微分几何版答案梅向明Word格式.docx
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从而有
=r(f)Xr*(z)=p(r)r(t)xr*(r)=^(f)n(^).
ii(t)x=0,但n(tJt^O.
因此ft"
)有固定方向(上題).又r(f)丄«
(/).所以「("
平行于固定平面.
习题1.2
1由r(r)=j-sinr»
cosr,1:
得
rfit}\=VT~sinf+(oo«
)2+1=-/2^=Q,所以曲线是正则曲线.
”CO9t=1.
令.八解出r=0,则对应于点(1,0.0)有r=0・所以
八(0)=I0.1JI,则曲线在:
(・0,0)点(即f=u点)的切线方程为
工・1_$一0_工_0
011*
或“=0]+“7+治3.
法面方程为
(P-r(0))-r;
(0)=0,
即(x-l)0+(^^0)1+(z~0)l=0,
y★H=0•
2
r(r)=\at,bt2tct3l,r(t)^\a^2bt,3ct21.
所以•切线方程为
p-r(z0)=Arz(/0)*
即
上一aq_y_位:
z-ctia2施3c?
o
a工+十3cf©
w—(犷厲+2戸5十“)—0,
5因为r\fl)=(-asin.tacos0,6L取乂轴上的单位向就es=|O,Otlk则
一asin0*0*acos抄■0+b*1
丿(-asin(?
)3+(acosfl)1+b7-1
=V=f=常数•
即r‘与力的夹角不随e的变化而变化■因之曲线的切线与H轴作固定角.
•・从r=0算赳的弧氏为:
Z(r)=Ir\dt
Jo
-asinh丄・
13T曲线(C)的方程为•它的向It鑫数表示为;
r—Ix16x"
01,
r=ilF26x.0lJ/|=/l+4Zf3x3.对应于-笑WhW盘一段:
的弧长为t
/(J)
=j*yf\+4b2JC1dJ
|f2«
A
yJy1+U1dW
14r=|acorjz,asinJz»
0IT
F=I-3acofl^fsui£
3asinJreusc«
0I,
Ir'
f=|3asinZeasf|3cIsinfeesf|亠
15r=Ia(-sinf)g(1-cosf),0I,a>
0,rz=ia(1-cost)tzisint,0If
I
r'
I—V[a(1—cos/)P+(amnt
对磁0MrM2代一段的弧长为:
—4口sinudu
16曲线与xOy平ifl相交时山=0,即4^=0,得Z=0.r-13acosJ3asint^4ati,f"
=I-3asinI*3noost,4d),
1/1=J9<
?
+16(?
=5—
魁•弧长
pf
1(£
)=Sadi=Sat,
Jo
17曲线与两平面交点的横坐标分别为工=尬山=3「取工为参敷,曲线的方程为
所以
M,J'
万冷代入原方裡篇
27由于工=工(0)=卩(B)cos化
y=y(0)=0.
所以r~cos0fp{)sin8|,
F=ipcos0~psin9,/asin0+poos0}T
I尸I=■>
/(poos6—psin&
)'
+(p"
sing+fgs&
)"
-/77)1+・
二"
砒=£
Ir^ld£
=p/7/)2+Vd^.
习题1.3
1解:
r(:
)=(<
2cosr,osinx[,
r(f)=I-«
sinl»
uc(j5/IF紗f"
(E)=I—acorf,-dsin?
t0[,密切平面的方程为匕
(R-
展开整理得:
Xsint—Ycost+
at=0.
2解:
f={fsintftcosf,refIt
(()={Zcost+sint,oost—rsini,e(+zef|,r*(f)=!
2oosi-/sint«
一2sint-Zcost,2e*+Ze*L在原点处z=0,
r(0)=10.0,01.r70)=10,1JLr*(0)-|2t0,2L柱原点处切平面的方程为:
(Jf-ro,r#otr\)=0.
X+Y
{K)t\=0,
即F+Z7
从切平面的方稗为:
(Jt-r0,r'
oxr\,r%)=0,r\X=1111,-111即2X-y+z-o.
切线方程为;
R~rv=Ar\)r
BP
XYZ
—~~=■st
011•
主法线方程为二
R-gF[(儿X几)XF;
],由于(r^xr*0)Xr/o=I2.-1.1U
主法线方程为:
X_Y_Z
1E——m—■
2-1I
副袪线方程为
(ft-r0)=A(r'
ox)t
©
3f=I收cost*asinz,6/}t$={—asini,ucosr>
61,厂mI一acosr«
-asint,0[,
rxf"
=1n11—czAposf•盘'
].
