湖南省株洲市学年高二数学下学期期中试题理Word文档格式.docx
- 文档编号:22330019
- 上传时间:2023-02-03
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:54.34KB
湖南省株洲市学年高二数学下学期期中试题理Word文档格式.docx
《湖南省株洲市学年高二数学下学期期中试题理Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《湖南省株洲市学年高二数学下学期期中试题理Word文档格式.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
[解析]由条件设f(x)=ax3+bx2+cx,则f′(x)=3ax2+2bx+c=3a(x-1)(x-3),∴b=-6a,c=9a,
∴f(x)=ax3-6ax2+9ax,∵f
(1)=4,∴a=1.
∴f(x)=x3-6x2+9x,故选B.
→
6.在复平面内,点A对应的复数为1+2i,AB=(-2,1),则点B对应的复数的共轭复数为()
A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i
[解析]由条件知A(1,2),又AB=(-2,1),
∴B(-1,3),∴点B对应复数z=-1+3i,
-
故z=-1-3i.
7.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f
(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{1}的
f(n)
前n项和为Sn,则S2017的值为()
2016
A.
2017
2015
B.2016
2013
C.2014
2014
D.2015
[解析]f′(x)=2x+b,由f′
(1)=2+b=3,得b=1.
则f(x)=x2+x.
1
于是
=
n2+n
11
==-
n(n+1)n
,
n+1
S2017=f
(1)+f
(2)+„+f(2017)
111
11
12016
-)+(-)+„+(-)=1-=.
2232016201720172017
=(1
8、盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球,从中随机取出一个记下颜色后放回,当
红球取到2次时停止取球.那么取球次数恰为3次的概率是()
18
A.
125
36
B.
44
C.
81
D.
3323
[解析]每次取到红球的概率为,所求概率为C1×
×
=
.故选B.
52555
9.曲线y=x3-3x和y=x围成图形的面积为()A.4B.8
C.10D.9
⎧y=x3-3x,
[解析]由⎨
⎩y=x,
⎧x=0,解得⎨
⎩y=0,
⎧x=2,或⎨
⎩y=2,
⎧x=-2,或⎨
⎩y=-2.
∵y=x3-3x与y=x都是奇函数,
∴围成图形的面积为
S=2⎠⎛2[x-(x3-3x)]dx=2⎠⎛2(4x-x3)dx=2·
(2x2-
1x4)|2=8,故选B.
004
10.袋中有4只红球,3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量X,则P(X≤7)的值为()
1113167
26
A.30B.35C.35D.
C
4
+
4只球中黑球个数可能为0,1,2,3,相应得分依次为4,6,8,10.P(X≤7)=P(X=4)+P(X=6)=4
7
C311
1213
4C3
+=.
C4=35
3535
11.如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,„),则第n个图形中顶点个数为()
A.(n+1)(n+2)B.(n+2)(n+3)C.n2D.n
[解析]第一个图形共有12=3×
4个顶点,第二个图形共有20=4×
5个顶点,第三个图形共有30
=5×
6个顶点,第四个图形共有42=6×
7个顶点,故第n个图形共有(n+2)(n+3)个顶点.
12.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是()
A.(0,3)
B.(13)
C.[3∞)
(
)
1
D.0,
,,+
42442
[解析]f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)e2=[x2+(2-2a)x-2a]ex,由题意当x∈[-1,1]时,f′(x)≤0恒成立,
⎧g-,即x2+(2-2a)x-2a≤0恒成立.令g(x)=x2+(2-2a)x-2a,则有⎨
⎩g,
⎧-12+-2a
--2a≤0,即⎨
⎩12+2-2a-2a≤0,
解得a≥.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13、复数(2+i)i的虚部是
试题分析:
由(2+i)i=2i+i2=-1+2i,则虚部是2.
14.已知Cx
=C3x-2
,则x=.
1010
[答案].1或3
⎧lgx,x>
0,
15.设f(x)=⎨x+⎠⎛a3t2dt,x≤0,若f(f
(1))=1,则a=.
⎩0
[解析]∵f
(1)=0,∴f(f
(1))=f(0)=0+⎠⎛a3t2dt=t3|a=a3=1,∴a=1.
