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（1－85%）=200元。

例题3：

一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元？

A、1000 

B、1024 

C、1056 

D、1200

C。

设乙店进货价为x元，可列方程20%x－20%×

（1－12%）x=24，解得x=1000，故甲店定价为1000×

（1－12%）×

（1+20%）=1056元。

例题4：

某商店进了一批笔记本，按30％的利润定价。

当售出这批笔记本的80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售。

问销完后商店实际获得的利润百分数是（ 

）。

A、12% 

B、18% 

C、20% 

D、17%

设这批笔记本的成本是“1”。

因此定价是1×

（1+30％）＝1.3。

其中：

80％的卖价是1.3×

80％，20％的卖价是1.3÷

2×

20％。

因此全部卖价是：

1.3×

80％＋1.3÷

2×

20％＝1.17。

实际获得利润的百分数是：

1.17－1＝0.17＝17％。

5）植树问题----路线是否封闭及端点是否植树

（1）不封闭路线

（a）两端植树

颗数=段数+1=全长/株距+1

（b）一端植树，则颗数与段数相等

颗数=段数=全长/株距

（c）两端不植树，则颗数比段数少1。

颗数=段数-1=全长/株距-1

（2）封闭路线

在圆形花坛周围种树，已知花坛周长50米，若每隔5米种一棵树，一共可种多少？

A、9B、10C、11D、12

按照上面的

（2），选B

在长450米的公路两旁，每隔15米种柳树一棵，在每相邻两棵柳树之间又种槐树一棵。

则共种槐树多少棵？

A、62B、60C、58D、30

按照上面的

（1），两端植树，总共种柳树31棵，则种槐树31-1=30棵

6）方阵问题

N阶方阵，去掉一行（或一列），少N个人；

去掉一行一列，少2N-1个人；

去掉两行一列（或两列一行），少3N-2个人；

去掉两行两列（或周围一圈），少4N-4个人。

例1学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?

A、256人B、250人C、225人D、196人（2002年A类真题）

方阵问题的核心是求最外层每边人数。

根据四周人数和每边人数的关系可以知：

每边人数=四周人数÷

4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：

60÷

4+1=16（人）

整个方阵共有学生人数：

16×

16=256（人）。

所以，正确答案为A。

7）年龄问题---年龄差不变，但倍数关系发生变化。

方法1：

利用倍数差和年龄差解题

小年龄=年龄差/倍数差

大年龄=小年龄+年龄差

若上述年龄为几年前或几年后的，则现在的实际年龄为上述年龄加几年或减几年即可。

方法2：

一元一次方程解法

方法3：

结果代入法，此乃最优方法

今年哥弟两人的岁数加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数是今年弟弟的岁数，那时哥哥的岁数恰好是弟弟的两倍，问哥哥今年年龄是多大？

A、33 

B、22 

C、11 

D、44

A 

设今年哥哥X岁，则今年弟弟是55-X岁，过去某年哥哥岁数是55-X岁，那是在X-（55-X）即2X-55年前，当时弟弟岁数是（55-X）-（2X-55）即110-3X。

列方程为55-X=2（110-3X）

55-X=220-6X

6X-X=220-55

5X=165

X=33

爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。

当爸爸的年龄是哥哥的3倍时，妹妹是9岁；

当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸34岁。

现在爸爸的年龄是多少岁？

（）

A、34 

B、39 

C、40 

D、42

解法一：

用代入法逐项代入验证。

解法二，利用“年龄差”是不变的，列方程求解。

设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为：

x、y和z。

那么可得下列三元一次方程：

x+y+z=64；

x-（z-9）=3[y-（z-9）]；

y-（x-34）=2[z-（x-34）]。

可求得x=40。

1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。

2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。

问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?

A、34岁，12岁 

B、32岁，8岁 

C、36岁，12岁 

D、34岁，10岁

抓住年龄问题的关键即年龄差，1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍，则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄，2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍，此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄，根据年龄差不变可得3×

