版高考数学大一轮复习第七章不等式72一元二次不等式及其解法试题理Word文档下载推荐.docx
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口诀:
大于取两边,小于取中间.
【知识拓展】
(1)>
0(<
0)⇔f(x)·
g(x)>
0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·
g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)若不等式ax2+bx+c<
0的解集为(x1,x2),则必有a>
0.( √ )
(2)若不等式ax2+bx+c>
0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( √ )
(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>
0的解集为R.( ×
)
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<
0且Δ=b2-4ac≤0.( ×
(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下,则不等式ax2+bx+c<
0的解集一定不是空集.( √ )
1.(教材改编)不等式x2-3x-10>
0的解集是( )
A.(-2,5)B.(5,+∞)
C.(-∞,-2)D.(-∞,-2)∪(5,+∞)
答案 D
解析 解方程x2-3x-10=0得x1=-2,x2=5,
由于y=x2-3x-10的图像开口向上,所以x2-3x-10>
0的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞).
2.设集合M={x|x2-3x-4<
0},N={x|0≤x≤5},则M∩N等于( )
A.(0,4]B.[0,4)
C.[-1,0)D.(-1,0]
答案 B
解析 ∵M={x|x2-3x-4<
0}={x|-1<
4},
∴M∩N=[0,4).
3.(教材改编)y=log2(3x2-2x-2)的定义域是________________________.
答案 (-∞,)∪(,+∞)
解析 由题意,得3x2-2x-2>
0,
令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=,
∴3x2-2x-2>
0的解集为(-∞,)∪(,+∞),即函数y=log2(3x2-2x-2)的定义域是(-∞,)∪(,+∞).
4.(教材改编)若关于x的不等式ax2+bx+2>
0的解集是(-,),则a+b=________.
答案 -14
解析 ∵x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,∴解得∴a+b=-14.
5.不等式x2+ax+4≤0的解集不是空集,则实数a的取值范围是________________.
答案 (-∞,-4]∪[4,+∞)
解析 ∵x2+ax+4≤0的解集不是空集,
∴x2+ax+4=0一定有解.
∴Δ=a2-4×
1×
4≥0,即a2≥16,∴a≥4或a≤-4.
题型一 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参数的不等式
例1 求不等式-2x2+x+3<
0的解集.
解 化-2x2+x+3<
0为2x2-x-3>
解方程2x2-x-3=0,得x1=-1,x2=,
∴不等式2x2-x-3>
0的解集为(-∞,-1)∪(,+∞),即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(,+∞).
命题点2 含参数的不等式
例2 解关于x的不等式:
x2-(a+1)x+a<
0.
解 由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,
∴x1=a,x2=1,
①当a>
1时,x2-(a+1)x+a<
0的解集为{x|1<
a},
②当a=1时,x2-(a+1)x+a<
0的解集为∅,
③当a<
0的解集为{x|a<
1}.
引申探究
将原不等式改为ax2-(a+1)x+1<
0,求不等式的解集.
解 若a=0,原不等式等价于-x+1<
0,解得x>
1.
若a<
0,原不等式等价于(x-)(x-1)>
解得x<
或x>
若a>
0,原不等式等价于(x-)(x-1)<
①当a=1时,=1,(x-)(x-1)<
0无解;
②当a>
1时,<
1,解(x-)(x-1)<
得<
1;
③当0<
1时,>
得1<
.
综上所述,当a<
0时,解集为{x|x<
1};
当a=0时,解集为{x|x>
当0<
1时,解集为{x|1<
};
当a=1时,解集为∅;
当a>
1时,解集为{x|<
思维升华 含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
解下列不等式:
(1)0<
x2-x-2≤4;
(2)求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
解
(1)原不等式等价于
⇔⇔
⇔
借助数轴,如图所示,
所以原不等式的解集为{x|-2≤x<
-1或2<
x≤3}.
(2)∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
得x1=-,x2=.
当a>0时,-<,解集为;
当a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R且x≠0};
当a<0时,->,解集为.
