自考初等数论试题及答案_精品文档.doc
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初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分,共18分)
1、如果,,则(D).
ABCD
2、如果,,则15(A).
A整除B不整除C等于D不一定
3、在整数中正素数的个数(C).
A有1个B有限多C无限多D不一定
4、如果,是任意整数,则A
ABCTD
5、如果(A),则不定方程有解.
ABCD
6、整数5874192能被(B)整除.
A3B3与9C9D3或9
二、填空题(每题3分,共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的).
2、同余式有解的充分必要条件是().
3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为().
4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者(与互素).
5、的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).
6、如果是两个正整数,则存在(唯一)整数,使,.
三、计算题(每题8分,共32分)
1、求[136,221,391]=?
解[136,221,391]
=[[136,221],391]
=[]
=[1768,391]------------(4分)
=
=104391
=40664.------------(4分)
2、求解不定方程.
解:
因为(9,21)=3,,所以有解;----------------------------(2分)
化简得;-------------------(1分)
考虑,有,-------------------(2分)
所以原方程的特解为,-------------------(1分)
因此,所求的解是。
-------------------(2分)
3、解同余式.
解因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3.----------(1分)
又同余式等价于,即.------------(1分)
我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),---------(2分)
即定理4.1中的.------(1分)
因此同余式的3个解为
---------(1分)
-----------------(1分)
.---------(1分)
4、求,其中563是素数.(8分)
解把看成Jacobi符号,我们有
---------------(3分)----------------------(2分)
-----------------(2分)
即429是563的平方剩余.---------------(1分)
四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)
1、证明对于任意整数,数是整数.
证明因为==,------(3分)
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,-----(2分)
并且(2,3)=1,-----(1分)
所以从和有,-----(3分)
即是整数.-----(1分)
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.
证明因为,-------------(3分)
所以只需证明T.
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1,7,1,19,7.
对于模5,的值1,7,1,19,7只与1,2,4等同余,
所以T---------(7分)
所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
--------(1分)
3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.
证明设是正数,并且,----------(3分)
如果,---------(1分)
则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余,
所以只能与0,1同余,
所以
---------(4分)
而这与的假设不符,---------(2分)
即定理的结论成立.------(1分)
4
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