名师整理数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测试题含答案解析Word下载.docx
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③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
8.从一块正方形铁皮的四角上各剪去一个边长为3cm的小正方形,制成一个无盖的盒子,若盒子的容积为300cm3,则铁皮的边长为()
A.16cmB.14cmC.13cmD.11cm
9.将一元二次方程x2-6x-5=0化成(x+a)2=b的形式,则b等于()
A.-4B.4C.-14D.14
10.下列说法中,正确的是(
)
A.方程5x2=x有两个不相等的实数根
B.方程x2﹣8=0有两个相等的实数根
C.方程2x2﹣3x+2=0有两个整数根
D.当k>
时,方程(k﹣1)x2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根
11.已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程有解,则必须( )
A.n=0B.mn同号C.n是m的整数倍D.mn异号
12.下列方程中不一定是一元二次方程的是()
A.(a-3)x2=8(a≠3)B.ax2+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5D.
二、填空题
13.某公司举行年会晚宴,出席者两两碰杯一次,总共碰杯
次,设晚宴共有
人参加,根据题意,可列方程__________.
14.如图,某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为__m.
15.方程2x2+3x-
=0的判别式的值等于___________.
16.已知
、
是关于
的一元二次方程
的两个不相等的实数根,且满足
则
的值是_____.
17.已知k>0,且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根,那么k的值等于_____.
三、解答题
18.已知:
关于
的方程
.
(1)不解方程:
判断方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求
的值.
19.已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根,求代数式
的值.
20.已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.
(1)求证:
k取任何实数值,方程总有实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
21.关于x的一元二次方程mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根.
参考答案
1.D
【解析】
解:
A.正确.当a>0,c<0时,△=b2﹣4ac>0,则方程一定有实数根;
B.正确.当c=0时,则ax2+bx=0,则方程至少有一个根为0;
C.正确.当a>0,b=0,c<0时,方程两根为x1,x2,x1+x2=
=0,则方程的两根一定互为相反数;
D.错误.当ac<0时,方程的两个根异号,当ac>0时,方程的两个根同号.
故选D.
2.C
根据因式分解法解一元二次方程的方法,提取公因式x可得x(x-2)=0,然后按照ab=0的形式的方程解法,可得x=0或x-2=0,解得x1=0,x2=2.
故选:
C.
点睛:
本题考查了因式分解法解一元二次方程,当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.
3.B
【解析】∵关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根,
∴△=(﹣3)2﹣4×
4m=9﹣16m=0,解得:
m=
,
故选B.
4.A
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根,
∴△>
0,即82-4q>
0,
∴q<
16,
故选A.
5.B
【解析】解:
设每个支干长出x个小分支,根据题意列方程得:
x2+x+1=73.故选B.
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目,找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键.
6.D
设这次有x个队参加比赛,由题意得:
x(x-1)=45,解得x=10或﹣9(舍去);
∴这次有10个队参加比赛.故选D.
7.D
试题解析:
设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2,方程y2+2ny+2m=0的两根为y1、y2.
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,
∴x1•x2=2n>0,y1•y2=2m>0,
∵x1+x2=-2m,y1+y2=-2n,
∴这两个方程的根都是负根,①正确;
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,
∴4m2-8n≥0,4n2-8m≥0,
∴m2-2n≥0,n2-2m≥0,
∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2,②正确;
③∵y1•y2=2m,y1+y2=-2n,
∴2m-2n=y1•y2+y1+y2,
∵y1、y2均为负整数,
不妨设y1=-3,y2=-5
∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=7,不在-1与1之间。
故-1≤2m-2n≤1错误.
综上所述:
成立的结论有①②.
故选C.
8.A
【解析】设正方形铁皮的边长应是x厘米,则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为(x-3×
2)厘米,高为3厘米,根据长方体的体积计算公式列方程解答即可.
设正方形铁皮的边长应是x厘米,则没有盖的长方体盒子的长、宽为(x−3×
2)厘米,高为3厘米,根据题意列方程得,
(x−3×
2)(x−3×
2)×
3=300,
解得x1=16,x2=−4(不合题意,舍去);
答:
正方形铁皮的边长应是16厘米.
A.
9.D
故选D.
