重庆大学 数学实验 2方程求解Word格式.docx

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成绩

√

实验目的

[1]复习求解方程及方程组的基本原理和方法；

[2]掌握迭代算法；

[3]熟悉MATLAB软件编程环境；

掌握MATLAB编程语句（特别是循环、条件、控制等语句）；

[4]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；

通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。

这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

基础实验

一、实验内容

1．方程求解和方程组的各种数值解法练习

2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习

3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

1．用图形放大法求解方程xsin（x）=1.并观察该方程有多少个根。

程序如下：

x=-5:

0.11:

5;

y=x.*sin（x）-1;

plot（x,y）;

grid

取x=-1到-1.3可锝

取x=-1.15到-1.1可锝

可得解为x=-1.115

2．将方程x5+5x3-2x+1=0改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。

①迭代函数为

，算法设计为：

x1=0;

x2=（x1^5+5*x1^3+1）/2;

whileabs（x1-x2）>

10^（-5）

x1=x2;

x2=（x1^5+5*x1^3+1）/2;

end

x1

输出结果为：

x1=Inf

因此x=（x）迭代不收敛，则不直接使用（x）迭代，用加速迭代函数

，

算法设计为：

x2=（-4*x1^5-10*x1^3+1）/（-5*x1^4-15*x1^2+2）;

x1=-0.7685

②迭代函数为

x1=1;

x2=（（2*x1-x1^5-1）/5）^（1/3）;

x2=（（2*x1-x1^5-1）/5）^（1/3）;

x1=Inf-Infi

x2=（（0.4*x1-0.2*x1^5-0.2）^（1/3）-1/15*（0.4*x1-0.2*x1^5-0.2）^（-2/3）*（2*x1-5*x1^5））/（1-（1/15*（0.4*x1-0.2*x1^5-0.2）^（-2/3）*（2-5*x1^4）））;

x1=0.4004+0.2860i

③迭代函数为

x2=（2*x1-5*x1^3-1）^（1/5）;

fork=1:

100

x2=（2*x1-5*x1^3-1）^（1/5）;

x1=2.0162-0.8223i

若用加速迭代函数

x2=（（2*x1-5*x1^3-1）^（1/5）-1/5*（2*x1-5*x1^3-1）^（-4/5）*（2*x1-15*x1^3））/（1-1/5*（2*x1-5*x1^3-1）^（-4/5）*（2-15*x1^2））;

x2=（（2*x1-5*x1^3-1）^（1/5）-1/5*（2*x1-5*x1^3-1）^（-4/5）*（2*x1-15*x1^3））/（1-1/5*（2*x1-5*x1^3-1）^（-4/5）*（2-15*x1^2））;

x1=-0.1483+0.7585i

④迭代函数为

x2=0.2*（2/x1-1/x1^2-x1^3）;

x2=0.2*（2/x1-1/x1^2-x1^3）;

输出结果为

x1=NaN

x2=（（2/x1-1/x1^2-x1^3）-x*（-2/x1^2+2/x1^3-3*x1^2））/（5-（-2/x1^2+2/x1^3-3*x1^2））;

x2=（（2/x1-1/x1^2-x1^3）-x*（-2/x1^2+2/x1^3-3*x1^2））/（5-（-2/x1^2+2/x1^3-3*x1^2））;

x1=3.4802308631248458912724395623836

⑤迭代函数为

x2=2/x1^3-5/x1-1/x1^4;

x2=2/x1^3-5/x1-1/x1^4;

x1=1.8933

x2=（（2/x1^3-5/x1-1/x1^4）-x*（-6/x^4+5/x^2+4/x^5））/（1-（-6/x^4+5/x^2+4/x^5））;

x2=（（2/x1^3-5/x1-1/x1^4）-x*（-6/x^4+5/x^2+4/x^5））/（1-（-6/x^4+5/x^2+4/x^5））;

x1=1.7968059417612661783255756706113

3．求解下列方程组

（1）

①用solve（）对方程组求解，算法设计为：

[x1,x2]=solve（'

2*x1-x2-exp（-x1）'

'

-x1+2*x2-exp（-x2）'

）

x1=.56714329040978387299996866221036

x2=.56714329040978387299996866221036

②用fsolve（）对方程组求解：

建立名为fun1.m的M文件，算法设计如下：

functionf=fun1（x）

f

（1）=2*x

（1）-x

（2）-exp（-x

（1））;

f

（2）=-x

（1）+2*x

（2）-exp（-x

（2））;

在函数体外部调用此函数：

>

y=fsolve（'

fun1'

[1,1],1）

Optimizationterminated:

first-orderoptimalityislessthanoptions.TolFun.

y=0.56710.5671

（2）①用solve（）对方程组求解，算法设计为：

[x1,x2,x3]=solve（'

x1^2-5*x2^2+7*x3^2+12'

3*x1*x2+x1*x3-11*x1'

