专题210 透过二模看中考三角形的面积比解析版.docx
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专题210透过二模看中考三角形的面积比解析版
专题2.10透过二模看中考—三角形的面积比
2021青浦、金山、松江25题解法分析(三角形的面积比)
2021青浦、金山和松江25题的第二、三问都是围绕着三角形的面积比展开,下面我们来回顾下与三角形的面积比相关的题目类型:
2021青浦二模25题解题背景:
解法分析:
本题的第一问是求角度问题,由▲BCD是等腰三角形,设∠D=α,然后利用同圆的半径相等以及三角形内外角和的关系,用含α的代数式表示∠O的大小,继而求出α的度数。
解法分析:
本题的第二问是面积比的问题。
由C是弧AB的中点,得∠COB=45°,继而通过解三角形求出边的长度。
本题求三角形的面积比有两种解法,解法1是利用“面积比等于底之比”;解法2是利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解。
解法分析:
本题的第三问是弧的翻折问题,圆的翻折问题本质上时圆心作轴对称变换,半径不变。
值得注意的是这里的E可能在线段OB上,也有可能在线段OB的延长线上,根据勾股定理及同角的三角比相等求出AD的长度。
2021金山二模25题解题背景:
本题的背景依托于等腰三角形背景下的相似模型,如下图所示:
解法分析:
本题的第一问是相似三角形的证明问题,通过三角形的外角和以及角的和差关系发现等角,在上述模型中多有呈现。
解法分析:
本题的第二问是三角形的面积比问题。
除了依托题目中现有的两对相似三角形:
▲ABF∽▲DCA以及▲ABC∽▲ADE外,根据F是BC的黄金分割点,得到CF是BC和BF的比例中线,继而进行比例线段的转化,得到▲ABF∽▲EFC,最后转化为BF和CF的比值的平方。
解法分析:
本题的第三问根据第一问相似三角形的相似比,求出BD的长度。
继而根据BD的长度,确定点D的位置,利用三角比或勾股定理求出BE的长度。
2021松江二模25题解题背景:
解法分析:
本题的第一问考察了菱形的判定。
利用全等及等边对等角,得到AD=ED=EF=AF,从而判定AFED为菱形。
解法分析:
本题的第二问考察了相似三角形的判定和性质。
利用A.A,判定▲ABG∽▲ABC,从而得到比例线段成比例。
解法分析:
本题的第三问考察了三角形的面积比问题。
通过证明▲ADE∽▲ABC,继而将面积比转化为相似比的平方。
根据第二问的结论,通过边的转化,可以得到E为BC的黄金分割点,继而得到面积比的值。
相关类型分类解析
2019年中考的25题图形简单,题设清晰,涵盖了初中几何的众多知识点,不难发现,这道25题和配套练习册的许多习题有异曲同工之处,不得不让我们再次感叹“中考题来自于课本,但是又高于课本”。
罗列25题的每一小问的具体做法,详细介绍其所涉及的知识点以及易错点,给考生们提供添加辅助线的思路,起到抛砖引玉的作用。
本文主要讲解25题
(1)问。
思路点拨:
已知条件分析:
BD平分∠ABC,得到∠ABD=∠DBC;AD平分∠BAE,得到∠BAD=∠DAC;AE⊥AD,得到∠DAC+∠CAE=90°或∠ADE+∠E=90°。
求证结论分析:
∠C=2∠E,则需要得到含∠E和∠C的一系列代数式,从而化简得到两者之间的关系。
题目中蕴含着丰富的内角和外角,初步思路可以从三角形的内角和三角形的外角突破。
【方法小结】
方法1是最常规的解法,利用角平分线的基本性质以及∠C和∠E所在的▲ABC及▲AED的内角和和外角性质,用∠1和∠3表示出∠C和∠E的数量关系,从而得到结论。
【方法小结】
方法2利用了∠C和∠BAC的外角,再利用三角形的内角和及外角关系,探索∠C和∠E的数量关系。
【方法小结】
方法3根据Rt▲ADE,构造了斜边中点P,利用了▲AOP与▲BOC相似,通过角的代换,探索∠C和∠E的数量关系。
【方法小结】
方法4利用了“三角形的三条角平分线交于一点”的性质,构造了“斜X”型相似三角形,通过角的代换,探索∠C和∠E的数量关系。