10.A
【解析】A.方程5x2=x可变形为5x2−x=0,
∴△=(−1)2−4×
5×
0=1>
∴该方程有两个不相等的实数根,A正确;
B.在方程x2−8=0中,△=02−4×
1×
(−8)=32>
∴该方程有两个不相等的实数根,B错误;
C.在方程2x2−3x+2=0中,△=(−3)2−4×
2×
2=−7<
∴该方程没有实数根,C错误;
D.如要方程(k−1)x2+2x−3=0有两个不相等的实数根,则△>
0且k−1≠0,
∴△=22−4×
(k−1)×
(−3)=12k−8>
0,k−1≠0,
解得:
k>
23且k≠1,D错误。
故选A.
点睛:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>
0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;
当△=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;
当△<
0时,一元二次方程没有实数根.
11.D
异号,
12.B
【解析】本题根据一元二次方程的定义解答.
A.由于a≠3,所以a−3≠0,故(a−3)x2=8(a≠3)是一元二次方程;
B.方程二次项系数可能为0,不一定是一元二次方程;
C.方程展开后是:
x2−11=0,符合一元二次方程的定义;
D.符合一元二次方程的定义.
B.
本题主要考查一元二次方程的定义.解题的关键要根据一元二次方程必须满足四个条件进行判断,即
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.
13.
【解析】根据题意,两两碰杯一次总数是
所以可列方程
故答案为:
14.2
【解析】试题分析:
设人行通道的宽度为x米,将两块矩形绿地合在一起长为(30-3x)m,宽为(24-2x)m,根据矩形绿地的面积为480m2,即可列出关于x的一元二次方程,解方程即可得出x的值,经检验后得出x=20不符合题意,此题得解.
设人行通道的宽度为xm,
将两块矩形绿地合在一起长为(30−3x)m,宽为(24−2x)m,
由已知得:
(30−3x)⋅(24−2x)=480,
整理得:
x2−22x+40=0,
x1=2,x2=20,
当x=20时,30−3x=−30,24−2x=−16,不符合题意舍去,
即x=2.
人行通道的宽度为2m.
故答案为:
2.
15.29
【解析】a=2,b=3,c=
△=b2-4ac=
=9+20=29,
29.
16.3
【解析】根据题意b2-4ac=(2m+3)2-4m2>
0,解得m>
,
由根与系数关系可得:
α+β=-(2m+3),αβ=m2,
∵
,即
=-1,
∴
,解得m1=-1,m2=3,
∵m>
,∴m=3,
3.
17.3
方程有两个实数根,则说明根的判别式为零,即△=
,解得:
k=3或k=-4,根据题意可得:
k=3.
18.
(1)有两个不相等的实数根;
(2)
(1)根据根的判别式判断即可;
(2)将x=3代入方程,解方程即可得m的值.
解
(1)∵a=1,b=2m,c=m2﹣1,∴△=b2﹣4ac=(2m)2﹣4×
(m2﹣1)=4>0,即方程有两个不相等的实数根;
(2)∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3,∴把x=3代入方程得:
32+2m×
3+m2﹣1=0,整理得:
m2+6m+8=0,解得:
m=﹣4或m=﹣2.
19.2.
试题分析:
根据一元二次方程的解的定义得
则
再化简原式得到
然后利用整体思想进行计算.
把x=1代入
得:
∴原式
20.
(1)有两个实数根;
(2)直角三角形的周长为
(1)把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式,得出△≥0可知方程总有实数根;
(2)把x=1代入原方程中,解得k=1,从而得到方程的另一根.然后分两种情况讨论即可.
(1)证明:
∵△=b2﹣4ac=(k+2)2﹣8k=(k﹣2)2≥0,∴无论k取任意实数值,方程总有实数根;
(2)把x=1代入x2-(k+2)x+2k=0中,1-(k+2)+2k=0,k=1,
把k=1代入x2-(k+2)x+2k=0中,
x=1或x=2,
所以方程的另一根是2.
①当1,2为直角边时,斜边为
此时直角三角形周长为
②当2为斜边,1为直角边时,另一直角边为
综上所述,直角三角形的周长为
.
本题主要考查方程根的判别式及直角三角形的性质,掌握方程根的判别式与方程根的情况的关系是解题的关键,注意分类讨论.
21.2;
x1=1,x2=
由一元二次方程的△=b2﹣4ac=1,建立m的方程,求出m的解后再化简原方程并求解.
∵由题意知,m≠0,△=b2﹣4ac=[﹣(3m﹣1)]2﹣4m(2m﹣1)=1,∴m1=0(舍去),m2=2,∴原方程化为:
2x2﹣5x+3=0,解得:
x1=1,x2=
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