离散数学题型梳理第6章Word文档格式.docx
- 文档编号:22364436
- 上传时间:2023-02-03
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:80.79KB
离散数学题型梳理第6章Word文档格式.docx
《离散数学题型梳理第6章Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《离散数学题型梳理第6章Word文档格式.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
显然,如果对一个命题公式中的命题变元不给以真值指派,则命题公式无真值可言。
如果对命题公式中的每个命题变元都赋以真值(1或0),则命题公式就变成了一个有真值的命题,并可求出其真值。
对于特殊的命题公式(永真式和永假式),对命题公式中的命题变元不给以真值指派,利用常用的等价公式也可以求出其真值(永真式为1,永假式为0)。
对命题公式中的所有命题变元指派各种可能的真值组合,就可确定这个命题公式对应的取值,将命题变元的所有真值组合及命题公式对应的取值汇列成表,就得到命题公式的真值表.
如果一个命题公式有n个命题变元,那么命题变元的真值指派就可能出现
种不同的组合。
在真值表中是包含了命题变元的所有真值指派。
例如,如果一个命题公式有3个命题变元,那么命题变元的真值指派就有8种不同的组合,作其真值表就是将这8种真值组合及命题公式对应的真值汇列成表。
要非常熟练地掌握命题公式的真值表作法,因为利用真值表可以判定命题公式类型,验证等价公式和蕴含式,求命题公式的主析取(合取)范式,在推理理论中判别有效结论。
3.命题公式类型的判断
在各种真值指派下均为真的命题公式,称为重言式或永真式;
在各种真值指派下均为假的命题公式,称为矛盾式或永假式;
不是矛盾式的命题公式,称为可满足式。
判定命题公式类型的方法:
(1)真值表法:
任给命题公式,列出其真值表,若真值表的最后一列全为1,则该公式为永真式;
若真值表的最后一列全为0,则该公式是永假式;
若真值表的最后一列既非全1,又非全0,则该公式是可满足式。
(2)等值演算法:
利用常用的等价公式,对给定公式进行等值推导,若该公式的真值为1,则该公式为永真式;
若该公式的真值为0,则该公式为永假式。
既非永真,也非永假,则为非永真的可满足式。
4.等价公式的证明
等价公式:
给定两个命题公式A与B,设P1,P2,…,Pn为所有出现于A与B中的原子变元,若给P1,P2,…,Pn任一组真值指派,A与B的真值均相同,则称公式A与B是等价的或逻辑相等,记作AB,此公式可称为等价公式。
真值表法(验证公式等价):
将两个命题公式的真值表列出,在所有的真值指派下,两个公式的真值都对应相同,则说明两个公式等价,否则,就不等价。
等值演算法(证明公式等价):
利用教材182页的14个基本等价式对给定公式进行等值演算,可以证明命题公式等价。
5.求范式和主范式
求范式,包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:
其一是准确掌握范式定义;
其二是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和摩根律,结果的前一步适当使用幂等律。
范式的相关定义有:
合取范式:
一个命题公式称为合取范式,当且仅当它具有形式:
A1∧A2∧…∧An,(n
1)
其中A1,A2,…,An均是由命题变元或其否定所组成的析取式.
析取范式:
一个命题公式称为析取范式,当且仅当它具有形式:
A1∨A2∨…∨An,(n
其中A1,A2,…,An均是有命题变元或其否定所组成的合取式.
布尔合取、小项:
n个命题变元的合取式,称为布尔合取或小项,其中每个变元与它的否定不能同时存在,但两者必须出现且仅出现一次.
一般n个命题变元共有
个小项。
布尔析取、大项:
n个命题变元的析取式,称为布尔析取或大项,其中每个变元与它的否定不能同时存在,但两者必须出现且仅出现一次.
个大项。
主析取范式:
对于给定的命题公式,若有一个等价公式,它仅仅由小项的析取组成,则该等价式称为原式的主析取范式.
主合取范式:
对于给定的命题变元,如果有一个等价公式,它仅仅由大项的合取组成,则该等价式称为原式的主合取范式.
