届步步高数学大一轮复习讲义理科第十三章 132 第1课时绝对值不等式文档格式.docx
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0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±
b|≤|a|+|b|.
(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
概念方法微思考
1.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么?
提示 当a,b不共线时,|a|+|b|>
|a+b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.
2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时,需把数轴分成几段?
提示 一般地,n个绝对值对应n个零点,n个零点应把数轴分成(n+1)段.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)若|x|>
c的解集为R,则c≤0.( ×
)
(2)不等式|x-1|+|x+2|<
2的解集为∅.( √ )
(3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>
b>
0时等号成立.( ×
(4)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( √ )
题组二 教材改编
2.不等式3≤|5-2x|<
9的解集为( )
A.[-2,1)∪[4,7)B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7)D.(-2,1]∪[4,7)
答案 D
解析 由题意得
即
解得
不等式的解集为(-2,1]∪[4,7).
3.求不等式|x-1|-|x-5|<
2的解集.
解
(1)当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<
2,
∴-4<
2,不等式恒成立,∴x≤1;
(2)当1<
x<
5时,原不等式可化为x-1-(5-x)<
∴x<
4,∴1<
4;
(3)当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<
2,该不等式不成立.
综上,原不等式的解集为(-∞,4).
题组三 易错自纠
4.设x∈R,则“x3<
1”是“
<
”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由x3<
1可得x<
1,
由
可得0<
所以“x3<
”的必要不充分条件.故选B.
5.若对任意的x∈R,不等式|x-1|-|x+2|≤|2a-1|恒成立,则实数a的取值范围为_________.
答案 (-∞,-1]∪[2,+∞)
解析 ∵y=|x-1|-|x+2|≤|(x-1)-(x+2)|=3,
∴要使|x-1|-|x+2|≤|2a-1|恒成立,
则|2a-1|≥3,2a-1≥3或2a-1≤-3,
即a≥2或a≤-1,
∴实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).
6.设a,b∈R,|a-b|>
2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>
2的解集是________.
答案 R
解析 ∵|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|b-a|=|a-b|.又∵|a-b|>
2,∴|x-a|+|x-b|>
2恒成立,即该不等式的解集为R.
绝对值不等式的解法
例1 已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>
0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>
1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6,求a的取值范围.
解
(1)当a=1时,
f(x)>
1化为|x+1|-2|x-1|-1>
当x≤-1时,不等式化为x-4>
0,无解;
当-1<
1时,不等式化为3x-2>
0,解得
1;
当x≥1时,不等式化为-x+2>
0,解得1≤x<
2.
所以f(x)>
1的解集为
.
(2)由题设可得,f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A
,B(2a+1,0),C(a,a+1),
△ABC的面积为
(a+1)2.
由题设得
(a+1)2>
6,故a>
所以a的取值范围为(2,+∞).
思维升华 解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.
(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.
(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.
跟踪训练1 (2020·
四川省成都石宝中学模拟)已知函数f(x)=|x-a|,其中a>
1.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.
解
(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=
当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,
解得x≤1;
当2<
4时,f(x)≥4-|x-4|无解;
当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,
解得x≥5,
所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.
(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),
则h(x)=
由|h(x)|≤2,解得
≤x≤
又|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},
所以
解得a=3.
绝对值不等式中的最值
例2 (2020·
昆明诊断)已知函数f(x)=|2x+1|-|x-1|.
(1)求不等式f(x)>
(2)若不等式f(x)<
x2+x+m的解集为R,求实数m的取值范围.
解
(1)原不等式等价于|2x+1|-|x-1|>
等价于
或
解得x<
-3或
1或x≥1.
所以原不等式的解集为
(2)由f(x)<
x2+x+m得
m>
-x2-x+|2x+1|-|x-1|.
令g(x)=-x2-x+|2x+1|-|x-1|,
则由题意知m>
g(x)max,
又g(x)=
由图知g(x)max=1.
所以m>
思维升华 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种
(1)利用绝对值的几何意义.
(2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±
b|≥||a|-|b||.
(3)利用零点分区间法,转化为分段函数求最值.
跟踪训练2 (2020·
南宁模拟)已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解关于x的不等式f(x)+x2-1>
0;
(2)设g(x)=-|x+3|+m,f(x)<
g(x)的解集非空,求实数m的取值范围.
解
(1)f(x)=|x-1|=
所以f(x)+x2-1>
0即为
解得x>
1或x<
(2)因为g(x)=-|x+3|+m,f(x)<
g(x),
所以|x-1|+|x+3|<
m,
令h(x)=|x-1|+|x+3|,
由题意知m>
h(x)min,
因为h(x)=|x-1|+|x+3|≥|x-1-x-3|=4,
当且仅当(x-1)(x+3)≤0时等号成立,
所以h(x)min=4,
4.
绝对值不等式的综合应用
例3 已知函数f(x)=|x-a|-
,a∈R.
(1)若将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后,得到函数g(x),要使g(x)≥f(x)-1恒成立,求实数m的最大值;
(2)当a>
时,函数h(x)=f(x)+|2x-1|存在零点,求实数a的取值范围.
解
(1)由函数f(x)向左平移m个单位长度可知,
函数g(x)=|x+m-a|-
,
要使g(x)≥f(x)-1恒成立,则f(x)-g(x)≤1,
即|x-a|-|x+m-a|≤1恒成立,
因为|x-a|-|x+m-a|≤|x-a-(x+m-a)|=|m|,
所以只需|m|≤1,即实数m的最大值为1.
