概率论习题试题集Word格式.docx
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CmCnm
\C)「k
(D)
r
、计算题
k
1
Ck
n
~CF
Cr
Ck
(随机事件、随机事件的关系与运祘)
1.指出下面式子中事件之间的关系:
⑴ABA;
(2)ABCA;
(3)ABA
2.一个盒子中有白球、黑球若干个,从盒中有放回地任取三个球.设A表示事件“第i次取到白球”
(i1,2,3),试用A的运算表示下列各事件.
⑴第一次、第二次都取到白球;
⑵第一次、第二次
中最多有一次取到白球;
⑶三次中只取到二次白球;
⑷三次中最多有
二次取到白球;
⑸三次中至少有一次取到白球.
3.掷两颗骰子,设A、Bi分别表示第一个骰子和第二骰子出现点数i朝上的事件,试用A、Bi表示下列事件.⑴出现点数
之和为4;
(2)出现点数之和大于10.
4.对若干家庭的投资情况作调查,记A仅投资股票,B仅投资基金,C仅投资债券,试述下列事件的含义•
(1)ABC;
(2)ABC;
⑶ABC;
(4)ABCC;
(5)ABCC.
5.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间及随机事
件A.
⑴掷一颗骰子,点数为偶数的面朝上;
⑵掷二颗骰子,两个朝上面的点数之差为2;
⑶把三本分别标有数字1,2,3的书从左到右排列,标有数字1的书恰好在最左边;
⑷记录一小时内医院挂号人数,事件a{一小时内挂号人
数不超50人};
⑸一副扑克牌的4种花式共52张,随机取4张,取到的4张是同号的且是3的倍数.
6.对某小区居民订阅报纸情况作统计,记a,b,c分别表示订
阅的三种报纸,试叙述下列事件的含义.
⑴同时订阅A,B两种报纸;
⑵只订阅两种报纸;
⑶至少订两种报纸;
⑷一份报纸都不订阅;
⑸订C报同时也订A报或B报中
的一种;
⑹订A报不订B报.
7.某座桥的载重量是1000公斤(含1000公斤),有四辆分别重为600公斤,200公斤,400公斤和500公斤的卡车要过桥,问怎样过法即省时间而桥又不会损坏。
(古典概型及其概率)
8.设袋中有5个白球,3个黑球,从袋中随机摸取4个球,分别求出下列事件的概率:
(1)采用有放回的方式摸球,则四球中至少有1个白球的概率;
(2)采用无放回的方式摸球,则四球中有1个白球的概率。
9.设有3个人和4间房,每个人都等可能地分配到4间房的任一间房内,求下列事件的概率:
(1)指定的3间房内各有一人的概率;
(2)恰有3间房内各有一人的概率;
(3)指定的一间房内恰有2人的概率。
10.一幢12层的大楼,有6位乘客从底层进入电梯,电梯可停于2层至12层的任一层,若每位乘客在任一层离开电梯的可能性相同,求下列事件的概率:
(1)某指定的一层有2位乘客离开;
(2)至少有2位乘客在同
一层离开
11.将8本书任意放到书架上,求其中3本数学书恰排在一起的概率。
12.某人买了大小相同的新鲜鸭蛋,其中有a只青壳的,b
只白壳的,他准备将青壳蛋加工成咸蛋,故将鸭蛋一只只从箱中摸出进行分类,求第k次摸出的是青壳蛋的概率。
13.某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶,黑漆4桶,
红漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆,2桶红漆的顾客,能按所定颜色如数得到订货的概率是多少?
14.将12名新技工随机地平均分配到三个车间去,其中3名女技工,求:
(1)每个车间各分配到一名女技工的概率;
(2)3名女技工分配到同一车间的概率。
15.从6双不同的手套中任取4只,求其中恰有两只配对的概率。
16.从0,1,2,,9十个数中随机地有放回的接连取
三个数字,并按其出现的先后排成一列,
求下列事件的概率:
(1)三个数字排成一奇数;
(2)三个数字中0至多出现一次;
(3)三个数字中8至少出现一次;
(4)三个数字之和等于6。
(利用事件的关系求随机事件的概率)
17.在1~1000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被4整除,又不能被6整除的概率是多少?