求析取(合取)范式的步骤:
①将公式中的联结词都化成,,(即消去联结词,);
②将否定联结词消去或移到各命题变元之前;
③利用分配律、结合律等,将公式化为析取(合取)范式。
求主析取范式(主合取范式)的方法:
真值表法:
在命题公式的真值表中,真值为1的指派所对应的小项的析取,为此命题公式的主析取范式;
在命题公式的真值表中,真值为0的指派所对应的大项的合取,为此命题公式的主合取范式。
等值演算法:
利用等价公式,求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤:
①将公式A化为析取(合取)范式;
②除去析取(合取)范式中永假(永真)的析取(合取)项,并将析取(合取)式中重复出现的合取项(析取项)和相同变元合并。
③对于不是小项(大项)的合取(析取)式,补入没有出现的命题变元,即通过合取(析取)添加PP(PP)式,然后利用分配律展开公式。
一般地,若命题公式A的主析取范式为
则A的主合取范式为
由此可见,命题公式A的主析取范式的小项个数与主合取范式的大项个数之和等于
6.判断有效结论的直接证法和间接证法
判断有效结论的过程就是论证过程,基本方法有真值表法、直接证法和间接证法。
要重点掌握后两种方法。
直接证法:
就是由一组给定的前提,利用一些公认的推理规则,并根据已知的等价公式和蕴含公式,推演得到有效结论的方法.
在证明过程中一般要用到的两个公认的推理规则,即P规则与T规则.
P规则:
前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用.
T规则:
在推导中,如果有一个或多个公式重言蕴含着公式C,则公式C可以作为前提在推导引用.
因此要掌握直接证法,就必须理解并掌握好教材第182页的14个等价公式和14个蕴含公式,并会使用P规则和T规则。
将证明的过程用三列的形式表示,第一列为序号,第二列为当前得到的结论,第三列为得到当前结论的理由或根据.E与I分别表示已经证明成立的等价式与蕴含式.
间接证法:
有两种,一种为反证法,是由不相容的概念引出的一种间接证法。
相容、不相容:
假设公式H1,H2,…,Hm中的命题变元为P1,P2,…,Pn,对于P1,P2,…,Pn的一些真值指派,如果能使H1∧H2∧…∧Hm的真值为T,则称公式H1,H2,…,Hm是相容的.如果对于P1,P2,…,Pn的每一组真值指派,使得H1∧H2∧…∧Hm的真值为F,则称公式H1,H2,…,Hm是不相容的.
其证明思路就是,如要证明
,只要把
作为前提使用,推出矛盾的结论即可。
另一种间接证法就是附加前提证明法:
该方法使用的前提是有效结论以蕴含的形式出现,即具有这样的形式
则把B作为附加前提使用,只要推出结论C即可。
即证明
通常将此方法称为CP规则。
二、常考知识点分析
常考知识点1:
将陈述句翻译成命题公式(历年考核次数:
6次,本课程共考过6次;
重要程度:
★★★★★)
1.(2009年10月试卷第11题)将语句“他是学生.”翻译成命题公式.
[解题过程]依据命题必须具备的二个条件,可设P:
他是学生,则该语句翻译成命题公式为:
P.
2.(2008年7月试卷第12题)将语句“今天没有人来.”翻译成命题公式.
[解题过程]依据命题必须具备的二个条件以及否定联结词“”的定义,可设P:
今天有人来,则语句“今天没有人来.”翻译成命题公式为P。
3.(2008年7月试卷第11题)将语句“如果所有人今天都去参加活动,则明天的会议取消.”翻译成命题公式.
[解题过程]在该语句中出现表示逻辑关系的连词“如果…,则…”,这样我们就很容易联想到条件联结词“”在语句中表示“如果…,则…”,但要注意的是,似乎PQ是“因果关系”,但是不一定总有因果关系,只要P,Q是命题,那么PQ就是命题(即有真值),不管P,Q是否有无因果关系。
因此,设P:
所有人今天都去参加活动,Q:
明天的会议取消,于是该语句可翻译成命题公式为:
PQ.
4.(2009年1月试卷第12题)(2010年1月试卷第12题)将语句“我去旅游,仅当我有时间.”翻译成命题公式.
[解题过程]PQ表示的基本逻辑关系是,Q是P的必要条件,P是Q的充分条件,因此复合命题“只要P,就Q”,“P仅当Q”,“只有Q才P”等都可以符号化为PQ的形式。
因此可设P:
我去旅游,Q:
我有时间,则语句“我去旅游,仅当我有时间.”翻译成命题公式为:
PQ.
5.(2008年9月试卷第12题)将语句“小王去旅游,小李也去旅游.”翻译成命题公式.