1998年乙的年龄=2×

2002年乙的年龄；

3×

（1998年乙的年龄+4）；

1998年乙的年龄=4岁；

则2000年乙的年龄为10岁。

10年前田的年龄是她女儿的7倍，15年后田壮的年龄是她女儿的2倍，问女儿现在的年龄是多少岁？

A、45 

B、15 

C、30 

D、10

15年后田靶的年龄是女儿的2倍，即两人年龄的差等于女儿当时的年龄，所以，两人年龄的差等于女儿10年前的年龄加25。

10年前田靶年龄是女儿的7倍，所以两人年龄的差等于女儿当时年龄的6（=7-1）倍。

由于年龄的差是不变的，所以女儿10年前的年龄的5（=6-1）倍等于25，女儿当时的年龄为：

25/5=5（岁）。

8）日历问题---同余问题

同余问题，余数相同则性质相同，类似高次方的尾数确定。

一周七天，周期为七。

除以七看余数。

9）鸡兔同笼问题

设头数为a,足数是b。

《孙子算经》解法：

则b/2-a是兔数，a-（b/2-a）是鸡数。

《丁巨算法》解法：

鸡数=（4a-b）/2；

兔数=（b-2a）/2。

10）平均问题----搞清总量与总份数

平均速度=总路程/总时间

平均数=所有数之和/数的个数

例1：

在前面3场击球游戏中，某人的得分分别为130、143、144。

为使4场游戏得分的平均数为145，第四场他应得多少分？

4场游戏得分平均数为145，则总分为145×

4=580，故第四场应的580－130－143－144=163分。

11）时钟问题----实质为路程问题中的追及问题，为新考点。

时针速度=5/60=1/12（1小时走5小格或1分钟走1/12小格）

分针速度=60/60=1（1小时走60小格，1分钟走1小格）

速度差=1-1/12=11/12（每分钟差11/12格）

时针的速度是分针速度的1/12，所以分针每分钟比时针多走11/12格。

或者　时针每小时走30度，分针每分钟走6度

分针走一分钟（转6度）时，时针走0.5度，分针与时针的速度差为5.5度。

从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：

A、1次B、2次C、3次D、4次

时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者270度，理论上讲应为2次，还要验证：

根据角度差/速度差=分钟数，可得90/5．5=16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；

同理，270/5．5=49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。

经验证，选B可以。

12）盈亏问题——把一定数量（未知）的物品平均分成一定份数（未知），根据每次分的盈（或亏）数量及每份数量，确定物品的总数量和参与分配的人数。

方法一：

两次分配的结果差÷

两次分配数差（每份数量差）=人数

则物品总数=每份数量×

人数+盈（或－亏）

方法二：

列方程法

（1）若设物品数为x，则列方程

第一种分法的人数＝第一种分法的人数

（2）若设人数为ｙ，则列方程

第一种分法物品总数＝第一种分法物品总数

方法三：

利用被选答案直接快速进行试验和排除。

方法四：

整除试验法。

备选答案减去盈数（加上亏数）应被相应的每份数量数整除。

13）牛顿问题（牛吃草问题）----消长问题，既要消耗，又在生长，但消耗大于生长，其差为消耗原有草量，可维持几天。

实质为追及问题。

（1）求出每天长草量：

不同牛头数与对应天数积的差÷

天数差

（2）原有草量：

（每天吃的草量-每天生长的草量）×

可吃天数

（3）每天实际消耗原有草量（抵消生长量外所吃）：

每天吃的草量-每天生长的草量

（4）可吃天数：

原有草量÷

每天实际消耗原有草量

14）和差倍问题----已知两数的和（或差）与他们的倍数关系，求两数的大小。

（1）和差问题（和+差）÷

2=较大数

（和-差）÷

2=较小数

较大数=较小数+差

（2）差倍问题两数差÷

（倍数-1）=小数

小数×

倍数=大数或小数+差=大数

（3）和倍问题和÷

（倍数+1）=小数

小数×

倍数=大数或和-小数=大数

15）数列问题----掌握等差数列、等比数列的通项公式、求和公式等。

等差数列通项公式：

为公差

等差数列求和公式：

等比数列通项公式：

等比数列求和公式：

无穷等比数列求和公式：

16）几何问题

（1）面积问题----解决面积问题的核心是“割、补”思维。

图形多为不规则图形，不能直接计算，所以看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，否则会陷入误区。

对于此类问题的通常解法是利用割、补或做辅助线、平移的方法，将图形分割或者补全为很容易求得面积的规则图形，从而快速求的面积。

因此掌握一些规则图形的面积计算公式是必要的。

（2）体积问题----注意正方体边长变化后体积的变化，将正方体分割为若干个小正方体后表面积的变化。

注意“增加了几倍”和“增加到几倍”的区别。

（3）周长

17）排列组合问题----搞清乘法原理、加法原理，会计算排列数和组合数。

乘法原理做一件事，完成它需要分成

个步骤，做第1步有

种不同的方法，做第二步有

种不同的方法，……，做第

步有

种不同的方法.那么完成这件事共有

种不同的方法。

加法原理做一件事情，完成它有

类办法，在第1类办法中有

种不同的方法，在第二类办法中有

种不同的方法，……，在第

类办法中有

种不同的方法，那么完成这件事情共有

从1985到4891的整数中，十位数与个位数相同的数有多少个？

满足“十位数与个位数相同”的数，其后两位数形式有10种:

