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当A=B=0时,若b≠0,则必定有c≠0(此时,适用盛金公式①解题)。
盛金定理3:
当A=B=0时,则必定有C=0(此时,适用盛金公式①解题)。
盛金定理4:
当A=0时,若B≠0,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。
盛金定理5:
当A<0时,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。
盛金定理6:
当Δ=0时,若B=0,则必定有A=0(此时,适用盛金公式①解题)。
盛金定理7:
当Δ=0时,若B≠0,盛金公式③一定不存在A≤0的值(此时,适用盛金公式③解题)。
盛金定理8:
当Δ<0时,盛金公式④一定不存在A≤0的值。
(此时,适用盛金公式④解题)。
盛金定理9:
当Δ<0时,盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值,即T出现的值必定是-1<T<1。
显然,当A≤0时,都有相应的盛金公式解题。
注意:
盛金定理逆之不一定成立。
如:
当Δ>0时,不一定有A<0。
盛金定理表明:
盛金公式始终保持有意义。
任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时,使用卡尔丹公式解题仍存在开立方(WhenΔ=0,Shengjin’sformulaisnotwithradicalsign,andefficiencyhigherforsolvinganequation)。
与卡尔丹公式相比较,盛金公式的表达形式较简明,使用盛金公式解题较直观、效率较高;
盛金判别法判别方程的解较直观。
重根判别式A=b2-3ac;
C=c2-3bd是最简明的式子,由A、B、C构成的总判别式Δ=B2-4AC也是最简明的式子(是非常美妙的式子),其形状与一元二次方程的根的判别式相同;
盛金公式②中的式子(-B±
(B2-4AC)1/2)/2具有一元二次方程求根公式的形式,这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
以上结论,发表在《海南师范学院学报(自然科学版)》(第2卷,第2期;
1989年12月,中国海南。
国内统一刊号:
CN46-1014),第91—98页。
范盛金,一元三次方程的新求根公式与新判别法。
(NATURALSCIENCEJOURNALOFHAINANTEACHERESCOLLEGE,HainanProvince,China.Vol.2,No.2;
Dec,1989),Anewextractingformulaandanewdistinguishingmeansontheonevariablecubicequation.,FanShengjin.PP·
91—98.
例1解方程4X3+42×
21/2X2+294X+343×
21/2=0
解a=4,b=42×
21/2,c=294,d=343×
21/2,
A=b2-3ac=(42×
21/2)2-3×
4×
294=0;
B=bc-9ad=(42×
21/2)294-9×
4(343×
21/2)=0。
∵A=B=0,∴应用盛金公式①求解。
把有关值代入盛金公式①,得:
X1=X2=X3=-b/(3a)=-42×
21/2/(3×
4)=-7×
21/2/2。
所以,原方程的解是:
X1=X2=X3=-7×
例2解方程592704X3-2095632X2+2469852X-970299=0
(使用科学计算器辅助运算。
)
解a=592704,b=-2095632,c=2469852,d=-970299,
A=b2-3ac=(-2095632)2-3×
592704×
2469852=0;
B=bc-9ad=(-2095632)2469852-9×
592704(-970299)=0。
X1=X2=X3=-c/b=-2469852/(-2095632)=1+5/28。
X1=X2=X3=1+5/28。
例3解方程5×
21/2X3-18X2+6×
21/2X+4=0
解a=5×
21/2,b=-18,c=6×
21/2,d=4,
A=b2-3ac=(-18)2-3(5×
21/2)(6×
21/2)=144;
B=bc-9ad=(-18)(6×
21/2)-9(5×
21/2)4=-288×
21/2;
C=c2-3bd=(6×
21/2)2-3(-18)4=288,
Δ=B2-4AC=(-288×
21/2)2-4×
144×
288=0。
∵Δ=0,∴应用盛金公式③求解。
K=B/A=-288×
21/2/144=-2×
21/2。
把有关值代入盛金公式③,得:
X1=-b/a+K=-(-18)/(5×
21/2)+(-2×
21/2)=-21/2/5;
