北师大版初中数学知识点分类数与式文档格式.docx

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②应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。

⑴绝对值：

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

例如，+2的绝对值等于2，记作|+2|=2，－3的绝对值等于3，记作|－3|=3。

正数的绝对值是它本身；

负数的绝对值是它的相反数；

0绝对值是0。

⑵负数大小的比较：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

负数大小的比较，除了用绝对值的方法比较以外，还可以运用数轴进行比较。

4.有理数的加法

①经历探索有理数加法法则和运算过程，理解有理数的加法法则和运算律；

②能熟练进行整数加法运算，并能运用运算律简化运算。

⑴有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；

绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数同0相加，仍得这个数。

⑵在有理数运算中，加法的交换律、结合律仍然成立。

、

为任意有理数。

加法的交换律：

；

加法的结合律：

。

5.有理数的减法

①经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则；

②能熟练进行整数减法的运算。

有理数减法的法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

6.有理数的加减混合运算

①能进行包括小数或分数的加减混合运算；

②能根据具体问题，适当运用运算律简化运算。

在进行加减混合运算时，可以适当运用加法交换律和结合律来简化运算。

7.水位的变化

能综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系。

8.有理数的乘法

①经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察归纳、猜测、验证等能力；

②会进行有理数的乘法运算，能运用乘法律简化计算。

⑴有理数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；

②任何数与0相乘，积仍为0。

几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数确定：

当负因数有奇数个时，积的符号为负；

当负数有偶数个时，积的符号为正。

只要有一个因数为0，积就为0。

⑵倒数：

乘积为1的两个有理数互为倒数。

在有理数运算中，乘法的交换律、结合律以及分配律仍然成立。

乘法的交换律：

乘法的结合律：

乘法对加法的分配律：

9.有理数的除法

①理解有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算；

②会求有理数的倒数。

有理数除法的法则：

两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何非0的数都得0。

注意：

0不能作除数。

除以一个数等于乘于这个数的倒数。

10.有理数的乘方

①在现实背景中，理解有理数乘方的意义；

②能进行有理数乘方运算；

③通过实例感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。

乘方的概念

一般地，n个相同的因数a相乘，即

这种求n个相同因数a的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）。

11.有理数的混合运算

①掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的运算；

②在运算中合理地运用运算律简化运算。

有理数混合运算法则：

先算乘方，再算乘除，最后算加减。

如果有括号，先算括号里面的。

有理数的混合运算中，可以合理地运用加法律、乘法律简化运算。

12.计算器的使用

①会使用计算器进行有理数加、减、乘、除、乘方运算；

②经历运用计算器探求规律的活动，发展合情合理的推理能力；

③能运用计算器进行实际问题的复杂计算。

二、字母表示数（七年级上册第三章）

1.字母能表示什么

①经历探索规律并用代数式表示规律的过程；

②能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式；

③体会字母表示数的意义，形成初步的符号感。

字母可以表示任何数。

如，我们可以用字母表示数的运算律；

在面积公式中，我们可以用字母表示圆的半径，长方形的长宽高等。

用字母表示数，渗透了从具体数向字母过渡的抽象概括的思维方法，形式简单，使用方便。

2.代数式

①在具体情境中，进一步理解字母表示数的意义；

②能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感；

③在具体情境中，能求出代数式的值，并解释它的实际意义。

代数式：

像4+3（x－1），a+b，ab，2（m+n），a3，s/t等式子都是代数式。

单独一个数或一个字母也是代数式。

根据问题的要求，用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。

注意代数式的书写要求：

字母与字母相乘，数字与字母相乘（数字应写在前面），乘号通常写作“·

”或者省略不写，如x·

y，2a，ab等。

但为避免误会，数与数相乘时仍用“×

”号，不宜用“·

”号，更不能省略。

在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来书写，如3ab÷

5写成

带分数与字母相乘，省略乘号时应把带分数化成假分数。

实际问题中需用单位时，若代数式的最后结合含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位。

如（x+y）天。

3.代数式求值

①会求代数式的值；

②会利用代数式求值推断代数式所反映的规律；

③能解释代数式值的实际意义。

4.合并同类项

①在现在情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感；

②在具体情境中了解合并同类项的法则，能进行合并同类项运算。

在代数式1.5v中，字母前面的数1.5叫做它的系数。

代数式ab－mn－3πn2，是ab，－mn，－3πn2三项的和，系数分别是1，－1，－3π。

代数式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

5.去括号

①在具体情境中体会去括号的必要性，能运用运算律去括号；

②总结去括号的法则，并能利用法则解决简单的问题。

括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号不改变；

括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

6.探索规律

经历探索数量关系、运算符号表示规律、通过运算验证规律中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。