综上所述,当a>0时,不等式的解集为
;
当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};
当a<0时,不等式的解集为.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
例3
(1)若一元二次不等式2kx2+kx-<
0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.(-3,0]B.[-3,0)
C.[-3,0]D.(-3,0)
(2)设a为常数,对于任意x∈R,ax2+ax+1>
0,则a的取值范围是( )
A.(0,4)B.[0,4)
C.(0,+∞)D.(-∞,4)
答案
(1)D
(2)B
解析
(1)∵2kx2+kx-<
0为一元二次不等式,
∴k≠0,
又2kx2+kx-<
0对一切实数x都成立,
则必有解得-3<
k<
(2)对于任意x∈R,ax2+ax+1>
0,则必有或a=0,∴0≤a<
4.
命题点2 在给定区间上的恒成立问题
例4 设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<
-m+5恒成立,求m的取值范围.
解 要使f(x)<
-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
即m2+m-6<
0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
方法一 令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].
当m>
0时,g(x)在[1,3]上是增加的,
所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<
所以m<
,所以0<
m<
当m=0时,-6<
0恒成立;
当m<
0时,g(x)在[1,3]上是减少的,
所以g(x)max=g
(1)⇒m-6<
0,所以m<
6,所以m<
综上所述,m的取值范围是{m|m<
}.
方法二 因为x2-x+1=2+>
又因为m(x2-x+1)-6<
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<
即可.
所以,m的取值范围是.
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.
解 由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m
=(x-2)m+x2-4x+4,
令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.
由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
∴
1或x>
3.
故当x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.
思维升华
(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
(1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<
0成立,则实数m的取值范围是________.
答案 (-,0)
解析 作出二次函数f(x)的草图,
对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<
则有
即解得-<
(2)已知不等式mx2-2x-m+1<
0,是否存在实数m对所有的实数x,使不等式恒成立?
若存在,求出m的取值范围;
若不存在,请说明理由.
解 不等式mx2-2x-m+1<
0恒成立,
即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图像全部在x轴下方.
当m=0时,1-2x<
0,则x>
,不满足题意;
当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,
需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即
不等式组的解集为空集,
即m无解.
综上可知,不存在这样的m.
题型三 一元二次不等式的应用
例6 某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.
解
(1)由题意得,y=100·
100.
因为售价不能低于成本价,所以100-80≥0.
所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为x∈[0,2].
(2)由题意得40(10-x)(25+4x)≥10260,
化简得8x2-30x+13≤0,解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
思维升华 求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.
(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.
(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100·
(5x+1-)元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:
甲厂应该选取何种生产速度?
并求最大利润.
解
(1)根据题意,得200(5x+1-)≥3000,
整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,x的取值范围是[3,10].
(2)设利润为y元,则
y=·
100(5x+1-)
=9×
104(5+-)
104[-3(-)2+],
故当x=6时,ymax=457500元.
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,最大利润为457500元.
14.转化与化归思想在不等式中的应用
典例
(1)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<
c的解集为(m,m+6),则实数c的值为________.
(2)已知函数f(x)=,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>
0恒成立,则实数a的取值范围是________.
思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a,b满足的条件;
不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题.
解析
(1)由题意知f(x)=x2+ax+b
=2+b-.
∵f(x)的值域为[0,+∞),
∴b-=0,即b=.
∴f(x)=2.
又∵f(x)<
c,∴2<
c,
即--<
-+.
②-①,得2=6,∴c=9.
(2)∵x∈[1,+∞)时,f(x)=>
即x2+2x+a>
0恒成立.
即当x≥1时,a>
-(x2+2x)=g(x)恒成立.
而g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)上是减少的,
∴g(x)max=g
(1)=-3,故a>
-3.
∴实数a的取值范围是{a|a>
-3}.
答案
(1)9
(2){a|a>
-3}
1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为( )
A.{x|1≤x≤2}B.{x|x≤1或x≥2}
C.{x|1<
2}D.{x|x<
2}
答案 A
解析 由(x-1)(2-x)≥0可知(x-2)(x-1)≤0,
所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}.
2.(2016·
潍坊模拟)函数f(x)=的定义域是( )
A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)
C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)
解析 由题意得-x2+4x-3>
0,即x2-4x+3<
∴1<
3,
又ln(-x2+4x-3)≠0,即-x2+4x-3≠1,
∴x2-4x+4≠0,∴x≠2.