2*x2*x3+40*x1'

double（x1）

double（x2）

double（x3）

ans=1.0e+002*

0.0100

0

-0.0031

-3.8701+0.3270i

-3.8701-0.3270i

ans=

5.0000

1.5492

-1.5492

2.9579

-0.3123-50.8065i

-0.3123+50.8065i

1.0e+002*

-0.0400

0+0.0131i

0-0.0131i

0.0213

0.1194+1.5242i

0.1194-1.5242i

建立名为fun2.m的M文件，算法设计如下：

functionf=fun2（x）

f

（1）=x

（1）^2-5*x

（2）^2+7*x（3）^2+12;

f

（2）=3*x

（1）*x

（2）+x

（1）*x（3）-11*x

（1）;

f（3）=2*x

（2）*x（3）+40*x

（1）;

fun2'

[1,1,1],1）

y=

0.00001.54920.0000

4．编写用二分法求方程根的函数M文件。

思路：

共建立两个M文件，第一个M文件供输入函数用，第二个M文件调用第一个M的运算值来执行二分法运算过程。

算法设计（以解方程x2-3x+2=0为例）：

functionf=fun0（x）

f=x^2-3*x+2;

functionf=bisection（x）

m=x

（1）;

n=x

（2）;

while（n-m）>

iffun0（m）==0

f=m;

break;

elseiffun0（n）==0

f=n;

elseiffun0（（m+n）/2）==0

f=（m+n）/2;

elseiffun0（m）*fun0（（m+n）/2）<

n=（m+n）/2;

else

m=（m+n）/2;

end

在函数体外部调用函数，输入：

x=[0.25,3];

root=bisection（x）

输出结果

root=1.0000

综合实验

炮弹发射角的问题

炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大？

此时炮弹的运行轨迹如何？

试进行动态模拟。

进一步思考：

如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s），结果又如何？

二、问题分析

炮击目标确定后，如何调整发射角度使炮弹能准确地落在目标位置处爆炸，需要考虑一下三个方面的变化量：

1.发射速度大小不变的情况下，发射角度是可以随意调整的；

2.对于某固定的发射角，炮弹在运动过程中，纵向分速度受重力加速度的影响而随时间不断地变化；

3.若考虑水平方向的阻力，则阻力带来的水平加速度也会对水平分速度造成随时间变化的影响。

三、数学模型的建立与求解

求解步骤或思路：

1.首先建立一个函数bomb1，实现以下功能：

对于每个输入的确定的水平分速度，都能计算出炮弹运动到横坐标为360时，与点（360,160）的距离；

2.再建立一个函数bomb2，实现以下功能：

对于每个输入的确定的水平分速度，都能描绘出炮弹的等时间间隔的轨迹；

3.最后建立一个M文件bomb0，利用循环不断改变水平分速度，调用函数bomb1和bomb2，实现以下功能：

寻找出炮弹运动到横坐标为360时，与点（360,160）的距离小于某限定值的水平分速度，最后通过这一求出的水平分速度，求出炮弹发射角度及描绘炮弹运动轨迹。

4.细节问题：

为了使炮弹的轨迹更连贯，时间间隔应该尽可能地小；

时间间隔减小，会增加运算次数，增加运算时间，因此有必要先选取合理计算范围，缩短计算时间；

选取合理计算范围方法：

先输入几个间隔较大的水平分速度值，估计范围，再逐步逼近范围。

四、实验结果及分析

无空气阻力情况下炮弹的运动图像及炮弹发射夹角：

angle=26.4244

有空气阻力情况下炮弹的运动图像及炮弹发射夹角：

angle=24.6241

五、附录（程序等）

无空气阻力：

bomb10.m：

x

（1）=178.8;

delta=0.0001;

f

（1）=bomb11（x

（1））;

fmin=1000;

i=0;

whilex<

180

i=i+1;

f（i）=bomb11（x（i））;

iff（i）<

fmin

fmin=f（i）;

xmin=x（i）;

x（i+1）=x（i）+delta;

angle=acos（xmin/200）/pi*180

bomb12（xmin）

bomb11.m：

functionf=bomb11（x）

Vy=sqrt（200^2-x^2）;

A=0+1i*0;

Point=360+1i*160;

t=0;

while（x*t<

=360）

t=t+0.01;

Vy=Vy-9.8*0.01;

A=A+（x+1i*Vy）*0.01;

f=abs（A-Point）;

bomb12.m：

functionbomb12（x）

holdon;

plot（x*t,sqrt（200^2-x^2）*t-4.9*t^2,'

.'

）;

holdoff;

grid;

有空气阻力：

bomb20.m：

x

（1）=181;

f

（1）=bomb21（x

（1））;

183

f（i）=bomb21（x（i））;

bomb22（xmin）

bomb21.m：

functionf=bomb21（x）

Vx=x;

S=0;

while（S<

Vx=Vx-0.1*Vx*0.01;

A=A+（Vx+1i*Vy）*0.01;

S=S+Vx*0.01;

bomb22.m：

functionbomb22（x）

plot（S,sqrt（200^2-x^2）*t-4.9*t^2,'

年月日