18.甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,
(1)若甲抽后将牌放回乙再抽,问甲或乙拿到四张A的概率;
(2)若甲抽后不放回乙再抽,问甲或乙拿到四张A的概率。
19.在某城市中发行三种报纸A,B,C,经调查,订阅A报的有45%,订阅B报的有35%,订阅C报的有30%,同时订阅A及B的有10%,同时订阅A及C的有8%,同时订阅B及C的有5%,同时订阅A,B,C的有3%。
试求下列事件的概率:
(1)只订A报的;
(2)只订A及B报的;
(3)恰好订两种报纸。
20.某人外出旅游两天,据预报,第一天下雨的概率为
0.6,第二天下雨的概率为0.3,两天都下雨的概率为0.1,试求:
(1)至少有一天下雨的概率;
(2)两天都不下雨的概率;
(3)至少有一天不下雨的概率。
21.设一个工人看管三台机床,在1小时内三台机床
需要工人照管的概率的依次是0.8,0.7,0.6,试求:
(1)至少有一台机床不需要人照管的概率;
(2)至多只有
一台机床需要人照管的概率。
(条件概率与乘法原理)
22.某种动物活15年的概率为0.8,活25年的概率为0.3,求现年15岁的这种动物活到25岁的概率。
23.设口袋有5只白球,4只黑球,一次取出3只球,如果已知取出的球都是同一种颜色,试计算该颜色是黑色的概率。
24.10件产品中有3件是次品,从中任取2件。
在已
知其中一件是次品的条件下,求另一件也是次品的概率。
25.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,并将其中的1张拿到验钞机上检验,结果发现是假钞,求抽出的2张都是假钞的概率。
26.小王忘了朋友家电话号码的最后一位,他只能随意拨最后一个号,他连拨了三次,求第三次才拨通的概率。
27.设袋中装有a只红球,b只白球,每次自袋中任取一只球,观察颜色后放回,并同时放入m只与所取出的那只同色的球,连续在袋中取球四次,试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球,第四次取到红球的概率。
28.一个游戏需要闯过三关才算通过,已知一个玩家第一关失败的概率是3/10,若第一关通过,第二关失败的概率是7/10,若前两关通过,第三关失败的概率为9/10,。
试求该玩家通过游戏的概率。
29.盒中有六个乒乓球,其中2个旧球,每次任取一个,
连取两次(不放回),求至少有一次取到旧球的概率。
(全概率与贝叶斯公式)
30.设有两台机床加工同样的零件,第一台机床出废品的概率是0.03,第二台机床出废品的概率是0.02,加工出来的零件混放在一起,并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。
试求:
(1)求任意取出的一个零件是合格品的概率;
(2)如果任意取出一个零件经检验后发现是废品,问它是第一台机床还是第二台机床生产出来的可能性大?
31.已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者,假设人群中男女比例1:
1。
(1)人群中患色盲的概率是多少?
(2)今从人群中随机地挑选一人,恰好是色盲者,问此人是男性的概率是多少?
32.盒中有10只羽毛球,其中有6只新球。
每次比赛时取出其中的2只,用后放回,求第二次比赛时取到的2只球都是新球的概率。
33.一种传染病在某市的发病率为4%。
为查出这种传染病,医院采用一种新的检验法,它能使98%的患有此病的人被检出阳性,但也会有3%未患此病的人被检验出阳性。
现某人被此法检出阳性,求此人确实患有这种传染病的概率。
34•某人下午5:
00下班,他所累计的资料表明:
到家时间
5:
35〜
39
40〜
44
45
49
50
54
迟于
乘地铁到家概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车到家概率
0.30
0.35
0.20
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:
47到家的,试求他是乘地铁回家的概率。
35•在一个每题有4个备选答案的测验中,假设有一个选项是正确的,如果一个学生不知道问题的正确答案,他就作随机选择。
知道正确答案的学生占参加测验者的90%,试求:
(1)学生回答正确的概率;
(2)假如某学生回答此问题正确,那么他是随机猜出的概率。
36.有朋自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4,如果他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别是1/4,1/3,1/6,而乘飞机则不会迟到,试问:
(1)他迟到的概率多大?
(2)结果他迟到了,试问他是乘火车来的概率是多少?
37.要验收100台微机,验收方案如下:
自该批微机中随机地取出3台独立进行测试,三台中只要有一台在测试中被认为是次品,这批微机就会被拒绝接受,由于测试条件和水平,将次品微机误认为正品的概率为0.05,而将正品的微机误判为次品的概率为0.01。
如果已知这100台微机中恰有4台次品,试问:
(1)这批微机被接受的概率是多少?
(2)假如被接受,而3台微机中有1台次品微机的概率是多少?
(贝努利概型)
38.五架飞机同时去轰炸一目标,每架飞机击中目标的概率为0.6,求:
五架飞机中至少有三架击中目标的概率.
39.有一场短跑接力赛,某队有4名运动员参加,每人跑四分之一距离,每名运动员所用时间超过一分钟的概率为
0.3,当四名中有一名运动员所用时间超过一分钟,则该队必输,求:
⑴该队中没有一个运动员所用时间超过一分钟的概率;
⑵最多二人超过一分钟的概率;
⑶该队输掉的概率.