16、已知0<
a<
1,方程a|x|=|logax|的实根个数为n,且(x+1)n+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+„+
a10(x+2)10+a11(x+2)11,则a1等于
[解析]作出y=a|x|(0<
1)与y=|logax|的大致图象如图所示,所以n=2.故(x+1)n+(x+1)11=(x+2-
11
1)2+(x+2-1)11,所以a1=-2+C10=-2+11=9.
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)五位师傅和五名徒弟站一排.
(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法?
(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法?
(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法?
解:
(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有A6种排法,五名徒弟在内部全排列有A5种,据乘法
65
原理排法共有A6A5=86400(种).
(2)先将五位师傅全排列有A5种排法,再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有A5种排法,据
56
乘法原则,排法共计A5A5=86400(种).
5
(3)先将五位师傅排列有A5种排法,再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上
有2A5种排法,据乘法原理排法共有2A5A5=28800(种).
555
18.(本小题满分12分)(本小题满分12分)某款游戏共四关,玩家只有通过上一关才能继续进入下一关
游戏,每通过一关可得10分,现在甲和乙来玩这款游戏,已知甲每关通过的概率是1,乙每关通过的概
率是2.
(1)求甲、乙两人最后得分之和为20的概率;
(2)设甲的最后得分为X,求X的分布列.
(1)设“甲、乙最后得分之和为20”为事件A,“甲0分,乙20分”为事件B,“甲10分,乙10分”为事件C,“甲20分,乙0分”为事件D
P(B)=(1-1)⨯
(2)2⨯(1-2)=2
P(C)=1⨯(1-1)⨯2⨯(1-2)=1
则23327
223318
P(D)=
(1)2⨯(1-1)⨯(1-2)=1
22324
37
则P(A)=P(B)+P(C)+P(D)=
216
(6分)
(2)X的所有可能取值为0,10,20,30,40.
P(X=0)=
P(X=10)=
⨯(1-
1)=1
24
P(X=20)=
(1)2⨯(1-1)=1
P(X=30)=
(1)3⨯(1-1)=1
228
2216
P(X=40)=
(1)4=1
X分布列为
216
X
10
20
30
40
P
8
16
19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1。
(1)请在线段CE上找到一点F,使得直线BF∥平面ACD,并证明;
(2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小;
E
解法一:
以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得x轴和
z轴的正半轴分别经过点A和点E,则各点的坐标为D(0,0,0),
B
A(2,0,0),E(0,0,2),B(2,0,1),C(1,3,0),
(1)点F应是线段CE的中点,下面证明:
设F是线段CE的中点,则点F的坐标为AD
F(1,
3,1),∴BF=(-3,
3,0)
2222
19题图C
DE=(0,0,2),∴BF⋅DE=0,∴BF⊥DE,而DE是平面ACD的一个法向量,此即证得BF∥平面ACD;
„„„„„„„„„„„6分
(2)设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则n⊥CB,且n⊥CE,
由CB=(1,-
3,1),CE=(-1,-
3,2),
⎧⎪x-
∴⎨
⎪⎩-x-
3y+z=0
3y+2z=0
,不妨设y=
⎧x=1
3,则⎨
⎩z=2
,即n=(1,3,2),
∴所求角θ满足cosθ=n⋅(0,0,2)=
2π
,∴θ=;
„„„„„„„„„„„12分
|n|⨯224
解法二:
(1)由已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB//ED,
设F为线段CE的中点,H是线段CD的中点,
连接FH,则FH=//1ED,∴FH=//
AB,
∴四边形ABFH是平行四边形,∴BF//AH,
由BF⊄平面ACD内,AH⊂平面ACD,∴BF//平面ACD
(2)由已知条件可知∆ACD即为∆BCE
在平面ACD上的射影,设所求的二面角的大小为θ,则cosθ=S∆ACD,
S∆BCE
易求得BC=BE=
5,CE=22,∴S
=1|CE|⨯
BE2-(CE)2=6,
∆BCE22
而S=
3|AC|2=
3,∴cosθ=S∆ACD=
2ππ
,且0<
θ<
,∴θ=
∆ACD4
S∆BCE224
20、设函数f(x)=
x2
2(x-1)
,给定数列{an},其中a1=a>
1,an+1=f(an)(n∈N+).
(1)若{an}为常数列,求a的值;
(2)判断an与2的大小,并证明你的结论.
(1)若{an}为常数列,则an=a.
由an+1=f(an),得a=f(a).
因为f(x)=
x2a2
,所以a=.