[解题过程]合取联结词“”在语句中相当于“并且”,“不但…而且…”,“既…又…”。
但要注意“”与“并且”等是有区别的,“并且”等要考虑语义,而“合取”只考虑命题之间的关系以及复合命题的取值情况,不考虑语义。
因此,可设P:
小王去旅游,Q:
小李去旅游,则语句“小王去旅游,小李也去旅游.”翻译成命题公式为:
PQ.
常考知识点2:
求命题公式的真值(历年考核次数:
1次,本课程共考过6次;
★)
1.(2009年1月试卷第6题)命题公式
的真值是 .
[解题过程]依次利用蕴含等价式、结合律和零律,可将该命题公式化为:
,
因此该公式的真值是1。
常考知识点3:
命题公式类型的判断(历年考核次数:
2次,本课程共考过6次;
★★)
1.(2008年7月试卷第14题)判断说明题(判断下列各题正误,并说明理由)
为永真式.
[解题过程]正确.
因为联结词运算的优先次序为:
┐,∧,∨,,,再利用等价公式中的蕴含等价式,吸收律和否定律,对给定公式进行等值推导如下:
因此该公式是永真式。
以上是利用等值演算法判断公式的类型,也可利用如下真值表法。
P
Q
PQ
P(PQ)
P(PQ)P
1
1
0
由真值表可见该公式在任意真值指派下的真值都是1,因此该公式是永真式。
2.(2009年1月试卷第5题)下列公式()为重言式.
A.PQPQB.(Q(PQ))(Q(PQ))
C.(P(QP))(P(PQ))D.(P(PQ))Q
[解题过程]C
选A.错误.
因为利用蕴含等价式,可将PQ化为(PQ),即PQ(PQ),依据等价联结词的定义可知(PQ)PQ为矛盾式。
选B.错误.
因为利用蕴含等价式、分配律和结合律,可将(Q(PQ))化为
(Q(PQ))(Q(PQ))((QQ)P)(1P)1
而用分配律和否定律得
(Q(PQ))((QP)(QQ))((QP)0)(QP)
依据等价联结词的定义可知1(QP)为可满足式。
选C.正确.
因为利用蕴含等价式可将(P(QP))(P(PQ))化为(P(QP))(P(PQ)),再利用结合律得(P(QP))(P(QP))。
再依据等价联结词的定义可知该式为重言式。
选D.错误.
因为利用分配律可将(P(PQ))化为
(P(PQ))((PP)(PQ))(1(PQ))(PQ)
依据等价联结词的定义可知(PQ)Q为可满足式。
常考知识点4:
等价公式的证明(历年考核次数:
1.(2008年9月试卷第5题)下列等价公式成立的为().
A.PQPQB.P(QP)P(PQ)
C.Q(PQ)Q(PQ)D.P(PQ)Q
[解题过程]B
因为依据德·
摩根律,PQ(PQ),所以PQ与PQ不等价。
选B.正确.
因为依次利用蕴含等价式、分配律和蕴含等价式可得,
P(QP)P(QP)P(QP)
P(PQ)P(PQ)P(PQ)。
选C.错误.
因为依次利用蕴含等价式、结合律、否定律和零律可得,
Q(PQ)Q(PQ)1,
而Q(PQ)(QP)(QQ)(QP)0(QP),
其真值不等于1。
因为依次利用分配律、否定律和同一律可得,
P(PQ)(PP)(PQ)1(PQ)(PQ),
显然与Q不等价。
2.(2010年1月试卷第5题)下列公式成立的为().
A.P∧QP∨QB.PQPQ
C.QPPD.P∧(P∨Q)Q
[解题过程]D
摩根律,P∧Q(P∨Q),显然与P∨Q不等价。
因为利用蕴含等价式可得,PQP∨Q,同理,PQP∨Q,显然P∨Q与P∨Q不等价。
因为QPP是一个蕴含式,依据蕴含的定义,该蕴含式成立只需证明(QP)P为重言式即可。
依次利用蕴含等价式、分配律、否定律和同一律,
(QP)P(QP)P(QP)P(QP)P
(QP)(PP)(QP)1(QP),
显然结果不是重言式,因此QPP不成立。
选D.正确.