X2=X3=-K/2=-(-2×
21/2)/2=21/2。
X1=-21/2/5;
X2=X3=21/2。
例4解方程27×
71/2X3+189X2-196=0
解a=7×
71/2,b=189,c=0,d=-196,
A=b2-3ac=1892-3(27×
71/2)×
0=1892;
B=bc-9ad=189×
0-9(27×
71/2)(-196)=9×
27×
196×
71/2;
C=c2-3bd=02-3×
189(-196)=3×
189×
196,
Δ=B2-4AC=(9×
71/2)2-4×
1892×
3×
196=0。
K=B/A=9×
71/2/1892=4×
71/2/3。
X1=-b/a+K=-189/(27×
71/2)+(4×
71/2)/3=71/2/3;
X2=X3=-K/2=-(4×
71/2/3)/2=-(2×
71/2)/3。
X1=71/2/3;
X2=X3=-2×
例5判别方程40X3+12X2+30X+25=0的解
解a=40,b=12,c=30,d=25,
A=b2-3ac=122-3×
40×
30<0。
∵A<0,∴根据盛金定理5,必定有Δ>0,
∴根椐盛金判别法②,方程有一个实根和一对共轭虚根。
例6判别方程X3+7X2+16X+12=0的解
解a=1,b=7,c=16,d=12,
A=b2-3ac=72-3×
1×
16=1;
B=bc-9ad=7×
16-9×
12=4;
C=c2-3bd=162-3×
7×
12=4,
Δ=B2-4AC=42-4×
4=0。
∵Δ=0,∴根据盛金判别法③,方程有三个实根,其中有一个两重根。
例7判别方程8×
31/2X3+36X2+18×
31/2X+9=0的解
解a=8×
31/2,b=36,c=18×
31/2,d=9,
A=b2-3ac=362-3(8×
31/2)(18×
31/2)=0,
B=bc-9ad=36(18×
31/2)-9(8×
31/2)9=0。
∵A=B=0,∴根据盛金判别法①,方程有一个三重实根。
例8解方程584X3-27X2+18X-4=0
解a=584,b=-27,c=18,d=-4,
A=b2-3ac=(-27)2-3×
584×
18=-30807;
B=bc-9ad=(-27)18-9×
584(-4)=20538;
C=c2-3bd=182-3(-27)(-4)=0,
Δ=B2-4AC=205382-4(-30807)0=205382
∵Δ>0,∴应用盛金公式②求解。
Δ1/2=(205382)1/2=20538,
Y1,2=Ab+3a(-B±
Δ1/2)/2
=(-30807)(-27)+3×
584(-20538±
20538)/2,
即Y1=831789;
Y2=-35150787,
把有关值代入盛金公式②,得:
X1=(-b-(Y11/3+Y21/3))/(3a)
=(-(-27)-(8317891/3+(-35150787)1/3))/(3×
584)
≈0.148704491;
31/2(Y11/3-Y21/3)i)/(6a)
=(-2×
(-27)+8317891/3+(-351507871/3)±
31/2(8317891/3-(-351507871/3))i)/(6×
584),
≈-0.051235807±
0.208410171i。
X1=0.148704491;
X2,3=-0.051235807±
例9解方程171/2X3-5X2-2X+9=0
解a=171/2,b=-5,c=-2,d=9,
A=b2-3ac=(-5)2-(3×
171/2)(-2)≈49.73863375;
B=bc-9ad=(-5)(-2)-9(171/2)9≈-323.9715556;
C=c2-3bd=(-2)2-3(-5)9=139,
Δ=B2-4AC=(-323.9715556)2-4×
49.73863375×
139≈77302.88847。
Δ1/2=77302.888541/2≈278.0339701,
=49.73863375(-5)+3(171/2)(-(-323.9715556)±
278.0339699)/2
即Y1≈3474.505384;
Y2≈35.41510829。
=(-(-5)-(3474.5053841/3+35.415108291/3))/(3×
171/2)
≈-1.085746079;
(-5)+3474.5053841/3+35.415108291/3
±
31/2(3474.5053841/3-35.415108291/3)i)/(6×
即X2,3≈1.149212102±
0.830509094i。
X1=-1.085746079;
X2,3=1.149212102±
例10判别方程20X3-72X2-41X+168=0的解,并解这个方程。
解a=20,b=-72,c=-41,d=168,
A=b2-3ac=(-72)2-3×
20(-41)=7644;
