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BB
XB
(A
B)(B
A)(B
B)B
所以B是X中的一个闭子集;
同理
知足条件
(2)中的要求.
(2)蕴涵(3).假如X的子集
则因为这时有A=B/和B=A,所以
A也是一个X中的一个闭子集.这证了然会合A和B
A和B知足条件
(2)中的要求,所以A、B为闭集,
A、B也是开集,所以A和B也知足条件(3)中的要
求.
则由
(3)蕴涵(4).假如
A=B和B=A易见
X的子集A和B知足条件(3)中的要求,所以A、B是开集,
A和B都是X中的闭集,所以A、B是X中既开又闭的真(∵
A、B≠,A∪B=X,∴A、B≠X)子集,所以条件(4)成立.
(4)蕴涵(l).设X中有一个既开又闭的非空真子集A.令B=A.则A和B都是
X
中的非空的闭子集,它们是无交的而且使得A∪B=X.易见两个无交的闭子集必然是隔绝的
(因为闭集的闭包仍为自己).所以(l)成立.
例4.1.1有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q,会合(-∞,r)∩Q=(-∞,r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.
定理4.1.2实数空间R是一个连通空间.
证明我们用反证法来证明这个定理.
假定实数空间R是不连通空间.则依据定理4.1.1,在R中有两个非空闭集A和
B
使得A∩B=
和A∪B=R成立.随意选用
a∈A和b∈B,不失一般性可设
~
a<b.令A=A
∩[a,b],和B
=B∩[a,b].于是A和B是R中的两个非空闭集分别包含
a和b,而且使得A∩
.因为
B=
和A∪B=[a,b]成立.会合
A有上界b,故有上确界,设为
b
A是一个闭集,
矛盾.因
所以b
∈A,而且所以可见b<b,因为b=b将致使b∈A∩B,而这与A∩B=
此(b,b]
.因为B是一个闭集,所以b
∈B
.这又致使b∈A∩B,也与A∩B=
矛盾.
定义4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集.假如Y作为X的子空间是一个连通空间,
则称
Y
是
的一个连通子集;
不然,称Y是X的一个不连通子集.
拓扑空间X的子集Y是不是连通的,依据定义只与子空间Y的拓扑相关(即Y的连通
与否与X的连通与否没相关系.).所以,假如YZX,则Y是X的连通子集当且仅当
Y是Z的连通子集.这一点后边要常常用到.
定理4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集,A,BY.则A和B是子空间Y中的
隔绝子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔绝子集.
所以,Y是X的一个不连通子集当且仅当存在
∪B=Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔绝子集
证明因为
Y中的两个非空隔绝子集A
A和B使得A∪B=Y.
使得
(CY
(A)
B)(CY
(B)
A)((CX
(A)
Y)
B)((CX
A)
(CX
(Y
B))
(B)
A))
B)(CX
所以依据隔绝子集的定义可见定理成立.
得
定理4.1.4设
YAUB,则或许
是拓扑空间X中的一个连通子集.假如
YA,或许YB.
X中有隔绝子集
使
证明
假如
B是
X中的隔绝子集使得
AUB
,则
((AY)BY)((BY)AY)
(AYB)(BYA)
Y((A
B)
(B
这说明A∩Y
所以依据定理
立刻可见Y
和B∩Y也是隔绝子集.但是
(A∩Y)∪(B∩Y)=(A∪B)∩Y=Y
4.1.3,会合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集.假如
B,假如B∩Y=,同理可见YA.
A∩Y=
,据上式
定理
4.1.5设
Y是拓扑空间
X的一个连通子集,
Z
X知足条件
ZY
.则
也是
X的一个连通子集.
证明假定Z是X
中的一个不连通子集.依据定理
4.1.3,在
X中有非空隔绝子集
B使得
Z=A∪B.所以
AUB.因为
Y是连通的,依据定理
4.1.4,
或许
A,
ZB
BZ
B,同理,A
。
这两种情况都与假定矛盾.
4.1.6
设{Y}
是拓扑空间
X的连通子集组成的一个子集族.假如
是X的一个连通子集.
设A和B是X中的两个隔绝子集,使得
,=A∪B.随意选用
x∈
,
不失一般性,设x∈A.对于每一个γ∈Γ,因为
连通,依据定理
4.1.4,或许
;
因为
∩A,所以
YAB
.依据定理
4.
1.
3,这就证了然
是连通的.
