等差等比数列练习题以及基础知识点文档格式.docx
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1.右{an}是等差数列,则apaq
aras;
.若{an}是等比数列,则apaq
④顺次n项和性质:
n2n
3n
.若{an}是公差为d的等差数列,贝Vak,ak,ak组成公差为nd的等差数列;
k1kn1k2n1
n2n3n
.若{an}是公差为q的等比数列,贝Vak,ak,ak组成公差为qn的等比数列•(注意:
当q=—1,n
为偶数时这个结论不成立)
⑤若{an}是等比数列,
则顺次n项的乘积:
a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n组成公比这qn的等比数列.
⑥若{an}是公差为d的等差数列,
.若n为奇数,则Snna中S奇S偶a中(注:
a中指中项,即a中an1,而S奇、s偶指所有奇数项、所有偶
数项的和);
.若n为偶数,则S偶S奇—.
(二)学习要点:
1•学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差d工0的等差数列的通项公式是项n的一
次函数an=an+b;
②公差0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数S=an2+bn;
③公比qz1的等比数列的前n项公式可以写成“S=a(1-qn)的形式;
诸如上述这些理解对学习是很有帮助的
2•解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证明的性质解题•
3•巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:
①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m(或
a-m,a,a+m)”②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq2(或旦,a,aq)”③四数成等差数列,可设四数为q
a,am,a2m,a3m(或a
3m,am,am,a3m);
”④四数成等比数列
可设四数为
23a
a,aq,aq,aq(或3,q
a,aq,
q
3
aq),”等等;
类似的经验还很多,应在学习中总结经验
[例1]解答下述问题:
111
(I)已知一,一,-成等差数列,求证:
abc
caab
成等差数列;
bc
Khi
-,c-成等比数列.
(1)
(2)
a
b
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,
1
12ac2
bcc2a2ab
ac
ab
2acb(a①c),
一②
b(ac)a2c2
2(ac)2
c
2(a
c)
b'
a--成等差数列;
c
-)ac-(ac)
-成等比数列.
b(ac)
bcca
a,b,⑵(a2)(c
bb
a,,c
[评析]判断(或证明)一个数列成等差、
(H)等比数列的项数n为奇数,且所有奇数项的乘积为
等比数列主要方法有:
根据“中项”性质、根据“定义”判断,
1024,所有偶数项的乘积为
[解析]设公比为q,
a1a3a5an
1024
128、2
4:
2
而a1a?
a3a.
1024128.2
35
2y
12
a1q
n1
5
2n
(a1q)
2T,将
(1)代入得
(22)n
2迈,
5n353
,得n
7.
(川)等差
数列{an}中,
公差
d工0
a©
,akti恰为等比数列,其中k1
1,k2
:
5,k3
求数列{kn}的前n项和.
[解析],a5,
a17成等比数列,
a5
4a17,
⑻4d)2
a1(a116d)
d(a
2d)0
d0,a1
2d,
数列{ak}的公比qa5a1
4d
3,
a〔a
aka〔3
n
2d3n1
①
而akna1(kf
11)d2d(kn
1)d
②
由①,②得kn
23n11,
4一2
17,
*
n1.
{kn}的前n项和Sn2
a1q2
3(n1)2
在此数列中依次取出部分项组
成的数列
3n1n
31
[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功
[例3]解答下述问题:
(I)三数成等比数列,若将第三项减去32,则成等差数列;
再将此等差数列的第二项减去
求原来的三数•
[解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单,
设等差数列的三项分别为
4,
又成等比数列,
(ad)(ad
(a4)(a
32)
a—d,
2a
a,
d2
a+d,则有
d)(a
d)
8a
32d32a0
16d2
3d32d
640,d
8,得a10或26,
39
原三数为2,10,50或2,26
99
(n)有四个正整数成等差数列,
338
9"
公差为
10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数
[解析]设此四数为a15,a5,a5,a15(a15),
(a152)(a5)2(a5)(a15)(2m)2(mN)
4a25004m2(ma)(ma)125,
1251125525,
ma与ma均为正整数,且mama,
ma1ma2
ma125ma25
解得a62或a12(不合),所求四数为47,57,67,77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是
主要方法•
、等差等比数列练习题
一、选择题
1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列(B)为非零的常数数列
(A为常数数列
(C)存在且唯一
(D不存在
2.、在等差数列an中,
a14,且a1,as,成等比数列,贝Ua.的通项公式为
3、
4、
(Aan3n1
(B)ann
(C)an3n1或an
(Dann3或an4
已知a,b,c成等比数列,且x,y分别为
a与b、b与c的等差中项,则-
x
的值为
y
(B)2
(C)2
(D)不确定
互不相等的三个正数a,b,c成等差数列,
x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,那么
222
x,b,y三个数
(A)
(C)
成等差数列不成等比数列
既成等差数列又成等比数列
