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13.已知:
如图1-7所示,以B为中心,将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°
得到△ABD,若∠E=35°
,求∠ADB的度数.
图1-7
综合、运用、诊断
14.如图1-8,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC翻折180°
形成的若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,则∠α的度数为______.
图1-8
15.已知:
如图1-9,△ABC≌△DEF,∠A=85°
,∠B=60°
,AB=8,EH=2.
(1)求∠F的度数与DH的长;
(2)求证:
AB∥DE.
图1-9
拓展、探究、思考
16.如图1-10,AB⊥BC,ΔABE≌ΔECD.判断AE与DE的关系,并证明你的结论.
图1-10
1.2三角形全等的判定
(一)
(运用“边边边”证三角形全等)
1.判断_____的_____叫做证明三角形全等.
2.全等三角形判定方法1——“边边边”(即______)指的是_____
___________________________________________________________________________.
3.由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出:
当三角形的三边长度一定时,这个三角形的_____也就确定了.
4.已知:
如图2-1,△RPQ中,RP=RQ,M为PQ的中点.
求证:
RM平分∠PRQ.
分析:
要证RM平分∠PRQ,即∠PRM=______,
只要证______≌______
证明:
∵M为PQ的中点(已知),
∴______=______
在△______和△______中,
图2-1
∴______≌______().
∴∠PRM=______(______).即RM平分∠PRQ.
5.已知:
如图2-2,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
∠A=∠D.
要证∠A=∠D,只要证______≌______.
∵BE=CF(),
∴BC=______.
在△ABC和△DEF中,图2-2
∴∠A=∠D(______).
6.如图2-3,CE=DE,EA=EB,CA=DB,求证:
△ABC≌△BAD.
∵CE=DE,EA=EB,
∴______+______=______+______,图2-3
即______=______.
在△ABC和△BAD中,
=______(已知),
∴△ABC≌△BAD().
一、解答题
7.已知:
如图2-4,AD=BC.AC=BD.试证明:
∠CAD=∠DBC.
图2-4
8.画一画.
已知:
如图2-5,线段a、b、c.
求作:
ΔABC,使得BC=a,AC=b,AB=c.
图2-5
9.“三月三,放风筝”.图2-6是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,不用度量,就知道∠DEH=∠DFH.请你用所学的知识证明.
图2-6
11.2三角形全等的判定
(二)
(运用“边角边”证三角形全等)
1.全等三角形判定方法2——“边角边”(即______)指的是______
2.已知:
如图3-1,AB、CD相交于O点,AO=CO,OD=OB.
∠D=∠B.
要证∠D=∠B,只要证______≌______
在△AOD与△COB中,
图3-1
∴△AOD≌△______().
∴∠D=∠B(______).
3.已知:
如图3-2,AB∥CD,AB=CD.求证:
AD∥BC.
要证AD∥BC,只要证∠______=∠______,
又需证______≌______.
∵AB∥CD(),
∴∠______=∠______(),
图3-2
∴Δ______≌Δ______().
∴∠______=∠______().
∴______∥______().
如图3-3,AB=AC,∠BAD=∠CAD.
∠B=∠C.
图3-3
如图3-4,AB=AC,BE=CD.
图3-4
6.已知:
如图3-5,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2.
BC=DE.
图3-5
7.如图3-6,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线,AB=CB,EB=DB,∠ABC=∠EBD=90°
),连接AE、CD,试确定AE与CD的位置与数量关系,并证明你的结论.
图3-6
11.2三角形全等的判定(三)
(运用“角边角”证三角形全等)
1.
(1)全等三角形判定方法3——“角边角”(即______)指的是______
___________________________________________________________________________;
(2)全等三角形判定方法4——“角角边”(即______)指的是______
如图4-1,PM=PN,∠M=∠N.求证:
AM=BN.
∵PM=PN,∴要证AM=BN,只要证PA=______,
只要证______≌______.
在△______与△______中,
图4-1
∴△______≌△______().
∴PA=______().
∵PM=PN(),
∴PM-______=PN-______,即AM=______.
如图4-2,AC
BD.求证:
OA=OB,OC=OD.
要证OA=OB,OC=OD,只要证______≌______.
∵AC∥BD,∴∠C=______.
图4-2
∴______≌______().
∴OA=OB,OC=OD().
4.能确定△ABC≌△DEF的条件是()
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠E
B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E
C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
5.如图4-3,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是()
图4-3
A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙
6.AD是△ABC的角平分线,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,下列结论错误的是()
A.DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.∠ADE=∠ADF
7.阅读下题及一位同学的解答过程:
如图4-4,AB和CD相交于点O,且OA=OB,∠A=∠C.那么△AOD与△COB全等吗?
若全等,试写出证明过程;
若不全等,请说明理由.
答:
△AOD≌△COB.
在△AOD和△COB中,
∴△AOD≌△COB(ASA).图4-4
问:
这位同学的回答及证明过程正确吗?
为什么?
综合、应用、诊断
如图4-5,AB⊥AE,AD⊥AC,∠E=∠B,DE=CB.