2(a-1)
又a>
1,所以a=2(a-1),解得a=2.
(2)当a=2时,由
(1)知an=2.
a
n
当a≠2时,因为a1=a,an+1=f(an)=2(a-1),
2a2
所以a2==.
2(a1-1)
a2
所以a2-2=
a2-4a+4
-2==
(a-2)2
>
即a2>
2.
(a2-2)2
因为a3-2=
2(a2-1)
-2=
所以a3>
猜想当n≥2时,an>
下面用数学归纳法证明:
①n=2时,a2>
2,显然猜想成立.
②假设当n=k(k≥2)时,猜想成立,即ak>
k
当n=k+1时,ak+1=f(ak)=,
a2k
k-4a+4
2(ak-1)
(ak-2)2
所以ak+1-2=
=.
2(a-1)2(a-1)
kk
由ak>
2,知ak+1-2>
0,所以ak+1>
根据①和②可知,当a≠2时,对于一切不小于2的正整数n都有an>
综上所述,当a=2时,an=2;
当1<
2时,a1<
2,an>
2(n≥2);
当a>
2时,an>
x2y2
21.如图,椭圆+
a2b2
=1上的点M与椭圆右焦点F2的连线MF2与x轴垂直,且OM(O是坐标原点)
与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行.
(1)求椭圆的离心率;
π
(2)F1是椭圆的左焦点,C是椭圆上的任一点,证明:
∠F1CF2≤;
(3)过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q,
若∆PF1Q的面积是203,求此时椭圆的方程.
b2b2
bb2bc2
21.
(1)易得M(c,),k=
k=
∴=⇒b=c⇒a=
2c,∴e==.
aOM
acAB
aacaa2
„„„„„„„„„„„4分
(2)证:
由椭圆定义得:
|F1C|+|F2C|=2a,cos∠F1CF2
1212
|FC|2+|FC|2-|FF|2
=
2|F1C||F2C|
4a2-4c2-2|FC||FC|2b2
=12
=-1.
2|F1C||F2C||F1C||F2C|
|FC||FC|≤(|F1C|+|F2C|)2=a2,∴cos∠FCF
≥2b
22c2
-1=
-1=0,∴∠FCF
≤π.
122
12a2
2c2
„„„„„„„„„„„8分
(3)解:
设直线PQ的方程为y=-a(x-c),即y=-
b
2(x-c)
.代入椭圆方程消去x得:
(1-
1y+c)2
y2
+=1
,整理得:
a2b2
5y2-22cy-2c2=0,∴y+y
=22c,y⋅y
=-2c.
125125
∴
222
(y-y)2=(22c)2+8c
=48c.S
=1⋅2c⋅|y-y
|=43c
=203,c2=25,
125525
∆PF2Q2
125
因此a2=50,b2=25,所以椭圆方程为
+=1.
„„„„„„„„„„„12分
5025
22.(本题满分12分)已知函数f(x)=lnx-
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)证明:
当x>
1时,f(x)<
x-1;
(x-1)2
2.
(3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>
1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>
k(x-1).
[解析]
(1)f′(x)=
1-x2+x+1
-x+1=
xx
,x∈(0,+∞).
⎧x>
0,由f′(x)>
0得⎨
⎩-x2+x+1>
0.
1+5
解得0<
x<
.
⎛1+5⎫
故f(x)的单调递增区间是⎝0,2⎭.
令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞).
1-x2
则有f′(x)=.
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<
0,所以F(x)在[1,+∞)上单调递减,
故当x>
1时,F(x)<
F
(1)=0,即当x>
1时,f(x)<
x-1.
(3)由
(2)知,当k=1时,不存在x0>
1满足题意.
当k>
1时,对于x>
1,有f(x)<
x-1<
k(x-1),则f(x)<
k(x-1),从而不存在x0>
1满足题意.当k<
1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),
则有G′(x)=-x+1-k=
-x2+(1-k)x+1
x.
由G′(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0.
1-k-(1-k)2+4
解得x1=
2<
1-k+(1-k)2+4
x2=
2>
1.
当x∈(1,x2)时,G′(x)>
0,故G(x)在[1,x2)内单调递增.从而当x∈(1,x2)时,G(x)>
G
(1)=0,即f(x)>
k(x-1),综上,k的取值范围是(-∞,1).
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 湖南省 株洲市 学年 数学 学期 期中 试题