三角函数在实际生活中的应用Word文档格式.docx

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“三轴学”，来自拉丁文trigonometryo现代三角学一词最初见於希瞄文。

最先使用trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯（BartholomeoPitiscus,1516—1613）,他在1595年出版一本普作《三角学:

解三角学的简明处理》，侨造了gIMJi词。

它是由9叫心三係学）及“冋％®

（測量）两字构成的，原意为三轴形的测量，或者说辭三用形。

当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附干天文学。

因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。

后来阿拉伯数学家专门的整理和研究三轴学，但是他111并没有斜立起一门独立的三闻学。

最后是德国数学家番基奥蒙坦细斯，真正把三角学作为数学的一个迪立学科进行阐释。

“正三轴函数色含于最早被称为三用学，“三角学”一词来自拉丁文Trigonometry,原恵是三角形。

与其他科学一样，三幷学也是解决实际间题中发展起来的。

近代三幷学是从做拉的《无穷分析引论》开始的。

欣也用小写的拉丁字母a、b、c表示三用形的三辿，进一步简化了三轴公贰。

欧拉还引用sinz、cosz、tanz等表示z轴的三角函数的简写符号，这是三角函数的观代形式。

由于上述数学家及19世纪许多数学家的勢力，形成了观代的三角函数仔号与手拿教学的完整理论。

2三角函数的基asiiji

在頁角三角形ABC中，a、b、c分别是4ZB.乙C的对边，乙C为直角。

则定义以下运算方武:

sinA=zA的对边长/斜jfl长,sinA记为乙A的正弦；

sinA=a/c

cosA=z.A的邻边长/料边长，cosA记为乙A的余弦；

cosA=b/c

tanA二乙A的对jj长/乙A的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/btanAffi为乙A的正幼；

当乙A为鋭角时sinA、cosA、tanA统林力"

锐角三角函STo

SinA=cosBsinB=cosA

在平面直角坐标系xOy中，U点0引出一条射裁OP,设陡转角为8,设OP=r,P点的坐标为（x,y）o

iaift三角形中，&

对边为y临边为x斜边为「，运算方法见表一

表1

基本函数

英文

表iU

正弦函数

Sine

sin0=y/r

用e的对ii比斜边

余弦因数

Cosine

cos6=x/r

角&

的邻边比斜ji

正切函数

Tangent

tan0=y/x

的对边比邻边

余切函数

Cotangent

cot0=x/y

的邻边比对边

正割函数

Secant

sec6=r/x

轴8的斜边比邻边

余割函数

Cosecant

esc6=r/y

轴8的斜边比对边

2.1下列是关于三角函数的诱导公式

1终边相同的角的同一三角函数的值相等。

山此可得到下列公式：

公式一：

sin（2k;

r+a）=sina,

cos（2k兀+a）=cosa,

km（2£

・/r+a）=tana.其中keZ・

2P（X,y）,直线OP的反向延长线OE交冏0干F点，则F点的坐麻为F（-x,

-y）由Kt可得到下列公式:

公式二:

sin（^+a）=-sino\cos（/r+a）=-cosa、tan（/r+a）=tana・

公式三:

sin（—a）=-sina,cos（—a）=cosa,tan（-a）=-Uma.

公式Eh

sin（/r-a）=sina，cos（/r一a）=-cosa、tan（^-a）=-tan6Z・

我们可以用下面的话来概括公式一~四：

a+2k7r（kez）y-a^±

af^J三角函数，等于a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。

公式五:

sin（—-a）=cosa,

2

cos（--a）=sina.

由于f+a=/r-（f-a）,由公武皿及公武刃可得:

22

公式兀：

sinC^-+or）=cosor

N

cos（+ar〉=—sinar.

公式五、公式兀可JUItifto下：

的正取（余弦）函数值，分别等于a的余眩（正眩）函数值，前面加上一2

tflJaf成鋭角的符号。

2.2两角和、差的正弦、余眩、正切公武

sin（cr+Q）=sinacosp+cosasin

sin（<

sr—Q）=sinacos/3—cosasinp\cos（<

sr+/?

）=cosacosf3—sinasinpcos（cr—/?

）=cosacos/3+sinasin/?

;

/°

、tanatanQ

tan（6Z+Q）=——,

1—tanatanp

°

、tanatan/3

tan（6z+/?