Crxr3t-(ab"
+aJ)a»
t(a3+afr2)stnf.01*I(#■"
xr*)X|-ab1+a3f
(宀
icosZf—sin/,01,
(Jt-r)=入0・
即兰二恋的上二上"
加『=刍昱
-cx«
c-sinf0
又€输的方程为:
X_Y_Z
石_百_丁,
对任意♦有
巧二-cos£
*0+("
sin/),0+0-l=0f
即主祛线与z釉垂直•又由于点(0,0,池)即在主法线上,又在空轴上,故主法线与畫轴垂直相文于9,0.加人
4解:
f=Icostzcnal,co(fiasin£
rfsinjtr"
=t-cosastn仁cosacosi,s)naItrf=」-coscreostf—8Sasinf>
0'
rXr"
=\sinncosasinc,*sinacosacoscPcos2a}‘IrHXrJJ|=cosa,
所UX/=(sinRsin£
f—sinacos£
tcosa}.
新曲线的方程为:
r=r+y
—\cosacost+sinosint,oosasint-sinexcost,sina+ocwa:
=|cos(r—tr)tsin(f—a)tfsina+cosa|t
r—I—sin{f—a),oos(£
—n),sinaI*
I勺cijs(f—a),_s)n(r一a)r0L
新曲线密切平面的方程为
脱开整璋得
[sinQsin(f-a)]X—[sinccos(t—tr)]Y+
Z-(rsina+cosa)=0.
5证明:
设球面的半径为尺•球心在原点•球面曲线的方程为
r-r(s),
则r»
r=0.
曲线的法平面方程为
lp-r(s)]*r(j)=0*
p(s)*i*(J)=0.
它通过原点通过球心.
6证明:
丙为r=\acosfsinttbt\r
r*—\~asintttb\,
r*=I-gcos/1-asint»
01・r*Xr*=)a/jsint.-a^cos,a2H所以副沬线的方向向量为仁-6cos£
2匚过原点且平行于副法线的宜线方程为
-y_g
占sint-teasta消去t:
V
jc—A6sintyy—~A^oasf,r=aA,工'
十寸=tz2=ci2A21即得空亠(工"
十*
7
(1)因为ooshr,asinh11at\f
F=Iasinhtgcoshtfa\
r*—|ocosh11asinhtt0\r
r"
Xf"
=|-a嚅inhr,口2cosht「住'
}.
1rr|=v/2ncoshr,
|rXr*'
==J茲"
cosht«
产=(asinht,flcosh/»
01F(r\r\r)=a\
“2acotih1/2acosh2/
(2)09为r-'
a(3f—r3)t3af*»
a(3f+Z3)I,
八l3a(l-
-『),6«
ff3(2(1+
(2)|,
=j-bat,6&
6皿;
*
/Xr*=—1〕,一36口匕18屮(厂+l)j.
HW3屁(1+『)・
Irxr"
|=180/(1+心,存—1—&
口TOt6a\>
(=216^\
”11
3^*(1+?
/,r3a(l+z3)J
(1)SO<
Z<
y,X<
t<
y1C时.
isinfcosrI=sintoos11
33
■-^-cost«
-^-sin
sintTcnarT0},
44.
^•cost«
_-j-sin
(八AQ
36sinJf«
i*r—4
|厂r*|:
"
(MsiPfcos^yf^SsirTfcost
—3cost,3sinZf-4-1
rf_sin工coslaIr9151sin7c?
os11
sin/co3t
7sintcos11
A—sinrcos£
<
A
=yxa=厂一—rIsin11cosr>
0L
Isinroos11
抿据衣nrtcosr的周期性,所有讨论只考虑OMr冬2篡即可•当t
=0与“务时,在对应点宀0・即这些点是曲线的非止并
/?
=-Isinr,cosr,(JI=|-sintr-cose,01*
i44
y=-j-cost*--ysint»
0.
