE=2a,OD=a。
∴DG=DO-GO=(-1)a。
又∵∠BAD=150,∠BAC=600,∠ADO=300,∴∠DHA=∠DAH=750。
∵DH=AD=2a,
∴GH=DH-DG=2a-(-1)a=(3-)a,
HE=2DO-DH=2a-2a=2(-1)a。
∵,
,
∴。
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值,菱形的判定和性质,勾股定理和逆定理。
【分析】
(1)由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系,从而用ASA证明。
(2)由△BPM∽△CAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。
应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得,
用x的代数式表示S,用二次函数的最值原理求出S的最小值。
由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形,应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式,用勾股定理逆定理证明。
28.(2012福建三明14分)在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
(1)当点P与点C重合时(如图①).求证:
△BOG≌△POE;(4分)
(2)通过观察、测量、猜想:
=▲,并结合图②证明你的猜想;(5分)
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图③),若∠ACB=α,
求的值.(用含α的式子表示)(5分)
【答案】解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,
∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°。
∵PF⊥BG,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°—∠BGO,∠EPO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠EPO。
∴△BOG≌△POE(AAS)。
(2)。
证明如下:
如图,过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,
∴∠PNE=∠BOC=900,∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC=∠OCB=450,∴∠NBP=∠NPB。
∴NB
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