）=——

1—tanatanp

2.3二倍角的正弦、余弦、正幼公式

sin2c=2sinccos6Z,

cos2c=cos~6Z—sin-c

=1—2sin2c=2cos2a—1,

.o1—cos2c

sin~cc=,

21+cos2c

COS6Z=

r2tana

tun2c=，

1—tan-"

cc

3.三角函数与生活

实际生活中，三角因数可以用来模抓很多周期现象，如物卑中简谐按动、生活中的潮汐现象，栩可以建立三角函数的模璽利用三角函数的性J贯解决有关冋题；

很多晟值冋趣也可以转化为三角函数来解决，房地产、航海、测量、国肪中那能找到三角函数的影子。

因而三角函数解决实际问題应用板广，解决实际冋题有一定的优越地位。

3.1火箭飞升间題

一枚运我火筋从地面0处发射，当火筋到iiAfiN,从地面C处的宙ii站测得AC的

更离是6kmffll角是43°

.lsi,火筋到jjBj此时测得BC的距离是6.13km,W角）145.54o

（1）火怖到达B点时距离发射点有多远？

（2）火怖UA点到3点的平均速度是乡少？

K：

（1）在RtAOCB中,sin45.54=—

CB

OB=6.13xsin45.54°

4.375（km）

火筋到发射点约4.38km

0A

（2）在RtZXOCA中，sin43。

=——CA

（3）OA=6xsin43=4.09（km）

v=（OB-OA）^t=（4.38一4.09）一1=0.3（km/s）

S：

火到B虑的平均速度豹为0.3km/s

3.2电缆捕设间題

如图，一条河宽a干米，两岸各有一座城市A和B,A与B的直线距离是b干米，今需肺设一条电缆连已知地下电缆的修建费是CJJ元/干米，水下电缆的修建费是dJJ元/干米，假定河岸是平行的直筑（没有弯曲），问应如fl»

设方可使总施工费用达到最少？

分折：

设电缆为AD+DB^费用最少，因为

河宽AC为定值，为了表示AD和BD的长,

不斯设ZC4D=0.

ad-acsin0

COS0

解：

设ZCAD=^0<

^<

900）,

AD=asec0.CB=Jb'

BD=\/b2-a2-atan0

・・・总费用为

y=adsec0+c（\Jb2一/-atan&

）=

间题转化为求“="

"

j]1"

的最小值及相应的eCOS&

sin。

-6%_「

值,而it=—ac-—表示点P（0,%）与点Q（cos&

sin&

）斜率-ac倍

cos0/c

（0<

&

v90。

），有图可得Q在;

单位圆周上运动，当貞线PQ与圆版切于点Q时,

4'

u取到最小值。

然后通ilEffl函数的边角关系求出貞线PQ的斜率，再求出此时

的最小ffluKO可，可以根据实际间题带人求值。

3.3救生员营救冋題

如图，某边肪巡谡队在一个海滨浴场岸ill的a贞处发现海中的〃贞有人求救，便立即派三名救生员前去营救.1号救生员UA点直接跳人海中；

2号救生员沿岸边（岸ill看成是直线）向前胞到c点,再跳人海中；

3号救生员沿岸边向前腿300米到离3点最近的D点，再跳入海中.救生员在岸上胞的速度都是6

米/杪,在水中游泳的速度都是2米/杪.若如"

45。

生员同时从人直岀发，请说明堆先到这营救地点B.

（1）在△ABD中，ZA=45,ZD=90\AD=300.

AB=——=300>

/2

cos45

3D=AD・tan45=300

在HBCD中，•••Z.BCD=60,ZD=90,

BD300厂

・•・BC==十=200V3

sin60V3

T

■-C°

sin60_

迎竺=150血〜210

1号救生员到iiB点所用的时间为2（枚匚

300-100^3200*“250>

/3…

F=50+191./

2号救生员到达B点所用的时间为623

（汀

300+300=200

3号救生员到iJB点所用的时间为62（杪）

•.•191.7v200<

210,「J号救生员先到这营救地点3.

3.4足球射n间o

在圳练课上,教练间左前鋒，若你得球后，沿平行于ill线GC的直线EFJU

攻到前场（如图，设球门宽=“米，球门柱3到FE的距离BF=b米），那么

你推进到距底线CD多少米时,为射门的最佳位置？

（即射D角ZAPB1大时为射门的最隹位置）?