AD=AC.
图4-5
9.已知:
如图4-6,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ.
HN=PM.
图4-6
1.填空题
(1)已知:
如图4-7,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E.欲证明BD=CE,需证明Δ______≌△______,理由为______.
(2)已知:
如图4-8,AE=DF,∠A=∠D,欲证ΔACE≌ΔDBF,需要添加条件______,证明全等的理由是______;
或添加条件______,证明全等的理由是______;
也可以添加条件______,证明全等的理由是______.
图4-7图4-8
2.如图4-9,已知ΔABC≌ΔA'
B'
C'
,AD、A'
D'
分别是ΔABC和ΔA'
的角平分线.
(1)请证明AD=A'
(2)把上述结论用文字叙述出来;
(3)你还能得出其他类似的结论吗?
图4-9
3.如图4-10,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.
(1)当直线l不与底边AB相交时,求证:
EF=AE+BF.
图4-10
(2)如图4-11,将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D,请你探究直线l在如下位置时,EF、AE、BF之间的关系.
①AD>BD;
②AD=BD;
③AD<BD.
图4-11
11.2三角形全等的判定----直角三角形(四)
(运用“斜边﹑直角边”证三角形全等)
1.判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是_____.
2.直角三角形全等的判定方法有_____(用简写).
3.如图5-1,E、B、F、C在同一条直线上,若∠D=∠A=90°
,EB=FC,AB=DF.则ΔABC≌_____,全等的根据是_____.
图5-1
4.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“×
”,全等的注明理由:
(1)一个锐角和这个角的对边对应相等;
()
(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等;
(3)一个锐角和斜边对应相等;
()
(4)两直角边对应相等;
(5)一条直角边和斜边对应相等.()
5.下列说法正确的是()
A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B.斜边相等的两个直角三角形全等
C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D.一边长相等的两等腰直角三角形全等
6.如图5-2,AB=AC,AD⊥BC于D,E、F为AD上的点,
则图中共有()对全等三角形.
A.3B.4C.5D.6图5-2
如图5-3,AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.
(1)AB=DC:
(2)AD∥BC.
图5-3
如图5-4,AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD.
AD=BC;
图5-4
如图5-5,AE⊥AB,BC⊥AB,AE=AB,ED=AC.
ED⊥AC.
图5-5
10.已知:
如图5-6,DE⊥AC,BF⊥AC,AD=BC,DE=BF.
AB∥DC.
图5-6
11.用三角板可按下面方法画角平分线:
在已知∠AOB的两边上,分别取OM=ON(如图5-7),再分别过点M、N作OA、OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB,请你说出其中的道理.
图5-7
1.下列说法中,正确的画“√”;
错误的画“×
”,并作图举出反例.
(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.()
(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.()
(3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.()
2.
(1)已知:
如图5-8,线段AC、BD交于O,∠AOB为钝角,AB=CD,BF⊥AC于F,DE⊥AC于E,AE=CF.
BO=DO.
图5-8
(2)若∠AOB为锐角,其他条件不变,请画出图形并判断
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请加以证明;
若不成立,请说明理由.
11.2三角形全等的判定综合
1.两个三角形全等的判定依据除定义外,还有①_____;
②_____;
③_____;
④_____;
⑤_____.
2.如图6-1,要判定ΔABC≌ΔADE,除去公共角∠A外,在下列横线上写出还需要的两个条件,并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据.
(1)∠B=∠D,AB=AD();
(2)_____,_____();
(3)_____,_____();
(4)_____,_____();
(5)_____,_____();
(6)_____,_____();
(7)_____,_____().
图6-1
3.如图6-2,已知AB⊥CF,DE⊥CF,垂足分别为B,E,
AB=DE.请添加一个适当条件,使ΔABC≌ΔDEF,并说明理由
添加条件:
______________________________________________,
理由是:
_________________________________________________.
图6-2
4.在ΔABC和ΔDEF中,若∠B=∠E=90°
,∠A=34°
,∠D=56°
,AC=DF,贝ΔABC和ΔDEF是否全等?
______,理由是______.
5.下列命题中正确的有()个
①三个内角对应相等的两个三角形全等;
②三条边对应相等的两个三角形全等;
③有两角和一边分别相等的两个三角形全等;
④等底等高的两个三角形全等.
A.1B.2C.3D.4
6.如图6-3,AB=CD,AD=CB,AC、BD交于O,
图中有()对全等三角形.
A.2B.3C.4D.5
图6-3
7.如图6-4,若AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=80°
,∠D=60°
,则∠B的度数是()
A.80°
B.60°
C.40°
D.20°
8.如图6-5,△ABC中,若∠B=∠C,BD=CE,CD=BF,则∠EDF=()
A.90°
-∠AB.
C.180°
-2∠AD.
