初中几何中线段和差最大值最小值典型分析最全Word文档格式.docx
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直线n、
m分别上求点DE点,使得围成的四边形ADEB周长最短.
n
A
*
m
填空:
最短周长=
变式二:
已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m
二)、一个动点,一个定点:
(一)动点在直线上运动:
P和点B)
点B在直线n上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点
1、两点在直线两侧:
2、两点在直线同侧:
(二)动点在圆上运动
点B在OO上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B)1、点与圆在直线两侧:
OB'
三)、已知AB是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定
在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+Q的值最小。
(原理用平移知识解)
(1)点A、B在直线m两侧:
Ao
过A点作AC//m,且AC长等于PQ长,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长,即为P点,此时P、Q即为所求的点。
(2)点AB在直线m同侧:
B'
练习题
1.如图,/AOB45。
,P是/AOB^一点,P(=10,QR分别是OA0B上的动点,求厶PQR
周长的最小值为
2、如图1,在锐角三角形ABC中,AB=忑,/BAC=45,/BAC的平分线交BC于点D,
M,N分别是AD和AB上的动点,贝UBM+M的最小值为
4、如图4所示,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上
一点.若AE=2,EM+C啲最小值为.
5、如图3,在直角梯形ABCD中,/ABC=90°
AD//BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB
上一个动点,当POPD的和最小时,PB的长为.
为
8、如图,菱形ABC啲两条对角线分别长6和8,点P是对角线ACh的一个动点,点MN分别是
边AB、BC的中点,贝UPM+PI的最小值是
9、如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴
蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的
最短距离为cm.
10、如图,菱形ABCD中,AB=2,/A=120,点P,Q,K分别为线段BC,CD,
BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为
11、如图,正方形ABC啲边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点•则PB^PE的最小
12、如图6所示,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2N是AC上的一
个动点,贝HDN+MN勺最小值为•
13、如图,正方形ABCD勺边长是2,/DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和
AE上的动点,贝UDQ+PQ勺最小值为•
14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一
动点,连接PBPQ则厶PBQ周长的最小值
为cm.(结果不取近似值).
15、如图,OO的半径为2,点ABC在O0上,OALOB/AOC60。
,P是0B上一动点,
则PA+PC的最小值是
16、如图8,MN是半径为1的OO的直径,点A在O0上,/AMN=30°
B为AN弧的中点,
P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为()
(A)2,.(B)■■(C)1(D)2
解答题
丄
y=_(kz0)在第一象限的图象交于
1、如图9,正比例函数y=二x的图象与反比例函数
点,过A点作x轴的垂线,垂足为M已知三角形OAM的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横
坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.
、-,22
2、如图,一元二次方程x+2x-3=0的二根X1,X2(X1VX2)是抛物线y=ax+bx+c
与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交
于点Q,求点P和点Q的坐标;
(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.
3、如图10,在平面直角坐标系中,点
A的坐标为(1,^'
),△AOB的面积是一「.
(1)求点B的坐标;
(2)求过点AOB的抛物线的解析式;
(3)
。
,使厶AOC的周长最小若存在,求出点
在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点
C的坐标;
若不存在,请说明理由;
3218一
4.如图,抛物线y=;
x—x+3和y轴的交点为A,M为0A勺中点,若有一动点P,自M
55
点处出发,沿直线运动到x轴上的某点(设为点E),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的
某点(设为点F),最后又沿直线运动到点A,求使点P运动的总路程最短的点E,点F的坐标,并求出这个最短路程的长.
5.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC勺边OA在y轴的正半轴上,0C在
x轴的正半轴上,OA=AB=2,003,过点B作BDLBC,交OA于点D.将/DBC绕点B按顺时
针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.
(1)求经过ABC三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过
(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ
的周长最小,求出PQ两点的坐标.
6.如图,已知平面直角坐标系,AB两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)若qa,
0),Qa+3,0)是x轴上的两个动点,则当a为何值时,四边形ABDC勺周长最短.
7、如图11,在平面直角坐标系中,矩形亠=--二的顶点O在坐标原点,顶点AB分别在x
轴、y轴的正半轴上,OA=3OB=4D为边OB的中点.
(1)若E为边0A上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;
(2)若E、F为边0A上的两个动点,且EF=2,当四边形CDE啲周长最小时,求点E、F的坐标.