也可以利用直接证法来证明该蕴含式,思路是:
证明P∧(P∨Q)为真时,Q一定为真。
假定P∧(P∨Q)为T,则P为T,且P∨Q为T,由P为F,P∨Q为T,知Q为T。
则P∧(P∨Q)Q成立。
常考知识点5:
求范式和主范式(历年考核次数:
1.(2008年7月试卷第17题)求PQR的析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式.
[解题过程]依据求析取(合取)范式的步骤可得,
P→(R∨Q)┐P∨(R∨Q)
┐P∨Q∨R(析取范式、合取范式、主合取范式)
因此该公式的主析取范式对应的小项为:
故该公式的主析取范式为:
(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)。
此外,我们也可利用真值表法求该命题公式的主析取范式和主合取范式.
R
PQR
小项
大项
┐P∧┐Q∧┐R
┐P∧┐Q∧R
┐P∧Q∧┐R
┐P∧Q∧R
┐P∨Q∨R
P∧┐Q∧R
1
P∧Q∧┐R
P∧Q∧R
表中所有小项的析取就是公式的主析取范式,所有大项的合取就是公式的主合取范式,从真值表中可以看出所得结果与用上述等值演算法所得结果相同。
2.(2008年9月试卷第3题)命题公式(P∨Q)→R的析取范式是()
A.(P∨Q)∨RB.(P∧Q)∨R
C.(P∨Q)∨RD.(P∧Q)∨R
[解题过程]D
依据求析取范式的步骤可得,
(P∨Q)→R(P∨Q)∨R(P∧Q)∨R,
这就是命题公式(P∨Q)→R的析取范式,虽然命题公式的析取范式不唯一,但这个结论与选项D相同,故选择D。
3.(2009年1月试卷第16题)试求出(P∨Q)→R的析取范式,合取范式,主合取范式.
[解题过程](P∨Q)→R┐(P∨Q)∨R(┐P∧┐Q)∨R(析取范式)
(┐P∨R)∧(┐Q∨R)(合取范式)
((┐P∨R)∨(Q∧┐Q))∧((┐Q∨R)∨(P∧┐P))
(┐P∨R∨Q)∧(┐P∨R∨┐Q)∧(┐Q∨R∨P)∧(┐Q∨R∨┐P)
(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨R)(主合取范式)
常考知识点6:
判断有效结论的直接证法和间接证法(历年考核次数:
0次,本课程共考过6次)
1.试证明(P∧Q)→R,┐R∨S,┐S┐P∨┐Q。
判断有效结论的直接证法和间接证法,它的理论根据是14个等价公式(P167),14个蕴含式(P170-171),三个规则(P规则、T规则和CP规则)。
在这些公式中,我们并不需要全部记住,记住最基本的即可,在这些公式中,下列这些式子是最基本的和最常用,其它公式有的可以根据它推导出来。
14个蕴含式中最常用和最基本的式子有
(1),
(2),(3),(8),(10),(11)。
14个等价式中(12),(14)式用得较少。
利用直接证明法和间接证明法来证明,一个关键问题就是在多个前提条件下,不知道按什么顺序来引入前提一般的来说是根据析取三段论(或假言推理)(即教材P170第(9)、(10)式),即一个前提中含有A,再引入一个含有A的前提,就可以去掉A了。
这样我们可以先从远离结论的前提入手,逐步推导出结论。
分析:
结论是┐P∨┐Q,先从远离结论的前提┐S(或者┐R∨S)出发引入第一个前提┐S,然后根据析取三段论再引入一个含有S的前提┐R∨S(或者┐S),这样就可以去掉S了,只剩下R了,再引入一个含有R的前提(P∧Q)→R,就又可以去掉R了,只剩下含有P、Q了,这正是结论所需要的。
证明:
(直接证法)
①┐SP
②┐R∨SP
③┐RT①②I
④(P∧Q)→RP
⑤┐R→┐(P∧Q)T④I
⑥┐(P∧Q)T③⑤I
⑦┐P∨┐QT⑥E
三、模拟练习
练习1。
(2009年1月试卷第11题)将语句“他不去学校.”翻译成命题公式.
解析:
依据命题和否定联结词的定义,可设P:
他去学校,则语句“他不去学校.”翻译成命题公式为P.
练习2。
(2009年7月试卷第12题)将语句“今天没有下雨.”翻译成命题公式.
依据命题和否定连接词的定义,可设P:
今天下雨,则语句“今天没有下雨.”翻译成命题公式为P.