00、11、22、……99。

设整数如下：

千位

百位

十位

个位

为使问题简单，假设所求整数在2000—4999之间,千位可取2、3、4中的任何一个，有3种取法；

百位可取0、1、2……9中的任何一个,有10种取法;

十位与个位可取00、11、22、……99中的任何一个,有10种取法。

根据乘法原理，满足条件的数有

10×

10=300（个）

再加上1985到2000的2个（1988、1999），减去4891到4999的11个（4899、4900、4911……4999），可得满足题目要求的整数有291个。

18）浓度问题（溶液问题）---稀释问题、不同浓度溶液混合问题等。

溶液=溶质+溶剂

浓度=溶质/溶液

浓度为70％的酒精溶液100克与浓度为20％的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少？

（ 

）

A、30％ 

B、32％ 

C、40％ 

D、45％

A。

100克70％的酒精溶液中含酒精100×

70％＝70克；

400克20％的酒精溶液中含酒精400×

20％＝80克；

混合后的酒精溶液中含酒精的量＝70+80＝150克；

混合后的酒精溶液的总重量＝100+400＝500克；

混合后的酒精溶液的浓度＝150/500×

100％＝30％，选择A。

从装有100克浓度为10％的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒入10克清水，这样算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为（ 

A、7％ 

B、7.12％ 

C、7.22％ 

D、7.29％

每次操作从100克盐水中倒出10克盐水，剩余90克，即剩余90%。

每次操作后溶液中剩余的溶质变为原来的90%，又都稀释到100克，浓度变为操作前的90%。

三次操作后浓度为10％×

（90％）3＝7.29％，选择D。

甲容器中有浓度为4％的盐水250克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。

现从乙中取出750克盐水，放入甲容器中混合成浓度为8％的盐水。

问乙容器中的盐水浓度约是多少？

A、9.78％ 

B、10.14％ 

C、9.33％ 

D、11.27％

甲容器中盐水溶液中含盐量＝250×

4％＝10克；

混合后的盐水溶液的总重量＝250+750＝1000克；

混合后的盐水溶液中含盐量＝1000×

8％＝80克；

乙容器中盐水溶液中含盐量＝80-10＝70克；

乙容器中盐水溶液的浓度＝（70/750）×

100％≈9.33％。

选择C。

19）预资问题（预算问题）----对预资问题的分析，我们会发现此类问题与比例问题是相通的。

按照比例问题的解法对预资问题同样适用。

20）跳井问题（爬绳问题）----关键要考虑最后一跳（或爬），即到哪个位置一次可跳出井（或爬到顶），用此位置需要跳（爬）的次数再加一次即可。

即跳出井或爬至绳顶所需次数为：

（井深或绳长-每次所跳或爬米数）/每次实际跳爬高度+1

21）集合问题及容斥原理

S（A+B）=S（A）+S（B）-S（AB）

S（

）=S（Ｉ）－S（A＋B）

S（A+B+C）=S（A）+S（B）+S（C）-S（AB）-S（BC）-S（AC）+S（ABC）

其中S可看作集合中元素的个数或图形面积。

22）抽屉原理

原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。

假定一年有365天，则366人中至少有两个人的生日相同。

一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。

问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？

A、12 

B、13 

C、15 

D、16

根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。

此题没有包含大小王，若包含则需要增加两张。

23）中国剩余定理（孙子定理、韩信点兵）

韩信点兵：

相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

《孙子算经》也有类似的问题：

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：

三人同行七十（70）稀，五树梅花廿一（21）枝，

七子团圆正月半（15），除百零五（105）便得知。

歌诀中每一句话都是一步解法：

第一句指除以3的余数用70去乘；

第二句指除以5的余数用21去乘；

第三句指除以7的余数用15去乘；

第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。

即：

70×

2＋21×

3＋15×

2－105×

2=23

例题:

1：

一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

题中3、4、5三个数两两互质。

则（4，5）=20；

（3，5）=15；

（3，4）=12；

（3，4，5）=60。

（注：

（a，b）表示a与b的最小公倍数）

为了使20被3除余1，用20×

2=40；

为了使15被4除余1，用15×

3=45；

为了使12被5除余1，用12×

3=36。

然后，40×

1＋45×

2＋36×

4=274，

因为，274〉60，所以，274－60×

4=34，就是所求的数。

24）统筹方法---是一种安排工作进程的数学方法。

解题关键是如何进行合理组合和时间分配。

25）余数问题和最小公倍数问题

一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的数有几个？

除以5余2可以看作除以5余7，除以4余3可以看作以4余7，故均余7。

9、5、4的最小公倍数为180,满足条件的最小三位数应为180+7=187。

根据同余性质，7加上180的若干倍仍然是满足条件的数，即满足条件的三位数为：

180n+7，其中n为正整数，且180n+7＜1000，显然，ｎ可取1、2、3……5。

满足条件的数为5个：

187,367,……907。

解法二：

因“除以5余2”,所以所求三位数的尾数（个位数）是2或7 

；

又因“除以4余3”,所以尾数只能为7 

（排除了尾数为2）。

故所求三位数应为如下形式：

ａ（百位）

ｂ（十位）

７（个位）

要满足题目要求，百位和十位组成的数“ab”应能被9整除，也能被2整除（被4整除或被4除余2），所以“ab”为９和２的倍数，即为:

18,36,54,72,90。

故所求三位数为５个：

187,367,547,727,907。

四、数学运算专项训练

⊙第一组专项训练

1.若x，y，z是三个连续的负整数，并且x＞y＞z，则下列表达式是正奇数的是：

A.yz－xB.（x－y）（y－z）C.x－yzD.x（y＋z）

基本算法：

本题可以采用假设代入法，设x、y、z分别为两种情况：

-1，-2，-3或者-2，-3，-4，然后将其代入公式验证。

验证可知，A的值虽然是正的，但奇偶不定；

B的值是1；

C的值是负的；

D的值是正的，但奇偶不定。

只有B项符合要求，所以，正确选项是B。

简便算法：

只要真正看清了“x，y，z是三个连续的负整数，并且x＞y＞z”这个条件，很容易就可以知道：

（x－y）＝1；

（y－z）＝1。

由此可知：

（x－y）（y－z）＝1。

1是正奇数，所以，正确选项是B。

2.｛an｝是一个等差数列，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则数列前13项之和是：

A.32B.36C.156D.182

设这个数列的公差是d，则可列方程为：

a3＋a7－a10＝（a1＋2d）＋（a1＋6d）－（a1＋9d）＝a1－d＝8

a11－a4＝（a1＋10d）－（a1＋3d）＝7d＝4

解方程可得：

d＝

，a1＝

根据等差数列的性质：

等差数列的平均值等于正中间的那个数（奇数个数），或者正中

间那两个数的平均值（偶数个数），那么前13项的和就是：

a7×

13＝（a1＋6d）×

13＝（

＋

×

6）×

13＝156

所以，正确选项是C。

3.相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及正二十面体，其中体积最大的是：

A.四面体B.六面体C.正十二面体D.正二十面体

根据立体图形的性质，表面积相等的立体图形中，球体的体积最大。

正二十面体最接近

球体，其体积最大。

所以，正确选项是D。

4.一张面积为2平方米的长方形纸张，对折3次后得到的小长方形的面积是：

A.

m2B.

m2C.

m2D.

m2

对折n次，则对折之后的面积为对折之前的1/2n。

本题对折3次，则对折后的面积为：

2/23＝1/4。

5.编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5

共3个数字），问这本书一共有多少页？

A.117B.126C.127D.189

本书的页码使用数字应该有三种情况：

1～9页，每页用1个数字，共使用数字9个；

10～99页，共90页，每页使用2个数字，共使用数字90×

2＝180个。

这本书的页码一共使用了270个数字，270－9－180＝81，则这剩余的81个数字都是由页码是三位数的页码组成的，三位数的页码有：

81÷

3＝27页。

这本书的总页码为：

9＋90＋27＝126页。

所以，正确选项是B。

6.5年前甲的年龄是乙的三倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用y表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙的当前年龄？

＋5B.

＋10C.

D.3y－5

本题的年龄关系比较复杂，关键是要弄清题意不出错。

根据丙的当前年龄是y岁，可知甲10年前的年龄是

则甲5年前的年龄是（

＋5）；

则乙5年前的年龄就是（

＋5）÷

3；

那么，乙当前的年龄就是：

（

3＋5＝

＋5＝

－

＋5＝

＋5。

所以，正确选项是A。

7.为节约用水，某市决定用水实行收费超额超收，月标准用水量以内每吨2.5元，超

过标准的部分加倍收费。

某用户某月用水15吨，交水费62.5元。

若该用户下个月用水12吨，则应交水费多少钱？

A.42.5元B.47.5元C.50元D.55元

本题有一个隐含的条件，就是超额用水之后的收费，题干中说“超过标准的部分加倍收费”，那么超额用水的收费就是每吨5元。

如果考生不能揭示出这个隐含条件，题目就无法解答。

算法：

如果该用户15吨水都按超额用水每吨5元交费，那么他应当交75元。

但是他实际只交了62.5元，则少交的75－62.5＝12.5元，是因为未超标准用水量的部分每吨少交2.5元。

由此可知每月的标准用水量为：

12.5÷

2.5＝5（吨）。

当该用户月用水12吨时应交水费为：

（2.5×

5）＋（7×

5）＝47.5（元）。

所以，正确选项为B。

8.某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件数支付工资，工人每做出一