故函数定义域为(1,2)∪(2,3).
3.若集合A={x|ax2-ax+1<
0}=∅,则实数a的取值范围是( )
A.{a|0<
4}B.{a|0≤a<
4}
C.{a|0<
a≤4}D.{a|0≤a≤4}
解析 由题意知a=0时,满足条件.
当a≠0时,由
得0<
a≤4.所以0≤a≤4.
4.设函数f(x)=则不等式f(x)>
f
(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞)
B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,3)
解析 由题意得或
解得-3<
5.已知不等式x2-2x-3<
0的解集为A,不等式x2+x-6<
0的解集为B,不等式x2+ax+b<
0的解集为A∩B,那么a+b等于( )
A.-3B.1
C.-1D.3
解析 由题意,A={x|-1<
3},B={x|-3<
2},A∩B={x|-1<
2},
则不等式x2+ax+b<
0的解集为{x|-1<
2}.
由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,
所以a+b=-3,故选A.
6.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<
0(a>
0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于( )
A.B.
C.D.
解析 由x2-2ax-8a2<
得(x+2a)(x-4a)<
0,因为a>
所以不等式的解集为(-2a,4a),
即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,
得4a-(-2a)=15,解得a=.
7.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<
A.(2,3)B.(-∞,2)∪(3,+∞)
C.D.∪
解析 由题意知-,-是方程ax2-bx-1=0的根,所以由根与系数的关系得-+=,-×
=-.解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<
即x2-5x+6<
0,解集为(2,3).
8.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>
0恒成立,则b的取值范围是( )
A.-1<
b<
0B.b>
2
C.b<
-1或b>
2D.不能确定
答案 C
解析 由f(1-x)=f(1+x)知f(x)图像的对称轴为直线x=1,
则有=1,故a=2.
由f(x)的图像可知f(x)在[-1,1]上是增加的.
∴x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,
令b2-b-2>
0,解得b<
2.
9.若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则a的值为________.
答案
解析 若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,
则x2-2ax+a=-1有两个相等的实根,
所以Δ=4a2-4(a+1)=0,解得a=.
10.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f
(1)>
1,f
(2)=,则实数a的取值范围是________.
答案 (-1,)
解析 ∵f(x+3)=f(x),
∴f
(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f
(1)<
-1.
∴<
-1⇔<
0⇔(3a-2)(a+1)<
∴-1<
11.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x+2)<
5的解集是______________.
答案 {x|-7<
3}
解析 令x<
0,则-x>
0,∵x≥0时,f(x)=x2-4x,∴f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴x<
0时,f(x)=x2+4x,故有f(x)=再求f(x)<
5的解,
由得0≤x<5;
由
得-5<
0,即f(x)<
5的解集为(-5,5).
由于f(x)向左平移两个单位即得f(x+2),
故f(x+2)<
5的解集为{x|-7<
3}.
12.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<
n).
(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>
0的解集;
(2)若a>
0,且0<
n<
,比较f(x)与m的大小.
解
(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n).
当m=-1,n=2时,不等式F(x)>
即a(x+1)(x-2)>
0时,不等式F(x)>
0的解集为{x|x<
-1或x>
2};
当a<
(2)f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),
∵a>
,
∴x-m<
0,1-an+ax>
∴f(x)-m<
m.
13.(2016·
烟台模拟)已知不等式(a+b)x+(2a-3b)<
0的解为x>
-,解不等式(a-2b)x2+2(a-b-1)x+(a-2)>
解 因为(a+b)x+(2a-3b)<
所以(a+b)x<
3b-2a,
因为不等式的解为x>
-,
所以a+b<
0,且=-,
解得a=3b<
则不等式(a-2b)x2+2(a-b-1)x+(a-2)>
等价为bx2+(4b-2)x+(3b-2)>
即x2+(4-)x+(3-)<
即(x+1)(x+3-)<
因为-3+<
-1,
所以不等式的解为-3+<
即所求不等式的解集为{x|-3+<
-1}.
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- 高考 数学 一轮 复习 第七 不等式 72 一元 二次 及其 解法 试题