图6-4图6-5图6-6
9.下列各组条件中,可保证△ABC与△A'
全等的是()
A.∠A=∠A'
,∠B=∠B'
,∠C=∠C'
B.AB=A'
,AC=A'
C.AB=C'
,∠A=∠B'
D.CB=A'
,BA=B'
10.如图6-6,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是()
A.∠M=∠NB.AB=CDC.AM=CND.AM∥CN
1.已知:
如图6-7,AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC.
BD=CE.
图6-7
如图6-8,AC与BD交于O点,AB∥DC,AB=DC.
(1)求证:
AC与BD互相平分;
图6-8
(2)若过O点作直线l,分别交AB、DC于E、F两点,
OE=OF.
3.如图6-9,E在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,那么AC等于AD吗?
图6-9
4.如图6-10,△ABC的三个顶点分别在2×
3方格的3个格点上,请你试着再在格点上找出三个点D、E、F,使得△DEF≌△ABC,这样的三角形你能找到几个?
请一一画出来.
图6-10
11.3角的平分线的性质
(一)
(角平分线的性质)
1._____叫做角的平分线.
2.角的平分线的性质是___________________________.
它的题设是_________,结论是_____.
3.到角的两边距离相等的点,在_____.所以,如果点P到∠AOB两边的距离相等,那么射线OP是_____.
4.完成下列各命题,注意它们之间的区别与联系.
(1)如果一个点在角的平分线上,那么_____;
(2)如果一个点到角的两边的距离相等,那么_____;
(3)综上所述,角的平分线是_____的集合.
5.
(1)三角形的三条角平分线_____它到___________________________.
(2)三角形内,到三边距离相等的点是_____.
6.如图8-1,已知∠C=90°
,AD平分∠BAC,BD=2CD,若点D到AB的距离等于5cm,则BC的长为_____cm.
图8-1
二、作图题
如图8-2,∠AOB.
∠AOB的平分线OC.
作法:
图8-2
如图8-3,直线AB及其上一点P.
直线MN,使得MN⊥AB于P.
图8-3
如图8-4,△ABC.
点P,使得点P在△ABC内,且到三边AB、BC、CA的距离相等.
图8-4
如图8-5,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
DE=DF.
图8-5
11.已知:
如图8-6,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,CD、BE交于O,∠1=∠2.
OB=OC.
图8-6
12.已知:
如图8-7,△ABC中,∠C=90°
,试在AC上找一点P,使P到斜边的距离等于PC.(画出图形,并写出画法)
图8-7
如图8-8,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个塔台,若要求它到三条公路的距离都相等,试问:
(1)可选择的地点有几处?
(2)你能画出塔台的位置吗?
图8-8
14.已知:
如图8-9,四条直线两两相交,相交部分的线段构成正方形ABCD.试问:
是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点?
若存在,请找出此点,这样的点有几个?
若不存在,请说明理由.
图8-9
11.3角的平分线的性质
(二)
(角平分线的判定)
一、选择题
1.如图9-1,若OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,则下列结论中错误的是()
A.PC=PDB.OC=OD
C.∠CPO=∠DPOD.OC=PC
图9-1
2.如图9-2,在RtΔABC中,∠C=90°
,BD是∠ABC的平分线,交AC于D,若CD=n,AB=m,则ΔABD的面积是()
A.
B.
C.mnD.2mn
图9-2
二、填空题
如图9-3,在RtΔABC中,∠C=90°
,沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC,使C点恰好落在AB边的中点D处,则∠A的度数等于_____.
图9-3
如图9-4,在ΔABC中,BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,且BD、CE交于点O,过O作OP⊥BC于P,OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,则OP、OM、ON的大小关系为_____.
图9-4
如图9-5,OD平分∠POQ,在OP、OQ边上取OA=OB,点C在OD上,CM⊥AD于M,CN⊥BD于N.
CM=CN.
图9-5
如图9-6,ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.
一点F必在∠DAE的平分线上.
图9-6
如图9-7,A、B、C、D四点在∠MON的边上,AB=CD,P为∠MON内一点,并且△PAB的面积与△PCD的面积相等.
射线OP是∠MON的平分线.
图9-7
8.如图9-8,在ΔABC中,∠C=90°
,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,若△BCD与△BCA的面积比为3∶8,求△ADE与△BCA的面积之比.
图9-8
如图9-9,∠B=∠C=90°
,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
AM平分∠DAB;
(2)猜想AM与DM的位置关系如何?
并证明你的结论.
图9-9
如图9-10,在ΔABC中,AD是△ABC的角平分线,E、F分别是AB、AC上一点,并且有∠EDF+∠EAF=180°
.试判断DE和DF的大小关系并说明理由.
图9-10
八年级数学第十三章《全等三角形》单元试卷
考试时间100分钟满分100分
A卷
一、选择题(每题3分共30分)
1、如图1,已知∠A=∠D,∠1=∠2,那么要得到△ABC≌△DEF,还应给出的条件是()
A、∠E=∠BB、ED=BCC、AB=EFD、AF=CD
2、如图2在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为()
A、15°
B、20°
C、25°
D、30°
3、如图3所示,在△ABC中,∠B=∠C,AD为△ABC的中线
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