【方法小结】
方法5利用了“等腰三角形的三线合一”,构造了相似三角形,从而通过角的代换,探索∠C和∠E的数量关系。
【方法小结】
方法6利用了“圆内接四边形对角互补”、“同弧所对的圆周角相等”、“角平分线的性质定理及其逆定理”,探索∠C和∠E的数量关系。
但是此方法借助了拓展2的内容,因此极少数的同学选择了这种方法。
典型错误:
①将内心和重心的概念混淆,误以为D是重心,导致错误;
②过内心D做三边垂线(识图应用角平分线的性质定理),但是解题方法错误;
③延长CD后,默认CD⊥AB,导致错误;
④ 不能推导出角之间的关系,一筹莫展。
其实,这道题最通俗易懂,容易想到的办法是方法1,根据角平分线的性质推导出其中的倍半关系,再利用三角形的内角和及外角性质即可得到。
其实,在笔者看来,中考25题的第
(1)问不会设置太多障碍,按照我们往常讲过的通识通法即可解决这个问题。
而这道题的影子可以在上教版七年级第二学期练习册P41(5)和P42(6)找到影子,同学们还是要多关注课本和练习册,回归本源才是关键!
我们罗列了25题第
(1)问的解法,相信大家感叹,怎么会有这么多解法!
其实这些解法都是紧紧围绕着已知和结论展开的,有的方法通俗易懂,有的方法错综复杂,所以,在日常的学习中我们要善于总结书中例题所涉及的常规解法和数学思想,万变不离其宗,只有通“一”方能“反三”。
下面,让我们继续走进25题第
(2)问的解法,看看其中蕴含着哪些方法和思想。
思路点拨:
已知条件分析:
这里要注意的是
(1)中的结论∠C=2∠E可以直接作为条件使用。
已知条件中,①AE=AB,可以得到∠E=∠ABE,此时可以推得AE//BC及▲ABC是等腰三角形;②BD:
DE=2:
3,出现了比例线段,则可考虑构造基本图形“A”字型或"X"型。
求证结论分析:
要求cos∠ABC值,则需要构造直角三角形,直角三角形的构造可以通过∠DAE=90°及已知条件获得的推论(AE//BC及▲ABC是等腰三角形)得到。
本题的关键在于“直角三角形”和“平行线间的比例线段”。
友情提示:
有的同学会疑惑,到底在何种情境下
(1)问的结论可以在
(2)问中延用?
延用的前提就在于
(1)问的结论是在总前提下得到的,还是在
(1)问中有附加条件。
在本题中
(1)问的结论是在总前提下证明的,因此可以延用;再看
(2)问,由于有附加条件(或是特殊情况),则不能在(3)问中继续延用。
本题的
(1)问其实是已知条件的附加推论,所以同学们在做综合题时要仔细甄别,到底能否延用结论。
【方法小结】
方法1虽然有三种不同的解法,但是解题思路都围绕着根据平行线,构造了“X”型基本图形,通过比例线段转化了BD:
DE,构造直角三角形得出了cos∠ABC的值.
【方法小结】
方法2虽然有两种不同的解法,但是解题思路都围绕着根据平行线,构造了“A”型基本图形,通过比例线段转化了BD:
DE,构造直角三角形得出了cos∠ABC的值.
典型错误:
①漏证了AP⊥BC,误认为延长即垂足;
② 辅助线描述为“作AP⊥BC”,未证“A、P、D”三点共线;
③ 根据图形特征,以为AE//BC或AP⊥BC;
④ 根据▲ABE是等腰三角形,作AH⊥BE,认为“三线合一”可以解决问题,做出的同学则利用了子母三角形,多次相似证明,计算量过大。
其实当发现了平行线及比例线段就应该想到构造基本图形,常见的基本图形有“X”型和“A”字型,当构造了这两组基本图形后,问题就迎刃而解了。
其实,在笔者看来,中考25题的第
(2)问,就是基本图形的构造,在初三阶段,我们学过的基本图形常见的有“A”型、“X”型、“子母三角形”、“一线三等角型”,要善于在复杂图形中找到基本图形,这样就能把复杂问题简单化。
在日常学习中,我们要善于总结常见的几何模型以及基本思想方法,这样对于我们攻克难题有着事半功倍的效果。
分析25题的前2问:
25题的第
(1)题考察了三角形的内角和、外角性质及角的转化;25题的第
(2)题考察了平行线间的基本图形及锐角三角比的求法。
那么25题的第(3)问又涉及了哪些知识点和基本方法呢?