由于
下面脸证伏雷内公式:
jy=IryI=5Isinicos£
I,当0<
t<
时,由于
IsinfcosrI=sinrcost,da
(1)
da_dt1da口"
d7=d7=T77'
d7d7
1
5[sint]5
I晶7岛卫,
岬=25|sinrc^rltsin/u
Md7
一山--5-dz
1如
FTP
5&
inrcost]
1costf一«
inzJJ|
251sui7co?
TTT5
4
334
cost,百win仁—弓
IOsm/cos/I(05
25cosr~25sinz*°
1'
=-25cos_25龛inf,0卜
即7=-碓*
对于今<
Ytt,;
k<
Y2it时,完全可以按上述方法验证-
59证法一•,设所给曲线为(C):
r=r(5>
定点的向径为码,
则
r(j)-R4=A(s)a(5)>
a(j)=A(s)a+xkfi.
但40线性兀关,从而
A=t=0,
又A^O,所以^=0.W(C)是直线.
证法二根据已师•有
[r(5)-Ru]Xa(j)=0,
r(f)xa+[H・〉一耳■]X妙=0・
[r(s)-fio]x*/r=0.
[r(s)~R^]xfi^0r(否则,(/■(门~心)/70,由已知得岀(「(J-矶)〃a,于是(r(s)-肌)=0,即/*($)三J?
。
,从1佃所给的曲线退缩为一点'
得出矛盾)•所以
走三0
即曲线(C)J&
育线+
讦法三设所给曲线为(C〉w=r(z),则由已知育r(/)-Ro=A(Z)r'
(C)>
r7f)=Az(;
)r(f)+A(;
)r*(r).
于是rXr*-0f所以
即曲线(C)是直线.
10证法一设曲线(C):
r=r(r)t定点向径为斤■,据已知条件(r(z)-K0)在密切平而上,故
(r(t)~,r*)=0.(*)
(l)若r-R^r.^有两个共线,则分别有下列结果:
1若(l肌)〃只則据上题结ifc.(C)是直线;
2或rfx^=0「」=仇曲线(C)是直线;
3若(厂-肌)〃产,设尸-&
=入<
门/\两边对t求微商:
/=A<
/)r*+A(£
)r*.
即r\r\r*共而.故(八八/*)=0.故
则(C)是平面曲线.
(2)若r-K0,r\r*两两不其线“则在(*)式两边对t求微商:
(r'
隔,八C=0,
即十(尸—R.十(f亠J?
a*尸‘■产)=0*
但前两项为0,所以
(r-Ko,r\r*)=O.
由于上式与(*〉式同时成立〒所以r\r\r*Jt面’即
(—50.
故曲线(C)是平面曲线.
证法二设曲线(C):
r=r(^)»
依已知条件
(f(j)-Rtf)*y(s)=0,两边对/求微商;
a*r+-rp)=o.
所以r(r-K.)-f-0.
(1)若r=0,则(C)是平面曲线;
(2)若(r-Ko)^=0T两边对5求微商:
a*0*〈尸-/?
*)•(—r7)=0»
所以(尸一心)・(1屜)十"
一矶)*寸=0"
根据已知条件(吴*)式,后一项为S所以^(r-Ku)'
a=0.
但由所设(l尺訂丄孔"
-矶)丄人所以(l肌)〃茫,
故从而寿=0,曲线(亡)是直线.
H例題中巳给出解答.
121£
明;
设曲线(C):
r=r(5)的曲=cons
窜中心的轨迹为
、(C"
):
F*=「($)+扌0($).
上式两边对曲线(C*)的自然参数昇求澈曲”得
=丿⑺+〃"
)]茹
13证明i因为!
1+3/+2ta,2—Zf+Sf2,!
-t1f,
r=l3+4r,-2+10t,-2rLr*=MjO.-2L
宀0
从而r=0,即曲线是平而曲线•令f=0,则得r(O)=tl,2Jl,r<
0)=13,-2,0!
*作为平面曲线•它所在的平面即是它的密切平Ah其方程为
r-1,>
*2«
-1
3-20
410-2
即+3^+192-27=0,
14
•因为
讦扶一设曲线r:
r(=rl(.<
!
),:
r2=r2(^2)//ct2,从而a,=土叫,于是
乩=+昨•邑
1_血吋
■ai-―dJ2
人必=土紅佚a;
;
于是有
a+*(一为彦+ry)j寸g
即a*#r,并El
ds
dr
因此,禹〃巫.即巧*匚在对应点的主法线平行.X所以
门〃厂,盟G、G在对应点处的副廉线平行.