B=bc-9ad=(-72)(-41)-9×
20×
168=-27288;
C=c2-3bd=(-41)2-3(-72)×
168=37969,
Δ=B2-4AC=(-27288)2-4×
7644×
37969<
0。
∵Δ<
0,∴根据盛金判别法④,方程有三个不相等的实根。
0,∴应用盛金公式④求解。
θ=arccosT=arccos((2Ab-3aB)/(2A3/2))
=arccos((2×
(-72)-3×
20(-27288))/(2×
76443/2))
≈66.333o。
把有关值代入盛金公式④,得:
X1=(-b-2A1/2cos(θ/3))/(3a)
=(-(-72)-2×
76441/2cos(66.333o/3))/(3×
20)≈-1.5;
31/2sin(θ/3)))/(3a)
=(-(-72)+76441/2(cos(66.333o/3)±
31/2sin(66.333o/3)))/(3×
20)
即X2≈3.5;
X3≈1.6。
X1=-1.5;
X2=3.5;
X3=1.6。
例11解方程73/2(2-21/2)1/2X3+63X2-27=0
(这个方程用其他方法不方便求解,用盛金公式便可直观求解。
解a=73/2(2-21/2)1/2,b=63,c=0,d=-27,
A=b2-3ac=632-3×
73/2(2-21/2)1/2×
0=632;
B=bc-9ad=63×
0-9×
73/2(2-21/2)1/2(-27)=63×
71/2(2-21/2)1/2;
63(-27)=3×
63×
27,
Δ=B2-4AC
=(63×
71/2(2-21/2)1/2)2-4×
632×
27
=632×
272×
7(-21/2-2)<
T=(2Ab-3aB)/(2A3/2)
=(2×
63-3×
71/2(2-21/2)1/2)/(2×
(632)3/2)
=21/2/2,
=arccos(21/2/2)=45o,
cos(θ/3)=cos(45o/3)=cos15o=(61/2+21/2)/4;
sin(θ/3)=sin(45o/3)=sin15o=(61/2-21/2)/4。
=(-63-2×
(632)1/2(61/2+21/2)/4)/(3×
73/2(2-21/2)1/2)
=(-3(2+21/2+61/2)141/2(2+21/2)1/2)/28;
X2=(-b+A1/2(cos(θ/3)+31/2sin(θ/3)))/(3a)
=(-63+(632)1/2((61/2+21/2)/4+31/2(61/2-21/2)/4))/(3×
=(3×
141/2(2-21/2)1/2)/14;
X3=(-b+A1/2(cos(θ/3)-31/2sin(θ/3)))/(3a)
=(-63+(632)1/2((61/2+21/2)/4-31/2(61/2-21/2)/4))/(3×
=(-3(2+21/2-61/2)141/2(2+21/2)1/2)/28。
X1=(-3(2+21/2+61/2)141/2(2+21/2)1/2)/28;
X2=(3×
X3=(-3(2+21/2-61/2)141/2(2+21/2)1/2)/28。
或:
X1≈-4.343547451;
X2≈0.613658696;
X3≈-0.714620687。
例12解方程93092X3+131683X2+59514X+8379=0
解a=93092,b=131683,c=59514,d=8379,
A=b2-3ac=1316832-3×
93092×
59514=719580625;
B=bc-9ad=131683×
59514-9×
8379=816821250;
C=c2-3bd=595142-3×
131683×
8379=231800625,
Δ=B2-4AC=8168212502-4×
719580625×
231800625=0。
K=B/A=816821250/719580625=42/37。
X1=-b/a+K=-(131683/93092)+(42/37)=-19/68;
X2=X3=-K/2=-(42/37)/2=-21/37。
X1=-19/68;
X2=X3=-21/37。
例13解方程1352X3+156×
131/2X2+78X+131/2=0
解a=1352,b=156×
131/2,c=78,d=131/2,
A=b2-3ac=(156×
131/2)2-3×
1352×
78=0;
B=bc-9ad=156×
131/2×
78-9×
131/2=0。
X1=X2=X3=-3d/c=-3×
131/2/78=-131/2/26。
X1=X2=X3=-131/2/26。
例14解方程8X3-6X2+1=0
(这是一位数学爱好者在网上求助解答的一道题。
他说,他解这道题解得很累,花了许多时间。
他想知道有什么好的方法来求解?
并且提出:
一般地4X3-3X2+t=0如何求解?