4.1.7
设Y是拓扑空间
X中的一个子集.假如对于随意
x,y∈
Y存在
X中
的一个连通子集
Yxy使得
x,y∈Yxy
Y,则
Y是
中的一个连通子集.
Y=
,明显
Y是连通的.下设
Y≠
随意选用
a∈Y,
简单考证
Y=
yY
Yxy而且
a∈
Yay.应用定理
4.1.6,可见
Y是连通的.
我们以前说过,拓扑学的中心任务即是研究拓扑不变性质(拜见§
2.2).所谓拓扑不
变性质,乃是为一个拓扑空间拥有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所拥有的性质.事实上,
假如拓扑空间的某一个性质,它是藉助于开集或许藉助于经由开集定义的其余观点表达的,则此性质必然是拓扑不变性质.
拓扑空间的某种性质,假如为一个拓扑空间所拥有也必然为它在任何一个连续映照下的
象所拥有,则称这个性质是一个在连续映照下保持不变的性质.因为同胚是连续的满射,所以在连续映照下保持不变的性质必然是拓扑不变性质‘
拓扑空间的某种性质,假如为一个拓扑空间所拥有也必然为它的任何一个商空间所具
有,则称这个性质是一个可商性质.因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的
满射,所以在连续映照下保持不变的性质必然是可商性质.
以下定理4.1.8指出,连通性(即一个拓扑空间是连通的这一性质)是一个在连续映
射下保持不变的性质.所以,它是拓扑不变性质,也是可商性质.
定理4.1.8设f:
X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映照.则
f(X)是
Y的一个连通子集.
证明假如f(X)是Y的一个不连通子集,则存在Y的非空隔绝子集A和
f(X)=A
∪
B.于是
f
1
(A)和
(B)是
X的非空子集,而且
(f1(A)
f1(B))
(f1(B)
f1(A))
(f
1(A)
f1(B))
(f1(B)
1(A))
1((A
B)(B
所以
f1(A)和f1(B)是X的非空隔绝子集.别的,
f1(A)∪f
1(B)=f
1(A∪B)=f
(f(X))=X
这说明X不连通.与定理假定矛盾.
拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质,假如随意
n>0个拓扑空间X1,X2,...Xn都
拥有性质p,蕴涵着积空间
X1
X2...
Xn也拥有性质p.
比如,简单直接证明,假如拓扑空间
X1,X2,...Xn都是失散空间(平凡空间)
,则积空
间X1X2...Xn也是失散空间(平凡空间),所以我们能够说拓扑空间的失散性和平凡
性都是有限可积性质.
依据定理3.2.9以及紧随后来的说明可见:
假定已知拓扑空间的某一个性质
p是一个
拓扑不变性质.为了证明性质p是一个有限可积性质我们只需证明任何
两个拥有性质p的拓
扑空间的积空间也是拥有性质
p的拓扑空间.
定理4.1.9
设X1,X2,...Xn是n个连通空间.则积空间X1
X2...Xn也是连通
空间.
证明依据前一段中的说明,我们只需对于
n=2的情况加以证明.
第一我们指出:
x(x1,x2),y
(y1,y2)X1
X2两个点有一个坐标同样,则
X1X2有一个连通子集同时包含
x和y
不失一般性,设
x1
y1
定义映照k:
X2X1X2使得对于任何z2X2有k(z2)(x1,z2).
p1k:
X2X1是取常值x1的映照,
p2
k:
X2
X2为恒同映照,
它们都是连续映照,此中
p1,p2分别是
X2到第
1和第
2个坐标空间的投射.因
此,k
是一个连续映照.依据定理
4.1.8,k(
X2)是连通的.别的易见,
k(X
2)
{x1}
X2,
所以它同时包含
x和
y.
此刻来证明:
X1
X2
中任何两个点
x(x1,x2),y
(y1,y2)
X2同时属于
的某一个连通子集.这是因为这时若令
z(x1,y2)
X2,则依据前段结论,
可见有
X2的一个连通子集
Y1同时包含
z,也有
Y2同时
包含
y和z.因为
z∈Y1
Y2,所以依据定理
4.1.6,Y1
Y2是连通的,它同时包含
于是应用定理
4.1.7可见
X2是一个连通空间.
n维欧氏空间
Rn是
n个实数空间
R的笛卡儿积,而实数空间
R又是一个连通空间,
所以应用这个定理可见,n维欧氏空间Rn是一个连通空间.
作业:
P.1163.5.6.8.14.