不妨让我们来继续分析下。
思路点拨:
已知条件分析:
这里要注意的是▲ABC与▲ADE相似,由于▲ADE是直角三角形,因此相似后,▲ABC也是直角三角形。
由于∠ABC是锐角,则存在两种情况:
①∠BAC=90°,②∠C=90°.再根据
(1)问的∠C=2∠E,即可求出∠ABC的度数。
求证结论分析:
要求两个相似三角形的面积比,转化成相似比的平方,即(AD:
AC)的平方。
友情提示:
两个三角形的相似,突破口就在于其中一个三角形是否有特殊角或者两个三角形是否已经出现了等角,以此再进行分类讨论,则可以优化解法,节约时间。
本题中∠DAE=90°就是一个突破口,以此来作为分类讨论的依据。
小结概况:
第(3)题的第一个难点就是分类讨论,发现∠C或∠BAC=90°;第二个难点就是要求出15°及22.5°角的三角比;第三个难点就是合理构造直角三角形,探索边之间存在的数量关系型。
在初学锐角三角比时,大多数老师都讲过15°及75°角三角比的求法。
该方法就是以30°-60°-90°直角三角形的30°角作为外角,构造等腰三角形,构造后新的Rt三角形的两个锐角分别为15°和75°,利用边的关系可以顺利解决问题。
同样22.5°角就用类似的方法进行构造,同样可以解决。
不论是分类讨论或是角的构造,其实在日常的教学中,老师就给同学们讲授过了,所以在平时的学习中,要善于积累,活学活用,勤于动脑,这样才不会在遇到新问题时犯难。
正方形背景下的相似三角形及比例线段证明
正方形中常常隐藏着许多的等角以及平行线,这往往蕴藏着丰富的基本图形或相似(全等)三角形。
同学们往往看到复杂的图形就会望而却步,在做证明题时,以“识图→研图→解图”的模式,去解决这一系列的问题。
本文以正方形为背景,根据题目背景,挖掘其中的基本图形,从而达到解决问题的目的。
思路点拨:
①要求证BE=CF,从全等三角形着手,易证▲ABE≌▲BCF.②题目中出现了线段的等积式,则考虑从相似三角形或者比例线段入手。
(1)若从相似入手,则BC和CE都涉及的三角形是▲CGE与▲CGB(共边三角形),欲证这两个三角形相似(公共角:
∠GCE=∠GCB),缺了一组角,同时还需要证明CG=BE,而突破口就在在于AB的重点M这个条件。
思路点拨:
(2)若从比例线段入手,将结论转化为:
BE:
CE=BC:
BE,若要发现BE:
CE与哪一组比例线段相关,则要添加辅助线,构造"X“型,即延长AE、DC相交于点N,形成若干组"X"型基本图形。
思路点拨:
cot∠CBF=CF/BC.根据已知条件,根据已知条件:
BE2=BC·CE,E为BC的黄金分割点,则BE/BC=(√5-1)/2。
则本题的关键是去证明BE=CF.由问题1的思考,辅助线的添加水到渠成.
“识图、研图、解图”的思维导图(图5)
题组设计的基本图形“X型”(图6)和子母三角形(图7)
思路分析:
(1)欲证AE=BG,则要发现其中的全等三角形,可以有两对全等三角形选择:
▲AOE与▲BOG;▲AEB与▲CGB;
(2)本题的突破口在于AG:
CG;由AG:
CG=AB:
CP,可以根据▲BCP与▲AOE相似,进行相等线段转化即可解决问题;也可以计算tan∠CBP与tan∠OAE,解决问题。
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