八年级数学第十六章二次根式Word文档下载推荐.docx
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16.1 二次根式
1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】 会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.
【难点】 运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.
第
课时
使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.
【重点】 了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
【难点】 会求二次根式中字母的取值范围.
【教师准备】 教学所需的习题资料.
【学生准备】 复习平方根和立方根的有关知识.
导入一:
唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?
要解决这个问题,我们得从二次根式说起.
[设计意图] 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.
导入二:
1.教师出示复习题:
(1)4的平方根是 ;
0的平方根是 ;
-16的平方根是 .
(2)5的平方根是 ;
5的算术平方根是 .
学生口答:
(1)4的平方根是±
2;
0的平方根是0;
-16没有平方根.
(2)5的平方根是±
;
5的算术平方根是.
2.教师出示教材第2页“思考”题:
用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:
(1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S的正方形的边长为 .
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为 m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:
s)与开始落下时离地面的高度h(单位:
m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为 .
学生思考后回答,教师补充得出答案:
(1),;
(2);
(3) .
[设计意图] 以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.
1.二次根式的概念
思路一
[过渡语] (针对导入二)让我们一起来看下面的问题:
上面得到的式子,,, 分别表示什么意义?
它们有什么共同特征?
教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:
都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.
讨论:
你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?
学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
追问:
在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?
教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.
[设计意图] 让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.
思路二
像,,, 这样的式子有什么共同特点呢?
学生观察,交流发现:
一是从形式上看,都含有二次根号;
二是被开方数的取值范围有限制:
被开方数必须是非负数.
教师进一步明确:
形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
引导学生说一说对二次根式的认识:
(1)表示a的算术平方根;
(2)a可以是数,也可以是代数式;
(3)从形式上看,含有二次根号;
(4)a≥0,≥0.
[设计意图] 加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.
2.例题讲解
[过渡语] 二次根式的定义怎样理解?
让我们一起来学习几个例题.
下列各式中,哪些是二次根式?
并指出二次根式中的被开方数.
,,(x≥3),(y>
-1),,, (xy>
引导学生观察根指数和被开方数分析发现:
显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.
解:
(x≥3),, (xy>
0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.
[解题策略] ①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.
【变式训练】 下列各式中,一定是二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.(其中a<
0)
〔解析〕 的被开方数-9<
0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.
(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?
引导学生从概念出发进行思考:
二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.
由x-2≥0,得x≥2.
当x≥2时,在实数范围内有意义.
【变式训练】 若式子1+有意义,则x的取值范围是 .
〔解析〕 根据二次根式的性质可知:
x+1≥0,即x≥-1;
又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.
[易错分析] 容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.
[设计意图] 通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.
[知识拓展]
(1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.
(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×
-表示-×
但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点
关键点
注意事项
二次根式的概念
形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a
被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等
二次根式有意义的条件
被开方数必须是非负数
求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零
1.已知下列各式:
(a≥2),, ,其中二次根式的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:
的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.
2.(2014·
南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥ B.x≥-
C.x>
D.x≠
是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>
.故选C.
3.当x= 时,二次根式有最小值,其最小值是 .
∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.
答案:
-3 0
4.求下列各式中字母a的取值范围:
(1);
(2) ;
(3);
(4).
(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.
(2)由>
0,得1-2a>
0,即a<
.∴字母a的取值范围是小于的实数. (3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数. (4)因为无论a取何值,都有|a|+1>
0,所以字母a的取值范围是全体实数.
第1课时
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第3页练习第1,2题;
教材第5页习题16.1第1题.
【选做题】
教材第5页习题16.1第7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若 是二次根式,则下列结论正确的是 ( )
A.x≥0,y≥0 B.x>
0,y>
C.x,y同号 D.≥0
2.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是 ( )
A.m>
6 B.m<
6
C.m>
-6 D.m<
-6
3.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(2015·
遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是 .
【能力提升】
5.当x 时,+在实数范围内有意义.
6.(2015·
攀枝花中考)若y=++2,则xy= .
7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.
8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.
【拓展探究】
9.若x,y,n满足关系式+=·
试确定m的值.