40.某人骑车回家需经过五个路口,每个路口都设有红绿灯,
红灯亮的概率为2,求:
5
⑴此人一路上遇到三次红灯的概率;
⑵一次也没有遇到红灯的概率.
41.某台电视机能接收到十个频道的电视节目,每个频道独立地播放广告,每小时放广告的概率均为1,问某一时刻打开电
视机:
⑴十个频道都在放广告的概率;
⑵只有三个频道在放广告的概率;
⑶至少有一个频道在放广告的概率.
42.有五个儿童在玩跳绳比赛,每个儿童跳绳能超过100下的概率为0.6,问:
⑴五人中最多有二人超过100下的概率;
⑵至少一人超过100下的概率.
43•据统计某地区五月份中各天下雨的概率为右,求:
62
⑴五月份中下雨的天数不超过五天的概率;
⑵五月份每天都下雨的概率.
44.三名运动员射击同一靶,射中靶的概率都为0.7,问:
⑴靶被射中的概率;
⑵最多二名运动员射中的概率.
45.五家电视台同时接受由卫星转播的一套节目,但受天气
影响,五家电视台各自能收到节目的概率都为0.6,问,至
少有三家电视台能收到节目的概率.
46.某幢大楼有20户居民,每户订日报的概率为0.2,问邮递员每天至少要给这幢大楼送10份日报的概率.
47.20个鞭炮受了潮,每个能放响的概率为0.3,问:
⑴只有5个鞭炮能放响的概率;
⑵最多有10个能放响的概率.
(利用事件的独立性求概率)
48.三家电视台独立地播放广告节目,在一小时内各电视台播放广告的概率分别为0.1,0.15,0.2.
⑴求一小时内三家电视台同时播放广告的概率;
⑵求一小时内没有一家电视台在播放广告的概率;
⑶至少有一家电视台在播放广告的概率.
49.一个系统由三个电器并联组成,三个电器会损坏的概率分别为0.3,0.4,0.5.
⑴求系统不能正常工作的概率;
⑵求系统能正常工作的概率.
50.有两组射击手各5人,每组射击手射击时射中目标的概率分别为:
⑴0.4,0.6,0.7,0.5,0.5;
⑵0.8,0.4,0.3,0.6,0.5.两组进行射击比赛,哪组击中目标的概率大.
51.一个会议室装有若干组独立的照明系统,每组照明系统由一个开关和一个灯组成,开关、灯损坏的概率分别0.6、0.5.当开关、灯都正常工作时,这组系统才能正常工作,问会议室里至少需有多少组系统,才能以95%的把握使室内有灯照明.
52.五架飞机同时去轰炸一目标,每架飞机投中目标的概率为
0.6.
求⑴5架飞机都投中目标的概率;
⑵只有一架投中目标的概率;
⑶要以90%以上的概率将目标击中,至少应有几架飞机去轰炸.
53.某班级4名学生去参加数学竞赛,他们能得满分的概率分别为0.8,0.6,0.7,0.9,求:
⑴只有一张卷子得满分的概率;
⑵没有一人得满分的概率.
54.某人回家需打开大门、过道门和房门三道门,这三道门的钥匙各不相同并放在一起,此人每到一道门便随机地取一把钥匙开门,然后放回,问此人取了三次钥匙开门锁即能进屋的概率.
55.有三个人从公司回家分别乘公交车、地铁和出租车,三种方式所花的时间超过半小时的概率分别为0.8,0.6,0.5.
⑴三人中至少有一人回家时间超过半小时的概率;
⑵至少有二人回家时间超过半小时的概率.
56.某台电视机能接收到三个频道节目,这三个频道独立地
播放广告,每小时播放广告的概率分别为却£
,问:
⑴打开电视机三个频道都在放广告的概率;
⑵最多有二个频道在播广告的概率.
57.5名运动员各划一条船进行划船比赛,若在规定时间内到达对岸的,可以得到一面锦旗,5名运动员在规定时间内能到达对岸的概率分别为0.8,0.9,0.7,0.5,0.6,求:
⑴至少一人拿到锦旗的概率;
⑵恰有一人拿到锦旗的概率.
(四)证明题
1.设A,B为两个随机事件,且有p(cab)1,证明:
P(C)P(A)P(B)1o
2.设A,B为两个随机事件,0P(A)1,P(BA)p(b|A),证明:
A与B相互独立。
参考答案
一、填空题:
(1)0.7:
⑵0.1;
(3)寸;
⑷0.5;
(5)27;
(6)寸;
(7)0.496;
(8)0.314;
(9)0.436;
(10)二、选择题:
⑴C;
⑵B;
(3)A;
⑷A;
(5)B.
三、计算题:
(随机事件、随机事件的关系与运算)
1.解:
⑴事件B包含事件A,BA.