、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)
基本图形解析
1、在一条直线m上,求一点P,使PA与PB的差最大;
--m
解析:
延长AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边,P'
A-P'
BvAB,而PA
—PB=AB此时最大,因此点P为所求的点。
(2)点AB在直线m异侧:
卜.B'
/丨、■
m
■mP'
P
°
BB
过B作关于直线m的对称点B'
连接AB'
交点直线m于P,此时PB=PB,PA-PB最大值为AB练习题
12
1.如图,抛物线y=—庁x—x+2的顶点为A,与y轴交于点B.
4
(1)求点A、点B的坐标;
⑵若点P是x轴上任意一点,求证:
PA-PBcAB
⑶当PA-PB最大时,求点P的坐标.
2.如图,已知直线y=lx+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,
2
抛物线y=丄x+bx+c与直线交于AE两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,
0)•
(1)求该抛物线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上找一点M使|AWMC的值最大,求出点M的坐标.
3、在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(一4,—1)和(一2,—5);
点P是y轴上的
一个动点,⑴点P在何处时,PA+PB的和为最小并求最小值。
⑵点P在何处时,1PA—PBI最大并求最大值。
4.如图,直线y=—•.3x+2与x轴交于点C,与y轴交于点B,点A为y轴正半轴上的一点,OA经过点B和点Q直线BC交OA于点D.
(1)求点D的坐标;
(2)过QC,D三点作抛物线,在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段PQ与PD之
差的值最大若存在,请求出这个最大值和点P的坐标•若不存在,请说明理由.
5、抛物线的解析式为yx22x3,交x轴与A与B,交y轴于C,
⑴在其对称轴上是否存在一点
⑵在其对称轴上是否存在一点
6、已知:
如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,0C=3BC=2取AB的中点M连接MC
把厶MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到△DAO
(1)试直接写出点D的坐标;
(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点
P作PQLx轴于点Q连接0P
1若以OP、Q为顶点的三角形与△DAO相似,试求出点P的坐标;
2试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大
klH
7、如图,已知抛物线Ci的解析式为y=-x2+2x+8,图象与y轴交于D点,并且顶点A在双曲线上.
(1)求过顶点A的双曲线解析式;
(2)若开口向上的抛物线C与Ci的形状、大小完全相同,并且C的顶点P始终在C1上,证明:
抛物线C一定经过A点;
(3)设
(2)中的抛物线C2的对称轴PF与x轴交于F点,且与双曲线交于E点,当DO
E、F四点组成的四边形的面积为时,先求出P点坐标,并在直线y=x上求一点M,使|MD-MP|
的值最大.
4耳
8、如图,已知抛物釦齐+取+匚经过A(3,0),B(0,4),
(1).求此抛物线解析式
(2)若抛物线与x轴的另一交点为C,求点C关于直线AB的对称点C'
的坐标
(3)若点D是第二象限内点,以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、
H,问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P,使得|P+PA的值最大若存在,求出该最
大值;
若不存在,请说明理由。
三、其它非基本图形类线段和差最值问题
1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中,在该三角形中,其他两边是已知的,则所求线段的最大值为其他两线段之和,最小值为其他两线段之差。
2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。
3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来,再连接首尾端点,根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。
1、如图,在△ABC中,/C=90°
AG4,BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x
轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是()
A.2.22B.2.5C。
26D.6
2、已知:
在厶ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:
(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且/ACB=60,贝UCD=;
(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且/ACB=90,贝UCD=;
如图3,当/ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的/ACB的度数.
3、在Rt△ABC中,/ACE=90°
tan/BAC-•点D在边AC上(不与A,C重合),连结BD2
F为BD中点•
(1)若过点D作DELAB于E连结CFEFCE如图1•设CFkEF,贝Uk=
(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得DE、B三点共线,点F仍为BD中点,如
图2所示.求证:
BEDE=2CF
(3)若BG6,点D在边AC的三等分点处,将线段AD绕点A旋转,点F始终为BD中点,
求线段CF长度的最大值.
图1
备图
4、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN连接ENAMCM⑴求证:
△AMB2AENB⑵①当M点在何处时,AM^CM的值最小;
②当M点在何处时,AM^BWCM的值最小,并说明理由;
⑶当AM^BWCM的最小值为,31时,求正方形的边长.
5、如图,二次函数y=-x2+bx+c与x轴交于点B和点A(-1,0),与y轴交于点
C,与一次函数y=x+a交于点A和点D.
(1)求出a、b、c的值;
(2)若直线AD上方的抛物线存在点E,可使得
△EAD面积最大,求点E的坐标;
(3)点F为线段AD上的一个动点,点F到
(2)中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d,求d的最小值及此时点F的坐标.
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