高中数学人教版必修5配套练习33 二元一次不等式组与简单的线性规划问题第2课时Word文档格式.docx
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A.5 B.-6
C.10 D.-10
[解析] 可行域为图中△ABC及其内部的平面区域,当直线y=-
+
经过点B(3,-3)时,z最小,zmin=-6.
4.若x、y∈R,且
,则z=x+2y的最小值等于( )
A.2 B.3
C.5 D.9
[解析] 不等式组表示的可行域如图所示:
画出直线l0:
x+2y=0,
平行移动l0到l的位置,
当l通过点M时,z取到最小值.
此时M(1,1),即zmin=3.
5.设x、y满足约束条件
,则目标函数z=x+y( )
A.有最小值2,无最大值B.有最大值3,无最小值
C.有最小值2,最大值3D.既无最小值,也无最大值
[答案] A
[解析] 画出不等式组
表示的平面区域,如下图,由z=x+y,得y=-x+z,令z=0,画出y=-x的图象.
当它的平行线经过点A(2,0)时,z取得最小值,最小值为2;
无最大值.故选A.
6.(2013·
四川文,8)若变量x、y满足约束条件
,且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是( )
A.48 B.30
C.24 D.16
[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题.作出不等式组表示的平面区域如图.
作直线l0:
y=
x,平移直线l0.
当l0过点A(4,4)时可得zmax=16,∴a=16.
当l0过点B(8,0)时可得zmin=-8,∴b=-8.
∴a-b=16-(-8)=24.
二、填空题
7.若非负变量x、y满足约束条件
,则x+y的最大值为________.
[答案] 4
[解析] 本题考查线性规化的最优解问题.
由题意知x、y满足的约束条件
.
画出可行域如图所示.
设x+y=t⇒y=-x+t,t表示直线在y轴截距,截距越大,t越大.
x+y=0,平移直线l0,当l0经过点A(4,0)时,t取最大值4.
8.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组
所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是________.
[答案]
[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题.
不等式组所表示平面区域如图,由图可知|OM|的最小值即O到直线x+y-2=0的距离.
故|OM|的最小值为
=
三、解答题
9.求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x、y满足约束条件
[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分.
∵目标函数为z=3x+5y,
∴作直线l0:
3x+5y=0.当直线l0向右上平移时,z随之增大,在可行域内以经过点A(
,
)的直线l1所对应的z最大.类似地,在可行域内,以经过点B(-2,-1)的直线l2所对应的z最小,∴zmax=17,zmin=-11,∴z的最大值为17,最小值为-11.
10.某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个与55个,所用原料为A、B两种规格金属板,每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;
用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A、B两种规格金属板各取多少张,才能完成计划,并使总的用料面积最省?
[解析] 设A、B两种金属板分别取x张、y张,用料面积为z,则约束条件为
目标函数z=2x+3y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域),如图所示.
z=2x+3y变为y=-
x+
,得斜率为-
,在y轴上截距为
且随z变化的一族平行直线.
当直线z=2x+3y过可行域上点M时,截距最小,z最小.解方程组
,得M点的坐标为(5,5).
此时zmin=2×
5+3×
5=25(m2).
答:
当两种金属板各取5张时,用料面积最省.
1.若变量x、y满足
,则z=3x+2y的最大值是( )
A.90 B.80
C.70 D.40
[解析] 作出可行域如图所示.
解方程组
得
∴zmax=3×
10+2×
20=70.
2.设变量x、y满足约束条件
,则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )
A.11 B.10
C.9 D.8.5
[解析] 作出不等式组
表示的可行域,如下图的阴影部分所示.
又z=2x+3y+1可化为y=-
-
结合图形可知z=2x+3y+1在点A处取得最大值.
由
,得
.故A点坐标为(3,1).
此时z=2×
3+3×
1+1=10.
3.不等式组
表示的平面区域内的整点个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[解析] 不等式y-2x≤0表示直线y-2x=0的右下方区域(含边界),x+2y+3>0表示直线x+2y+3=0右上方区域(不含边界),5x+3y-5<0表示直线5x+3y-5=0左下方区域,所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分,即如图所示的△ABC区域.
可求得A(-
,-
)、B(
)、C(
),所以△ABC区域内的点(x,y)满足-
≤x<
<y<
∵x、y∈Z,∴0≤x≤2,-2≤y≤0,且x、y∈Z.
经检验,共有三个整点(0,0),(1,-1),(2,-2).
4.已知变量x、y满足约束条件
,则z=x+2y的最小值为( )
A.3 B.1
C.-5 D.-6
[解析] 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域,线性目标函数最值.
画出可行域如图.
令z=0画出l0:
x+2y=0,平移l0至其过A点时z最小,由
,得A(-1,-2),
∴zmin=-1+2×
(-2)=-5.
5.在△ABC中,三个顶点分别为A(2,4)、B(-1,2)、C(1,0),点P(x,y)在△ABC的内部及其边界上运动,则y-x的取值范围为________.
[答案] [-1,3]
[解析] 画出三角形区域如图,易知kAB=
<
1,
令z=y-x,则y=x+z,作出直线l0:
y=x,平移直线l0,当经过点C时,zmin=-1,当经过点B时,zmax=3,
∴-1≤z≤3.
6.已知点M、N是
所围成的平面区域内的两点,则|MN|的最大值是________.
[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,
∵直线x-y+1=0与直线x+y=6垂直,
直线x=1与y=1垂直,
∴|MN|的最大值是|AB|=
7.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9g,咖啡4g,糖3g;
乙种饮料每杯含奶粉4g,咖啡5g,糖10g,已知每天原料的使用限额为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元,每天在原料的使用限额内饮料能全部售出,若你是咖啡馆的经理,你将如何配制这两种饮料?
[解析] 经营咖啡馆者,应想获得最大的利润,设配制饮料甲x杯,饮料乙y杯,
线性约束条件为
利润z=0.7x+1.2y,因此这是一个线性规划问题,作出可行域如图,因为-
,所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax=0.7×
200+1.2×
240=428(元),
即配制饮料甲200杯,乙240杯可获得最大利润.
8.设x、y满足条件
(1)求u=x2+y2的最大值与最小值;
(2)求v=
的最大值与最小值.
[解析] 满足条件的可行域如图所示(阴影部分).
(1)令x2+y2=u表示一组同心圆(圆心为点O),且对同一圆上的点,x2+y2的值都相等.
由图可知(x,y)在可行域内取值,当且仅当圆O过C点时,u最大,过点(0,0)时,u最小.
,解得
∴C(3,8),∴umax=32+82=73,umin=02+02=0.
(2)v=
表示可行域内的点(x,y)和定点D(5,0)的连线的斜率,
由图可知kBD最大,kCD最小.
∴B(3,-3).
∴vmax=
,vmin=
=-4.
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