练习3。
(2008年9月试卷第11题)将语句“如果你去了,那么他就不去.”翻译成命题公式.
条件联结词“”在语句中表示“如果…,则…”,与本语句中的“如果…,那么…”,语意相同,再依据否定联结词的定义,则可设P:
你去,Q:
他去,于是语句“如果你去了,那么他就不去.”翻译成命题公式为PQ.
练习4。
(2009年10月试卷第12题)将语句“如果明天不下雨,我们就去郊游.”翻译成命题公式.
依据条件联结词“”在语句中表示“如果…,则…”,以及否定联结词的定义,可设P:
明天下雨,Q:
我们就去郊游,则该语句可翻译成命题公式为PQ.
练习5。
(2009年7月试卷第11题)将语句“尽管他接受了这个任务,但他没有完成好.”翻译成命题公式.
依据合取联结词“”在语句中相当于“并且”,“不但…而且…”,“既…又…”,以及否定联结词的定义,可设P:
他接受了这个任务,Q:
他完成好了这个任务。
则该语句可翻译成命题公式为PQ.
练习6。
(2010年1月试卷第11题)将语句“今天考试,明天放假.”翻译成命题公式.
合取联结词“”只考虑命题之间的关系以及复合命题的取值情况等。
今天考试,Q:
明天放假.则该语句可翻译成命题公式为P∧Q.
练习7。
将语句“如果天不下雪,我有时间,那么我就去市里”翻译成命题公式.
依据合取联结词“”,在语句中相当于“并且”,“不但…而且…”,条件联结词“”在语句中表示“如果…,则…”。
天下雪,Q:
我去市里,R:
我有时间,则该语句可翻译成命题公式为:
PRQ
练习8。
命题公式
的真值是 .
该命题公式的真值为1。
依据蕴含等价式、结合律和零律,可将该命题公式化为:
练习9。
命题公式(PQ)→Q为()
A.矛盾式B.可满足式
C.重言式D.合取范式
B
因为利用蕴含等价式可将(PQ)→Q化为(PQ)Q,利用德·
摩根律得(PQ)Q,利用分配律得(PQ)(QQ),利用否定律得(PQ)1,再利用同一律得PQ,因此该命题公式为可满足式。
练习10。
判断命题公式﹁(Q→P)∧P的类型(重言式、矛盾式或可满足式),说明理由。
﹁(Q→P)∧P﹁(﹁Q∨P)∧P(Q∧﹁P)∧P
Q∧﹁P∧PQ∧(﹁P∧P)
Q∧00
所以﹁(Q→P)∧P是矛盾式。
练习11。
证明命题公式
是永真式.
练习12。
下列命题公式等值的是为()。
A.
B.
C.
D.
C
因为利用蕴含等价式可得,
练习13。
化简命题公式
.
因为
练习14。
证明命题公式(P(QR))PQ与(PQ)等值.
证明(P(QR))PQ(P(QR))PQ
(PPQ)(QPQ)(RPQ)
(PQ)(PQ)(PQR)
PQ
(PQ)
练习15。
(2009年7月试卷第15题)求(P∨Q)→(R∨Q)的合取范式.
(P∨Q)→(R∨Q)
(P∨Q)∨(R∨Q)
(P∧Q)∨(R∨Q)
(P∨R∨Q)∧(Q∨R∨Q)
(P∨R∨Q)∧R合取范式
练习16。
(2009年10月试卷第15题)求(P∨Q)→R的析取范式与合取范式.
(P∨Q)→R(P∨Q)∨R
(P∧Q)∨R(析取范式)
(P∨R)∧(Q∨R)(合取范式)
练习17。
(2010年1月试卷第2题)命题公式(P∨Q)的合取范式是()
A.(P∧Q)B.(P∧Q)∨(P∨Q)
C.(P∨Q)D.(P∧Q)
因为,选项A,B与命题公式(P∨Q)不等价,选项D中的“”没有移到各命题变元之前,选项C是命题公式(P∨Q)只由一个析取项组成的合取范式。
故选项C正确。
练习18。
试证明:
(附加前提证明法)
(1)SCP规则
(2)SPP
(3)PT
(1)
(2)I
(4)P(QR)P
(5)QRT(3)(4)I
(6)QP
(7)RT(5)(6)I
练习19。
构造下面推
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 离散数学 题型 梳理