4.2连通性的某些简单应用
掌握实数空间R中的连通子集的”形状”
掌握实数空间R的子集中常有的连通子集与不连通子集.
掌握常有的几种空间的同胚与否的事实.
让我们回想实数会合R中区间的精准定义:
R的子集E称为一个区间,假如它起码包含两个点,而且假如a,b∈E,a<b,则有
[a,b]={x
∈R|a≤x≤b}
E
读者熟知,实数会合R中的区间共有以下九类:
(-∞,∞),(a,∞),[a,∞),(-∞,a),(-∞,a]
(a,b),(a,b],[a,b),[a,b]
因为,一方面以上九类会合中的每一个明显都是区间;
另一方面,假如ER是一个区
间,可视E有无上(下)界,以及在有上(下)界的情况下视其上(下)确界能否属于E,
而将E纳入以上九类之一
在定理4.1.2中我们证了然实数空间R是一个连通空间.因为区间(a,∞),
(-∞,a)和(a,b)都同胚于R(请读者自己写出必需的同胚映照),所以这些区间
也都是连通的;
(a,
)
[a,
),(
a)
(
a]
(a,b)
[a,b)
[a,b],(a,b)
(a,b]
[a,b]
(a,b)
依据定理4.1.5可见区间[a,∞),(-∞,a],[a,b),(a,b]和[a,b]都是连通的.
另一方面,假定
E是R的一个子集,而且它包含着许多于两个点.假如
E不是一个区
间,则a,bR,a
E,也就是说,存在a<
c<
b,使得c
E;
进而,若令
A=(-∞,c)∩E,B=(c,∞)∩E
则可见A和B都是E的非空开集,而且有
A∪B=E和A∩B=
,所以E不连通.
综合以上两个方面,我们已经证了然:
定理4.2.1
设E是实数空间R的一个子集.E是包含着许多于两个点的一个连通子
集当且仅当E是一个区间.
定理4.2.2设X是一个连通空间,f:
X→R是一个连续映照.则
f(X)是R中的一个区
间.
所以,假如x,y∈X,则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数
t(即当f(x)≤f(y)时,
f(x)≤t≤f(y);
当f(y)≤f(x)时,f(y)≤t≤f(x)),存在z∈X
使得f(z)=t.
证明这个定理的第一段是定理
4.1.8和定理
4.2.1的明显推论.以下证明第二段.设
x,y∈X.假如f(x)=f(y),则没有什么要证明的.此刻设
f(x)≠f(y),而且不失一
般性,设f(x)<f(y).因为f(X)是一个区间,所以[f(x),f(y)]
f(X).所以
对于任何t,f(x)≤t≤f(y),有t∈f(X),所以存在z∈X,使得f(z)=t.
依据定理4.2.2,立刻能够推出数学解析中的介值定理和不动点定理.
定理4.2.3[介值定理]设
f:
[a,b]→R是从闭区间[a,b]到实数空间R的一个连续
映照.则对于f(a)与f(b)之间的任何一个实数
r,存在z∈[a,b]使得f(z)=r.
定理4.2.4[不动点定理]设f:
[0,1]→[0,1]是一个连续映照.则存在
z∈[0,1]使
得f(z)=z
证明好像数学解析中的证法那样
只须结构F(x)=x-f(x),
再利用介值定理即可证得.
简单证明欧氏平面
R2
中的单位圆周
S1
{(x,y)R2|x2
y2
1}是连通的.这是因
为假如定义映照f:
R→R2使得对于随意
t∈R
有f(t)=(cos2πt,sin2πt)∈S1,则易于考证f
是一个连续映照,而且
f(R)=S1.所以
S1是连通空间R在一个连续映照下的象,所以它
设点x(x1,x2),
x
(x1,
x2)
称为点x的对径点.映照
r:
S1
使得任何
x∈S1,有r(x)=-x,称为对径映照.对径映照是一个连续映照,因为它是欧氏平面
R2到自
身的反射l:
R2在单位圆周上的限制.此中,映照l定义为对于任何x
(x1,x2)R2,
有
l(x)=-x,简单考证(请读者自行考证
)是一个连续映照.
定理4.2.5[Borsuk-Ulam定理]
设f:
→R是一个连续映照.则在S1中存在一对对
径点x和-x,使得f(x)=f(-x)
.
明(略)
我已知道n欧氏空R2是通空,下边一步指出:
定理4.2.6n>1欧氏空Rn的子集Rn-{0}是一个通子集,此中0=(0,0,⋯,
0)∈Rn.
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