(B)成等比数列不成等差数列
(D)既不成等差数列,又不成等比数列
5、
已知数列
an的前n项和为Sn,S2n1
4n22n,则此数列的通项公式为
6、
7、
(A)
已知(z
an2n2
(B)an
8n2
(Can2n1(Dan
n2
x)4(xy)(yz),则
(Ax,y,z成等差数列
(B)x,y,z成等比数列
(C-,1,1成等差数列x'
y'
z
(D)
---成等比数列
JJ
xyz
数列an的前n项和Sn
an1,则关于数列an
的下列说法中,正确的个数有
①一定是等比数列,但不可能是等差数列
4可能既不是等差数列,又不是等比数列
②一定是等差数列,但不可能是等比数列
5可能既是等差数列,又是等比数列
3可能是等比数列,也可能是等差数列
(A4
(B)3
(D1
数列11,31,51,7—,,前n项和为
24816
2121121211
(A)nn1(B)n市(C)nnn1(d)nn市
222222
A4n2aa
9、若两个等差数列an、bn的前n项和分别为An、Bn,且满足一-,则」13的值为()
Bn5n5bsb13
7
/8
19
(B)—
(D)—
9
20
8
10、已知数列
的前n项和为Sn
n25n
2,则数列
的前
10项和为
()
56
(B)58
(C)62
(D)60
11、已知数列
的通项公式ann
5为,从
an中依次取出第3,
9,27,…
3n,…项,
按原来的顺序排成一个新的数列,则此数
列的前n项和为
n(3
n丄
3)(B)
3n5
(o3
10n
(D3"
1伽3
12、下列命题中是真命题的是()
A•数列an是等差数列的充要条件是anpnq(p0)
b.已知一个数列an的前n项和为Snan2bna,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
C.数列an是等比数列的充要条件anab
d.如果一个数列an的前n项和Snabnc(a0,b0,b1),则此数列是等比数列的充要条件是ac0
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列an,公比q1a5,a7,a8,成等差数列,则公比q=
14、已知等差数列an,公差d
0,a1,a5,a仃成等比数列,则
a1a5a17
a2a6a18
15已知数列an满足Sn1an,则an=
4
16、在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为
解答题
17、已知数列an是公差d不为零的等差数列,数列
abn是公比为q的等比数列,bi
1,b210,b346,求公比q及bn
18、已知等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等,且都等于d(d0,d
1),a1b1,a33b3,a55b5,求an,bn。
19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为
216,后三个数成等差数列,其和为
36,求这四个数。
20、已知an为等比数列,a32,a2a4
20,求an
的通项式
2Sn1n1
21、数列an的前n项和记为Sn,a11,an1
(i)求an的通项公式;
(u)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,且T315,又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列,求Tn
22、已知数列an满足ai1©
i2an1(nN).
(i)求数列an的通项公式;
(ii)若数列bn满足4b,.4b21...4bn1(a.1)bn(nN),证明:
0是等差数列;
数列综合题
、选择题
题号
6
10
11
12
答案
B
D
C
A
1J5
13、14
26
15
4(
1xn“
-)16.
6鹿
29
三、解答题
b〔=a1,ab2=a1o=a1+9d,a=a46=a〔+45d
由{abn}为等比数例,得(a1+9d)=a1(a计45d)得a1=3d,即am=3d,ab2=12d,ab3=48d.
•••q=4又由{abn}是{an}中的第bna项,及abn=ab1n-1=3dn-1,a+(bn-1)d=3d・4n-1
•••bn=3・4n-1-2
18.•a3=3b3,a1+2d=3a1d,a1(1-3d)=-2d①
a5=5b5,a1+4d=5a1d4,--a1(1-5d)=-4d②
得1―=2,•cf=1或d2=^,由题意,d=-^,a=-.5。
•an=a+(n-1)d=—(n-6)bn=a1dn-1=-•5•(—^)
①13d25555
19.设这四个数为一,a,aq,2aqa
a-a则q
aaq(3aqa)36
aq216
由①,
a3=216,a=6③
③代入②,得3aq=36,q=2
•这四个数为
20.解:
设等比数列{an}的公比为q,则qz0,
6,12,
吏
a2=—=
18
q,a4=a3q=2q
2201所以q+2q=y,解得qi=3,q2=3,
当q=3时,ai=9,
所以an=9X3n—1=2x3
n—3
21.解:
(l)由an12Sn1可得an2Sn11n2,两式相减得
an1an
2an,an13ann2
又a2
2S|13•••a23a1
故an是首项为1,公比为3得等比数列
(n)设bn的公差为d
由T315得,可得b1b2鸟15,可得b25
故可设b15d,b35d
又a11,a23,839
由题意可得5d15d953
解得d12,d210
•••等差数列bn的各项为正,•d0
•d2
nn12
•Tn3n2n22n
22(I):
Qan12an1(nN*),
an112(an1),
an1是以a112为首项,2为公比的等比数列。
an12n.
即an21(nN).
(II)证法一:
Q4bl14b21...4bl1(an1)bn.
4<
bib2...bn)n2*^
2[(b!
b2...bn)n]nbn,①
2[(b(...bn
bn1)(n1)](n1)bn1.
②—①,得2(0i1)(n1)bning,
即(n1)bn1nbn20,
③
nbn2(n1)bn120.
④
④—③,得nbn22nbn1nbn0,
即bn22bn1bn0,
bn2bn1bn1bn(nN*),
bn是等差数列。
333
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