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将上述两个想法作进一步地数学化:
对复杂函数,想找多项式来近似表示它。
自然地,我们
希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如:
在某点
处的值与导数值;
我们还关心的形式如何确定;
近似所
产生的误差。
【问题一】
设在含的开区间内具有直到阶的导数,能否找出一个关
于的次多项式
近似
【二】
若一的解存在,其差的表达式是什么
一、【求解问题一】
一的求解就是确定多式的系数。
⋯⋯⋯⋯⋯
上述工整且有律的求系数程,不出:
于是,所求的多项式为:
(2)
二、【解决问题二】
泰勒(Tayler)
中值定理
若函数
在含有
的某个开区间
内具有直到
阶导数,
则当
时,
可以表示成
这里是与之间的某个值。
先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路:
这表明:
只要对函数
之间反复使用
及在与次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。
【证明】
以与为端点的区间函数
或记为在上具有直至
,。
阶的导数,
且
函数
在上有直至
阶的非零导数,
于是,对函数
及
在上反复使用
次柯西中值
定理,有
三、几个概念
1、
此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式;
或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。
当时,泰勒公式变为
这正是拉格朗日中值定理的形式。
因此,我们也称泰勒公式中的余项。
为拉格朗日余项。
2、对固定的,若
有
此式可用作误差界的估计。
故
表明:
误差是当时较高阶无穷小,这一
余项表达式称之为皮亚诺余项。
3、若,则在与之间,它表示成形
式,
泰勒公式有较简单的形式——麦克劳林公式
近似公式
误差估计式
【例1】求的麦克劳林公式。
解:
,
于是
有近似公式
其误差的界为
我们有函数的一些近似表达式。
(1)、
(2)、(3)、
在matlab中再分别作出这些图象,观察到它们确实在逐渐逼近指数函
数。
【例2】求的阶麦克劳林公式。
它们的值依次取四个数值。
其中:
同样,我们也可给出曲线的近似曲线如下,并用matlab作出它们的图象。
【例3】求的麦克劳林展开式的前四项,并给出皮亚诺余项。
于是:
利用泰勒展开式求函数的极限,可以说是求极限方法中的“终极武器”,使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。
【例4】利用泰勒展开式再求极限。
,
【注解】
现在,我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为,从而
当时,,应为
【例5】利用三阶泰勒公式求的近似值,并估计误差。
故:
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