【答案与解析】
1.D(解析:
依题意得≥0,即≥0.故选D.)
2.A(解析:
根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<
0.解得m>
6.故选A.)
3.A(解析:
根据二次根式有意义的条件,易得a>
0,b>
0.故选A.)
4.x≥(解析:
要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)
5.≥-且x≠-1(解析:
要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即 由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)
6.9(解析:
由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴xy=9.)
7.解:
∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.
8.解:
由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.
9.解:
由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.
我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:
学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.
在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.
根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.
练习(教材第3页)
1.解:
设长方形的长和宽分别为3acm,2acm.由题意,得3a·
2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故长方形的长取3cm,宽取2cm.
2.解:
(1)当a-1≥0,即a≥1时,有意义.
(2)当2a+3≥0,即a≥-时,有意义. (3)当-a≥0,即a≤0时,有意义. (4)当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.
若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.
〔解析〕 根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.
由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±
2.
当x=±
2时,y=-3.
①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×
(-3)=-4;
②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×
(-3)=-8.
所以x+2y的值是-4或-8.
[解题策略] 根据已知得出并得到x=±
2是解决本题的关键.
已知(3a-6)2+=0,求ba的值.
〔解析〕 根据非负数的性质:
若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.
因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,
所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.
此时ba=32=9.
[解题策略] 本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:
(1)绝对值;
(2)偶次方;
(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.
1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.
3.了解代数式的概念.
在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.
通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.
【重点】 掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
【难点】 能运用二次根式的性质化简.
【学生准备】 自学教材第3~4页的内容.
教师出示问题:
先化简再求值:
当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:
甲的解答为:
原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;
乙的解答为:
原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?
本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.
[设计意图] 以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.
1.什么叫二次根式?
2.当a≥0时,叫什么?
当a<
0时,有意义吗?
学生口答,老师点评.
通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.
[设计意图] 复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.
1.二次根式的性质1:
()2=a(a≥0)
[过渡语] 我们先来探究性质1:
()2=a(a≥0).
提问:
你能解释下列式子的含义吗?
()2,()2,,()2.
学生口述,教师根据情况评价.
()2表示4的算术平方根的平方;
()2表示2的算术平方根的平方;
表示的算术平方根的平方;
()2表示0的算术平方根的平方.
根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
()2= ;
()2= ;
= ;
()2= .
学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.
教师引导学生说出每一个式子的含义.
是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2. 是的算术平方根,根据算术平方根的意义, 是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.
从以上的结论中你能发现什么规律?
你能用一个式子表示这个规律吗?
引导学生归纳得出二次根式的性质:
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).
(教材例2)计算:
(1)()2;
(2)
(2)2.
学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.
〔解析〕
(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.
(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.
(1)()2=1.5.
(2)
(2)2=22×
()2=4×
5=20.
[解题策略] 把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.
【变式训练】 计算:
(-2)2.
〔解析〕 把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.
(-2)2=(-2)2()2=4×
3=12.
[知识拓展] 形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.
[设计意图] 让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.
2.二次根式的性质2:
=a(a≥0)
[过渡语] 我们再来探究一下性质2:
=a(a≥0).
, ,.
表示2的平方的算术平方根;
表示0.1的平方的算术平方根;
表示的平方的算术平方根;
表示0的平方的算术平方根.
= ;
= .
∵4=22,∴=2,因此=2;
∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;
∵=,∴ =,因此 =;
∵0=02,∴=0,因此=0.
引导学生归纳得出:
一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).
(教材例3)化简:
(2).
引导学生根据=a(a≥0)进行分析:
(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.
(2)因为(-5)2=52,所以=.
学生独立完成,集体订正.
(1)==4.
(2)==5.
[知识拓展]
(1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.
(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);
若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<
小组讨论:
()2和有什么关系?
学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:
()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);
表示a的平方的算术平方根,=|a|=
[设计意图] 让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.
请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:
1.
(1)填空:
(2)猜想当a≥0时,()2= .
2.
(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.
== ;
….
通过观察,你得到的结论是什么?
试着说一说.
(2)发现:
当a≥0时,= ,当a<
0时,=
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