解 a=8,b=-6,c=0,d=1,
A=b2-3ac=(-6)2-3×
8×
0=36;
B=bc-9ad=(-6)×
1=-72;
C=c2-3bd=02-3(-6)×
1=18,
Δ=B2-4AC=(-72)2-4×
36×
18=2×
362。
Δ1/2=(2×
362)1/2=36×
=36×
(-6)+3×
8(-(-72)±
21/2)/2
=-63+2×
63(2±
21/2),
即Y1=-63+2×
63(2+21/2);
Y2=-63+2×
63(2-21/2),
Y11/3=(-63+2×
63(2+21/2))1/3=6(21/2+1)2/3=6M1/3;
Y21/3=(-63+2×
63(2-21/2))1/3=6(21/2-1)2/3=6N1/3,
其中M=(21/2+1)2;
N=(21/2-1)2。
=(-(-6)-(6M1/3+6N1/3))/(3×
8)
=(1-M1/3-N1/3)/4;
=(-2(-6)+6M1/3+6N1/3±
31/2(6M1/3-6N1/3)i)/(6×
=(2+M1/3+N1/3±
31/2(M1/3-N1/3)i)/8。
X1=(1-M1/3-N1/3)/4;
X2,3=(2+M1/3+N1/3±
其中M=(21/2+1)2;
X1≈-0.338825349;
X2≈0.544412675-0.269325953i;
X3≈0.544412675+0.269325953i。
例15解方程4X3-3X2+t=0
解a=4,b=-3,c=0,d=t,
A=b2-3ac=(-3)2-3×
0=9;
B=bc-9ad=(-3)×
4t=-36t;
C=c2-3bd=02-3(-3)t=9t,
Δ=B2-4AC=(-36t)2-4×
9×
9t=36×
9t(4t-1)。
讨论:
①∵A=9≠0,∴无论t为任意实数时,原方程一定不会出现三个相等的实根;
②当Δ>
0时,即有t(4t-1)>
0,得:
t<
0或t>
1/4;
③当Δ=0时,即有t(4t-1)=0,得:
t1=0或t2=1/4;
④当Δ<
0时,即有t(4t-1)<
(1/4)>
t>
0。
因此,原方程解的情况为:
①无论t为任意实数时,原方程一定不存在三个相等的实根;
②当t<
1/4时,把有关值代入盛金公式②即可求得结果;
③当t1=0或t2=1/4时,把有关值代入盛金公式③即可求得结果;
④当(1/4)>
0时,把有关值代入盛金公式④即可求得结果。
关于4X3-3X2+t=0如何求解的问题,作者认为如上解答较为清晰。
如4X3-3X2+t=0这样的方程,因为t的值是变化的,所以方程的解也随着变化。
由于盛金公式是一元三次方程的一般式求根公式,无论任意情形的实系数一元三方程都可运用盛金公式直观求解(当然包括系数为未知数的方程),系数为未知数的值使重根判别式或总判别式的值符合盛金公式的哪一种情形,就套用哪一个盛金公式求解即可。
例16解方程12X3+20iX2-11X-2i=0
解a=12,b=20i,c=-11,d=-2i,
A=b2-3ac=(20i)2-3×
12(-11)=-4;
B=bc-9ad=(20i)(-11)-9×
12(-2i)=-4i;
C=c2-3bd=(-11)2-3(20i)(-2i)=1,
Δ=B2-4AC=(-4i)2-4(-4)×
1=0。
K=B/A=-4i/(-4)=i。
X1=-b/a+K=-20i/12+i=-2i/3;
X2=X3=-K/2=-i/2。
X1=-2i/3;
X2=X3=-i/2。
(这个方程解的结果是虚数,这是因为原方程的系数有虚数值。
虽然盛金公式能解这类方程,但是盛金判别法是指实系数而言。
例17解方程4X3+6X2+3X+10=0
解a=4,b=6,c=3,d=10,
A=b2-3ac=62-3×
3=0;
B=bc-9ad=6×
3-9×
10=-342;
C=c2-3bd=32-3×
6×
10=-171,
Δ=B2-4AC=(-342)2-4×
0(-171)=3422。
Δ1/2=(3422)1/2=342,
=0×
6+3×
4(-(-342)±
342)/2
=12(342±
342)/2,
即Y1=4104;
Y2=0,
=(-6-(41041/3+0))/(3×
4)
=(-6-41041/3)/
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