三、整式的运算（七年级下册第一章）

1.整式

在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感；

了解整式产生的背景了整式的概念，能求出整式的次数。

像

等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式。

几个单项式的和叫做多项式。

单项式与多项式统称为整式。

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

2.整式的加减

①经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；

②会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

进行整式加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

3.同底数幂的乘法

①经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理地表达能力；

②了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。

同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即

4.幂的乘方与积的乘方

①经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力；

②了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方等于每个因式的乘方的积。

5.同底数幂的除法

①经历探索同底数幂的除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；

②了解同底数幂的除法，并能解决一些实际问题。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

我们规定：

6.整式的乘法

①经历探索整式乘法运算法则的过程，会进行简单的整式乘法运算；

②理解整式乘法运算的算理，体会乘法分配率的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语方表达能力。

⑴单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

⑵单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

⑶多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

7.平方差公式

①经历探索平方差公式过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；

②会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理；

③了解平方差公式的几何背景。

平方差公式：

两数和与这两数差的积，等于它父的平方差。

8.完全平方公式

①经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；

②会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；

③了解公式的几何背景。

完全平方公式：

9.整式的除法

①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算（只要求单项式除以单项式，并且结果都是整式）；

②理解整式除法运算的算理，发展有条理思考及表达能力。

⑴单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；

对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

单项式相除，可以用类似于分数约分的方法来计算。

⑵多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

四、实数（八年级上册第二章）

1.数怎么又不够用了

①通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；

②借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的意思；

③会判断一个数是有理数还是无理数。

事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。

反过来，任何无限小数或无限循环小数也都是无理数。

无限不循环小数叫做无理数。

2.平方根

①了解数的算术平方根、平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根和平方根；

②了解开方与乘方互为逆运算，会运用互逆运算求某些非负数的算术平方根与平方根。

算术平方根：

一般地，如果一个正数x平方根等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“

”，读作“根号a”。

特别地，我们规定0的算术平方根是0。

平方根：

一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。

一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数，记作

0的平方根是0；

负数没有平方根。

开平方：

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

根据平方根的定义，可以得出：

3.立方根

①了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；

②能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫三次方根），记做

正数的立方根是正数；

0的立方根是0；

负数的立方根是负数。

求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a就叫做被开方数。

根据立方根的定义，可以得出：

4.公园有多宽

①能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小；

②掌握估算方法，形成估算意识，发展学生的数感。

5.用计算器开方

①会用计算器求平方根和立方根；

②经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。

6.实数

①了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；

②了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用；

③能利用化简对实数进行简单的计算。

⑴有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。

实数还可分为正实数、0、负实数。

⑵在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

⑶实数和数轴上的点是一一对应的关系：

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；

反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

⑷实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。

⑸二次根式的运算法则：

五、分解因式（八年级下册第二章）

1.分解因式

①经历从分解因数到分解因式的类比过程；

②了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系；

③感受分解因式在解决相关问题中的作用。

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

分解因式与整式的乘法是互逆的关系。

2.提公因式法

①经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能够确定多项式的公因式；

会用提公因式法把多项式分解因式；

②进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维，并渗透化归的思想方法。

我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

提公因式法的依据是逆用乘法分配率。

3.运用公式法

①经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；

②会用公式法分解因式。

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

形如

的式子称为完全平方式。

六、分式（八年级下册第三章）

1.分式

①能用分式表示现实情境中的数量关系，进一步发展符号感；

②了解分式的概念，明确分式与整式的区别，掌握分式的性质，分化简分式。

⑴分式的概念：

整式A除以整式B，可以表示成

的形式。

如果除式B中含有字母，那么称

为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。

对于任意一个分式，分母都不能为零。

⑵分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

化简分式时，通常要使结果成为最简分式（即化简结果中，分子和分母没有公因式）或者整式。

2.分式的乘除法

①经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性；

②会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数化归能力；

③能解决一些与分式乘除相关的简单实际问题。

⑴两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；

⑵两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

3.分式的加减法

①经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理；

②会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力；

③能解决一些简单的实际问题，进一步体会模型的作用。

⑴同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

⑵根据分式的基本性质，异分分的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。

为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。

异分母的分式相加减，先通分，分为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。

4.分式方程

能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用；

分解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性。

分式方程：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

由于解分式方程的时候，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式，因此可能产生增根，所以解分式方程必须验根。