时,函数h(x)=|x-a|+|2x-1|-
=
若函数h(x)存在零点,
则满足函数h(x)min=h
=a-
-
≤0,
因为函数y=x-
与函数y=
的图象有且只有一个交点
所以实数a的取值范围为
思维升华
(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决.
(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.
跟踪训练3 (2019·
全国Ⅱ)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<
0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<
0,求a的取值范围.
解
(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).
当x<
1时,f(x)=-2(x-1)2<
当x≥1时,f(x)≥0.
所以,不等式f(x)<
0的解集为(-∞,1).
(2)因为f(a)=0,所以a≥1.
当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<
所以,a的取值范围是[1,+∞).
1.对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围.
解 因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,
所以|3a-3b|≤3,
≤
所以|4a-3b+2|=
≤|3a-3b|+
+
≤3+
=6,
即|4a-3b+2|的最大值为6,
所以m≥|4a-3b+2|max=6.
即实数m的取值范围为[6,+∞).
2.已知函数f(x)=|2x+3|-|x-a|(a∈R).
(1)当a=1时,解不等式f(x)≥2;
(2)若关于x的不等式f(x)≥|x-3|的解集包含[3,5],求a的取值范围.
解
(1)当a=1时,不等式f(x)≥2,
即|2x+3|-|x-1|≥2,
解得x≤-6或x≥0,
所以不等式f(x)≥2的解集为(-∞,-6]∪[0,+∞).
(2)关于x的不等式f(x)≥|x-3|的解集包含[3,5],
即|2x+3|-|x-3|≥|x-a|在[3,5]上恒成立,
即x+6≥|x-a|在[3,5]上恒成立,
即-6≤a≤2x+6在x∈[3,5]上恒成立,
解得-6≤a≤12,
∴a的取值范围是[-6,12].
3.已知函数f(x)=|x|+|x-a|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)<
4的解集;
(2)若f(x)≥1对任意x∈R成立,求实数a的取值范围.
解
(1)当a=2时,不等式f(x)<
4可化为|x|+|x-2|<
讨论:
①当x<
0时,不等式等价于-x-(x-2)<
4,
所以x>
-1,所以-1<
②当0≤x≤2时,不等式等价于x-(x-2)<
所以2<
4,所以0≤x≤2;
③当x>
2时,不等式等价于x+(x-2)<
所以x<
3,所以2<
3.
综上,当a=2时,不等式f(x)<
4的解集为{x|-1<
3}.
(2)因为|x-(x-a)|≤|x|+|x-a|,
所以|x|+|x-a|≥|a|.
又因为f(x)=|x|+|x-a|≥1对任意x∈R成立,所以1≤|a|,所以a≤-1或a≥1.
故实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).
4.(2019·
湖南师范大学附属中学模拟)已知函数f(x)=|x+1|+|3x+a|.
(1)当a=-1时,解不等式f(x)≥2;
(2)若存在x0满足f(x0)+2|x0+1|<
1,求实数a的取值范围.
解
(1)当a=-1时,f(x)=|x+1|+|3x-1|,
当x≥
时,不等式等价于x+1+3x-1≥2,
解得x≥
,∴x≥
;
时,不等式等价于x+1-3x+1≥2,
解得x≤0,∴-1<
x≤0;
当x≤-1时,不等式等价于-x-1-3x+1≥2,
解得x≤-
,∴x≤-1.
综上所述,原不等式的解集为
(2)由f(x0)+2|x0+1|<
得3|x0+1|+|3x0+a|<
而3|x0+1|+|3x0+a|=|3x0+3|+|3x0+a|≥|(3x0+3)-(3x0+a)|=|3-a|,
(当且仅当(3x0+3)(3x0+a)≤0时等号成立)
由题意可知(f(x)+2|x+1|)min<
1,即|a-3|<
解得2<
所以实数a的取值范围是(2,4).
5.(2020·
绵阳诊断)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+m|.
(1)当m=1时,解不等式f(x)≥3;
(2)证明:
对任意x∈R,2f(x)≥|m+1|-|m|.
(1)解 由m=1,得f(x)=|2x-1|+|x+1|,
当x≤-1时,f(x)=-3x≥3,解得x≤-1;
时,f(x)=-x+2≥3,
解得x≤-1,与-1<
矛盾,舍去;
时,f(x)=3x≥3,解得x≥1.
综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)证明 2f(x)=|4x-2|+|2x+2m|
=|2x-1|+|2x-1|+|2x+2m|
≥|2x-1|+|2x+2m|
≥|(2x+2m)-(2x-1)|
=|2m+1|=|(m+1)+m|
≥|m+1|-|m|,
∴不等式2f(x)≥|m+1|-|m|成立.
6.设f(x)=|x+1|-|2x-1|.
(1)求不等式f(x)≤x+2的解集;
(2)若不等式满足f(x)≤
|x|(|a-2|+|a+1|)对任意实数(x≠0)恒成立,求实数a的取值范围.
解
(1)根据题意可知,原不等式为|x+1|-|2x-1|≤x+2,
-1或-1≤x≤
或x>
综上可得不等式f(x)≤x+2的解集为R.
(2)不等式f(x)≤
|x|(|a-2|+|a+1|)等价于
(|a-2|+|a+1|),
因为
=3,
当且仅当
≤0时取等号,
所以|a-2|+|a+1|≥6,
解得a≤-
或a≥
故实数a的取值范围为
∪
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- 届步步高数学大一轮复习讲义理科第十三章 132 第1课时绝对值不等式 步步高 数学 一轮 复习 讲义 理科 第十三 课时 绝对值 不等式