等差数列.docx
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等差数列
等差数列
一、选择题
1、等差数列( ).
A、13 B、12 C、11 D、10
2、原命题:
“设>bc”以及它的逆命题,否命题、逆否命题中,真命题共有( )个.
A、0 B、1 C、2 D、4
3、不等式组所表示的平面区域是( )
A、一个三角形 B、一个梯形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形
4、已知等比数列中,表示前n项的积,若=1,则( ).
A、=1 B、=1 C、=1 D、=1
5、设集合,,那么的( ).
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
6、已知约束条件,则目标函数z=3x+y的最大值为_______
(A)(B)12(C)8(D)24
7、如图,区域有四个顶点,坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(),C(0,4),将它们分别代入目标函数z=3x+y即可得的最大值为12
8、设集合,则( ).
A、 B、 C、 D、
9、函数的零点为,的零点为,则
(A)3(B)3.5(C)4(D)4.5
10、利用数形结合如图:
函数的零点是方程的根,转化为直线与曲线的交点A的横坐标,同理的零点转化为直线与曲线的交点B的横坐标,而函数与互为反函数,图象关于直线y=x对称,所以A、B关于M对称,而点M的横坐标由解得x=2,所以a+b=2×2=4.
11、对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )
(A)(B)
(C)(D)
由得或,即时函数f(x)为增函数,时函数f(x)为减函数,所以,,所以,选D
12、已知数列的前n项和为,且()
A.B.C.D.
在中取,得即。
在中取,得
,,所以
13.已知函数,则函数()
A.最大值为3,最小值为B.最大值为3,没有最小值
C.没有最大值,最小值为D.最大值为4,最小值为2
因为函数上是减函数,所以当时,
14、已知函数在区间内单调递减,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
要使函数在上单调递减,只要使当时即可.从而问题转化为,解得.故选A
15.已知等差数列中,是方程的两根,则 等于()
A. B. C.D.
是等差数列,∴有,,且,
∴.
16.已知点在由不等式组确定的平面区域内,则点M所在的平面区域的面积是()
A. B. C.D.
不等式组所表示的平面区域如图所示,
是一个直角三角形.由题意可知,
=2,故而选B.
二、填空题
12、若且的最小值为 .
12、已知等差数列的首项为24,公差为,则当n=__时,该数列的前n项和取得最大值。
12、由已知得:
,由,所以n=12或13
10、已知二次函数,当n依次取时,其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为__________
(A)1(B)(C)(D)
10、函数图像与x轴的交点即为方程的根,解得,所以函数,图像在x轴是所截得的线段的长度为,所以当n依次取时,其图像在x轴是所截得的线段的长度的总和为。
三、解答题
18、(本题满分14分)
设数列为公比的等比数列.
(1)求数列的通项公式;(8分)
(2)求.(6分)
18、解:
(1)∵数列
∴ ………………3分
∴
∴ ………………6分
∴ ………………8分
(2)由
(1)知是以为首项,C2为公比的等比数列, ……11分
……………14分
17、(本题满分14分)已知函数.
(1)求函数的单调区间(7分).
(2)求函数的极值(7分).
17、解:
(1)由 得
………………2分
当
∴ ………5分
当
∴函数 ………………7分
(2)令 ………………9分
由
(1)知,函数内单调递增,在(-1,3)内单调递减, ……9分
∴当 ………………12分
∵函数
∴当 ………………14分
17、(本题满分14分)
已知数列满足=1,= ().
①求;(4分)
②证明:
求.(10分)
17、
(1)解:
(1)解:
∵,∴,…………4分
(2)证明:
已知得
……………8分
…
…………12分
当时,
∴…………14分
19、(本题满分14分)
用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻折900角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最大?
最大的容积是多少?
19、解:
设容器的高为x,容器的体积为V.
则(0 = …………6分 ∵ …………8分 由 …………9分 ∴ …………11分 所以当 又 所以…………13分 答: 该容器的高为10cm时,容器有最大容积1960…………14分 18、(本小题满分14分) 已知等比数列{an}满足: a3、a4是方程x2-4x+=0的根,且存在正整数m,使,,+成等差数列,求该数列的通项公式 18.解: 因为a3、a4是方程x2-4x+=0的根,所以或即或 解得或,所以或(6分) 因为,,+成等差数列,所以 (1)若时,则有,整理得,解得或(舍去),所以,满足条件;(10分) (2)若,则有, 整理得: 2048,不存在正整数使此方程成立, 即不合题意。 (13分) ∴(14分) 20、(本小题满分14分) 设是定义在上的奇函数,且函数与的图象关于直线对称,当时,为常数) (1)求的解析式; (2)若对区间,上的每个值,恒有成立,求的取值范围。 20.解: (1)1°当时,, 设,为上的任一点,则它关于直线的对称点为 ,,满足且,适合的表达式, 即(4分) 2°当时,,为奇函数,, 3°当时, 综上,(7分) (2)由题意,时,,,(9分) 当时,恒成立,在,是增函数,得,即 当时,令得, 若,即时,则在,大于零,在,是增函数, 得 若,即时,则在,的最小值是 令得综上(14分) 17、(本小题满分14分) 已知是等比数列的前项和,成等差数列 (1)求证: 成等差数列, (2)求出数列的公比,并指出的等差中项是数列中的第几项? 17.解: 因为成等差数列,所以 当q=1时,, 这与数列为等比数列不符,所以(4分) 得,即 整理得,所以成等差数列(7分) (2)由 (1)知,所以,即, 解得(12分) 所以的等差中项是数列中的第10项(14分) 17.(本小题满分14分) 已知数列的前项和. (1)求数列{}的通项公式; (2)设,求数列{}的前项和. 17解: (1)时,;(2分) 当.(4分) (6分) (2)设,当时,;(8分) 时,,(10分) = (14分) 20.(本小题满分14分) 已知函数将的图象向右平移两个单位,得到的图象. (1)求函数的解析式; (2)若函数与函数的图象关于直线对称,求函数的解析式; (3)设已知的最小值是,且求实数 的取值范围. 20.解: (1)由题设,.(3分) (2)设的图象上,的图象上,则,(5分) 即.(7分) (3)由题设,= ①当时,有,,而,, ,这与的最小值矛盾;(9分) ②当时,有,,此时在上是增函数,故不存在最小值; ③当时,有,,此时在上是减函数,故不存在最小值; ④当时,有,,.(11分) 当且仅当时取得等号, 取最小值 又及,得 (14分) 16.解: (1)时,;(2分) 当.(4分) (6分) (2)设,当时,;(8分) 时,,(10分) = (14分) 18.(本小题满分14分) 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为,当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).通过市场分析,若每件售价为500元时,该厂年内生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 18、解析: ⑴当时, (2分) 当时, (4分) (6分) ⑵当时,, 当时,取得最大值(万元)(9分) 当时, (12分) 时,取得最大值1000万元,即生产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大(14分)
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