⑵事件B与事件C的交包含事件A,BCA.
⑶事件A包含事件B,AB.
(⑷AA2A3A!
A?
A3.(5)AiA2A3.
4.解:
⑴被调查到的家庭同时投资了股票和基金,没投资债
券•
⑵被调查到的家庭,至少投资了一项•
⑶被调查到的家庭,至少一项没投资•
⑷被调查到的家庭,凡投资债券的同时都投资了股票和基金.
⑸被调查到的家庭,或同时投资了股票和基金,但没投资债券,或仅投资债券•
5.解:
⑴1,2,3,4,5,6A2,4,6.
(2)(1,1),(1,2),,(5,6)共36个样本点,
A(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3)
⑶123,132,231,213,312,321,A123,132.
⑷记X为一小时内挂号的人数,XKK0,1,2,
AXKK0,1,,50.
⑸记A,BiC,Di,分别表示4种花式的第i张(i1,,13),
(A3B3C3D3),(A6B6C6D6),(A9B9C9D9),(A12B12C12D12)
6.解:
⑴AB.
(2)ABCABCABC.(3)ABACBC.
(4)ABC.(5)C(ABAB).(6)AB.
7.解:
记A600公斤的卡车过桥,B200公斤的卡车过桥,
C400公斤的卡车过桥,D500公斤的卡车过桥:
E卡车过桥速度快且桥不会损坏
EABCDABCDACBDACBD
(古典概型及其概率)
8.解:
(1)P11C:
(5)0(3)40.9996
88
P2
—0.0893
56
9•解:
P1
Pl
32,P2
C33!
21
12C3C39
32,P3丁石
24
10•解:
(1)piC6^0.0847
11•解:
PC1P3P532.143
F828
12•解:
PC:
Pab1a或pC:
Pab1a
PkbaFabab
13•解:
p佇2520.104
C72431
14•解:
3331144
PlC4C4C430.2909;
P2C4C4C440.0545
C12C8C4C12C8C4
15•解:
P电浑量0.485(分子:
先从6双中取一双,
P
116
0.8122
两只都取来;
再从剩下的5双中任取两双,再从每双中任取1只)
12小31小2
16•解:
P1器0.5;
P2音20.972
P31召0.028(考虑它的对立事件{三个数字未出现
8})
(穷举法,仅适合分子较容易穷举的题目。
本题第一
个数字取6、5、4、3、2、1、0的基本事件分别是1、
2、3、4、5、6、7)
17.解:
设A={能被4整除},B={能被6整除}依题意P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)]
P1P(ABC)P(A)P(AB)P(AC)P(ABC)0.450.10.080.030.3
p2P(ABC)P(AB)P(ABC)0.10.030.07
p3P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.070.050.020.14
(提示:
画出文式图,会帮助求出概率)
20.解:
设a={第i天下雨},i=1,2
依题意P(A)0.6,P(A2)0.6,P(AA2)0.1
p1P(AA2)P(A1)P(A2)P(AA2)0.60.30.10.8
p2P(A1A2)P(AA2)c1P(AA2)10.80.2
——c
P3P(AA2)P(AiA2)1P(AiA)10.10.9。
21•解:
设A={第i台机床需要人照顾},i=1,2,3依题意P(A)0.8,P(A2)0.7,P(AJ0.6,且三个A(,i=1,2,3)三个相互独立。
p,P(AA2A3)P(ABC)1P(ABC)10.80.70.60.664
P2P(A1A2A3AA2A3AA2A3AA2A3)
0.20.30.40.80.30.40.20.70.40.20.30.60.212
23•解:
设A={黑色},B={同一种颜色},且ABA
24.解:
设a={2件都是次品},b={2件中至少有1件次品},
2211
依题意P(A)Cr,P(B)c3cc3c7;
P(AB)10.125。
C10C10P(B)8
25•解:
设a={2张都是假钞},b={至少有一张假钞},依题意P(A)ChP(B)c5cc5c15,且ABA
C20C20
26.
解:
设a={第i次拨通},i=1,2,3
27.
设a={第i次取到红球},i=1,2,3,4
28.解:
设a={第i次关通过},i=1,2,3
依题意,由乘法原理知
379
P(AlA2A3)(110)(110)(1和隔
29.解:
设a={第i次取到旧球},i=1,2依题意p(AA2)P(A)P(A2)p(AA2)
这里P(A)P(A2)刍p(aa)p(A)p(A2A)I--1
66515
所以p(A知I220.6。
30.解:
设a={第i台机器生产},i=1,2,b={产品为次品}依题意P(A)2/3,P(A)1/3,P(BA)0.03,P(BA2)0.02
由全概公式P(B)2/3
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