证法二因为«
jxa2=0,所以
于是脊
小士X仏證)"
因此Xi#>
又由于at//aZ9所以爲〃民.
15
if明:
因为必〃02,于是%丄丄民•从而
f"
272鲁
所以arai为常数•即伽与①作固定角.
H证明:
设曲线r;
r=r(5)f曲线r:
r*=r*(D.rftHf)的主法线与亍在r*(s4)的銅袪线重合▼则
(s*)=r(s)+A(5)/I(s).
1*
=<
十>
0十4(一左ry).
因为0〃广・于是0丄/丿丄旷,上式两边点乘队可得A=0.从而A是常数.设A-Au,则
a"
令-=(I-A)a4-Aury.
上找两边对孑求微商,可得
ds*\2«
j*_
ST}a7?
=
上式两边点乘0占科
A(l-AcA)-A0r!
=Ot
即代=九(冷'
+J)・
<
2〔1一cost)fusint,-2asin艺卜
asin/,actwf*-acos至,
.川—倉r2*黑W
rXr=-2as)n乏
JTtBP#=舞斗2理阮匚(2就+1)貫时*石=卩最大・
1«
解:
因为在罚点的泰勒展开式
r(s0+As)=r(x0)+r(^o)ij+^r(s0)(As)2+
jj[>
(fo)+c(j0»
Aj)](As)3,于是r(5v+Zis)-r(s0)
=a(比)Aj+寺怎0(北)(Ai)a+*[A(丸)0(岭)■*■
Aq[KG+“y&
)]+[e1(s)a(A))+e2(Jo)^(^j)
巧(片)丁(%)】}(△"
=[山一+-g-£
t{io)(As)3□(%)十
冷出(山沪”(馳“&
尸十+礙旳)^)3”g)十
I£
怎勺(心尸十(孔”山尸丫0
设“直」分别是r(50+Ai)点到尸(升)点的密切平血、法平面.从切平面的审离,则
工=I[r(升十心)「(牝)]・<
1(帀〉[
-肘十斗彳(切)(&
卩—
y-I[-f(显)卜0(笛)|
=|卡(坯)(△"
十*◎(九}(山)"
、
茫=I[r(^+Ajf)-/■(j0)]-y()|
=^-A:
or0(As)J+-^-€3(s,)(Aj)'
*
7当山*0时"
(盹)-5即I(»
),5(齢)0所叽若Jt*#OT则以上三个亚离的近取值分别为
玄之IdIr
寺爲=占由°
lAsI,*
宜=石匕珂(△/)'
二召知丨口'
AfI
若碁-DM(坯)H0・則近似距熬分别为
工心1△訂,
严+》($■)(心尸=y4(Jo)IlAs|\
1解曲线为(V)
r={ucos去巾,nsinv0,I«
它是与眾轴垂直相交的克线.
V-曲线(制-w0)为
r=<
w0cosvfu^sin-u^bv\f
它杲圆柱螺线.
2证明坐标曲线为
r=I(u+心电)•石(坯一va)t2aT/MI,
r=|a(u0+v)*6(“v)t2uavl.
它们都是宜线族,又展曲她物面上的自线必属于网族貞母线之一,故曲面的坐标曲线就卑它的直母线.
3解因为厂=lag?
&
cna护*acosffstntasin6\»
—I-acos^sin护’aoosGeos护〒0}t
re—I*^sin&
cl>
、护*一asintfrin,acos8\.
HP(costfcos+(cos4?
sinV+sin&
Z-a—0.法线方稈为
X—acos&
cos卩Y-ass#sir>
平
acos&
cq^护
「=n
—<
3COS9
sinp
—asin^sin<
p
3COS8
acos&
—rtsin&
cos甲
Z—asin0acos疗!
iin甲acosZ?
cas护
sm?
to3ipasin0占in护
1解
r=\a(u十Tf)^b{u-u),2uv|trM=\af6f2ut*
r„=\ay—bt2u1-
E=ra*=a2+£
2+4v3,F=r,•"
d*—62+4,
(7=几•「廿=a'
+F+4/・
J={a2+b!
+4v,l)dMi+2(a2▼b2十4me)ci网d力+
(a2+b1+4«
2)dJ・
2解
r=1uco^u、usin屯
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