统考版届高考数学一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第1节集合教师用书教案北师大版Word文档下载推荐.docx

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（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和∉表示．

（3）集合的表示方法：

列举法、描述法、Venn图法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2．集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

A

B或B

相等

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

提醒：

∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

运算

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

（1）对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.

（2）A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.

一、易错易误辨析（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　　）

（2）{x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{（x，y）|y＝x2}．（　　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　　）

（4）直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

二、教材习题衍生

1．若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下列结论正确的是（　　）

A．{a}⊆AB．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

D　[a＝2

∉N，则a∉A，故选D.]

2．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.

（－2,1）　（－∞，3）　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，

∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]

3．已知U＝{α|0°

＜α＜180°

}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U（A∪B）＝________.

[答案]　{x|x是直角}

4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．

64　[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，

∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，

∴M∪N的子集有26＝64个．]

考点一　集合的含义与表示

解决与集合中的元素有关问题的一般思路

1．（2018·

全国卷Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9　　　　B．8　　　　C．5　　　　D．4

A　[由x2＋y2≤3知，－

≤x≤

，－

≤y≤

.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为C

C

＝9，故选A.]

2．已知a，b∈R，若

＝{a2，a＋b,0}，则a2021＋b2021＝________.

－1　[由已知得a≠0，则

＝0，

所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2021＋b2021＝（－1）2021＋02021＝－1.]

3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

0或

　[当a＝0时，显然成立；

当a≠0时，Δ＝（－3）2－8a＝0，即a＝

.]

考点二　集合间的基本关系

　判断集合关系的三种方法

[典例1]　

（1）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则

（　　）

A．A

BB．B

A

C．A⊆BD．B＝A

（2）（2020·

武汉模拟）集合{x|－1＜x＜3，x∈N*}的非空子集个数为（　　）

A．3B．4

C．7D．8

（3）已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．

（1）B　

（2）A　（3）（－∞，2]　[

（1）由1－x2≥0得－1≤x≤1，则A＝{x|－1≤x≤1}，

由－1≤m≤1得0≤m2≤1，则B＝{x|0≤x≤1}，

所以B

A，故选B.

（2）{x|－1＜x＜3，x∈N*}＝{1,2}，其非空子集个数为3，故选A.

（3）A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝∅，满足B⊆A，

此时2－a≥1＋a，即a≤

.

②若B≠∅，由B⊆A得

，解得

＜a≤2.

由①②知a的取值范围为（－∞，2]．]

点评：

（1）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

（2）空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入验证，否则易增解或漏解．

1．（2020·

北京模拟）已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N⊆M，则在下列集合中符合条件的集合N可能是（　　）

A．{0,1}B．{x|x2＝1}

C．{x|x2＞0}D．R

A　[因为0∈M,1∈M，所以{0,1}⊆M，故选A.]

2．若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m＋1}，且A＝B，则m＝（　　）

A．0B．1

C．±

1D．0或1

A　[由题意知

解得m＝0，故选A.]

考点三　集合的基本运算

　集合运算三步骤

　集合的交、并、补运算

[典例2－1]　

（1）（2020·

全国卷Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．2B．3

C．4D．6

（2）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于（　　）

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）

（3）（2020·

衡水中学模拟）已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg（x－1）}，则阴影部分所示集合为（　　）

A．[1,2]B．（1,2）

C．（1,2]D．[1,2）

（1）C　

（2）C　（3）B　[

（1）由题意得，A∩B＝{（1,7），（2,6），（3,5），（4,4）}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.

（2）∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，

∴A∪B＝（－1，＋∞），故选C.

（3）由Venn图可知，阴影部分所示集合为B∩（∁UA）．

又A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}＝[2，＋∞）．

∴∁UA＝（－∞，2）．

又B＝{x|y＝lg（x－1）}＝{x|x＞1}．

∴B∩（∁UA）＝（1,2）．

故选B.]

集合运算的常用方法

（1）若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．

（2）若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心．

　根据集合的运算结果求参数

[典例2－2]　

（1）（2020·

全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝（　　）

A．－4B．－2

C．2D．4

秦皇岛模拟）若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|（x－a＋1）（x－a）≥0}，A∪B＝R，则实数a的取值范围为（　　）

A．[2，＋∞）B．

C．

D．（－∞，2]

（1）B　

（2）C　[

（1）易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝

，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－

＝1，解得a＝－2.故选B.

（2）B＝{x|x≥a或x≤a－1}，由A∪B＝R得3－2a≤a－1，解得a≥

，故选C.]

1．（2019·

天津高考）设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（　　）

A．{2}B．{2,3}

C．{－1,2,3}D．{1,2,3,4}

D　[由题意可知A∩C＝{1,2}，则（A∩C）∪B＝{1,2,3,4}，故选D.]

2．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（　　）

A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅

A　[B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，又A＝{x|x＜1}，

则A∩B＝{x|x＜0}．A∪B＝{x|x＜1}，故选A.]

3．已知集合A＝[1，＋∞），B＝[0,3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．

D．（1，＋∞）

C　[由A∩B≠∅得3a－1≥1，解得a≥