请你帮助左前鋒回答上逮间题。

分桥：

此題关建在于求解射n时最大射门角,m时就是最佳位置。

若直接在非特殊巾利用边来求ZAPS的最值，显得比较繁fit注克到ZAPB=ZAPF-4PF，而后两者都在心△中，故可陋用直角三角形的性质求解。

如图，设FP=x,ZAPB=a,乙BPF=g0为锐角儿贝iJZAPF=a+/?

fg（a+0）=£

±

^,/g0=2,

xx

tga=/g[（a+0）—0]=

fg（a+0）-仗0二a

\+tg（a+0）•tg/3x+3+b）•b

则y>

2Jx-——Wi=2yl（a+b）-b,当x=（J”）？

，即x=J（ci+b）・b时,y®

到vAX

最小值2yl（a+h）-b,从而可®

x=J（a+b）・b时，/ga蚁得最大值，K|1tga=^-j===^,a有最大值。

故当P点距底线CD为J（a+b）6米时,为射门的最佳位置。

依图像知,在白天的9-15时这个时间段可哄冲浪爱好者进行冲浪运动。

3.5食品包装冋題

某糖果厂为了扬宽其产晶的IB售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层色装进行设廿。

冋能否投廿出一个封冈的圓锥形状的外包装,其体枳最小和所用林料这到最省？

如果能,如何设itfif圆锥的底面半径和髙?

KtWffi用的外色装体枳是名少？

用料是多少？

要求孩同雉的全面枳和体枳，需要知道它的下底面半径AC、骨线PA及高PC,迪些变量之间的关系可以通过一个“角"

把它『|朕系起来。

如图,设乙0鮫e,»

）00=1，下底面半径AC=R=cote,SO.=^_

高h=Rtan2e,eG（0,-）oI=ITRI+ITR2=KR（—^—+R）=uR2（—+1）

4cos20cos2^

=ircot2e（一+1）=一；

一—一；

l-tJiretair&

・（1一tair0）

1+tan20

V=-irR2h=-KR2•Rtg20=-7rR3tg26=-irctg362tg6=：

-n

3333l—/g&

3

tg20（l-tg20）

•••当且仅当tg2e=1-tg2o,JPtg6=^W，能使s惟和V同时取到最小值,

此时R=V2,h=2,即当圆维的下底面半径和高分别为血、2时能同时满足条件,外色装用料是8k,ft枳是-^o

3.6营救区域规则冋題

血图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A,—机MJ160干米/小时的速HUA岀发，30分外后因故障而停在湖里，已知机81岀发后先按直线前进，以后Q改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。

如何去营敕，用图示表示营救的区域。

1、要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；

设机

2、趣中涉及到方向问SL所以不Mi用方向角8作为变量来求解。

解：

以A为原虑，iJA的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图:

SI的最初航向的方位角为0,设0P方向前进m到这点P,然后向东前进n到达自Q发生故障而则曲=30,令点Q的坐标为（x,y）,

tlIx=msinO+n兀

则QGe[0,-]o

V=mcos02

|A（2|2=x2+y2=m2+n2+ImnsinO<

m2+n2+2mn=（m+n）2=900•••机东拐，.•」2+），2<

900。

①

5vx+y=m（sin0+cose）+n=V2msin（0+—）+n^m+n=30,

4

.-.x+y^30②

满足不等式组①和②的点Q（x,y）所在的EM,按対称性知上图明影区域所示。

3.7住宅间題

在某小区内,有一決地，选快地有选样三种悄况：

（1）是半径为10米的半圆;

（2）是半径为10米,圆心角为60的甯形;

（3）是半径为10米，圆心角为120的扇形；

在这块地里种块矩形的草皮,具体见下图，应如何设廿，使得此面枳最大?

面枳

的最大值是名少。

分折1：

第一种悄猊，如图所示：

连络OC,

设ABOC"

则BC=10sin&

OB=Wcos&

AB=2OB=20cos3

S,（1R=AB・BC=200sin&

cos&

=100sin2&

•••sin20<

1/.S炉形<

100

即20=90,&

=45

这时BO=AO=10cos45=5竝BC=5^2

此时，点A、D分别位于点0的左右方5血处时SIR得最大值100o

分折2：

第二种侑况，连络OC,设ZBOC=8,则BC=10sin&

OA=BCcot60=Ilb/Esin0

S^、；

=AB・BC=（OB—OA）・BC

=（lOcos&

-^^sin0）.lOsin&

=100sin0cos0-sin20

“50^3“

^rnax

=50sin20（1-cos20）

sin（2&

+—）=10=—

当fl仅当6时，即6时,

分折3：

如图所示：

连ISOB,e一

\CB

设ZAOB=0则AB=lOsin6OA=10cos&

\.・・”\

'

N...Xli

S血形=OA・AB=100sin&

=50sin2&

°

AD

当且仅当sin2&

=1时,|g~4S+50

3.8最值间題

fin图，ABCD是一块边长为100/7/的正方形地皮，其中

AST是一半径为AT=90m的扇形小山，其余部分部是平地。

一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使拒形的一个顷点P在弘ST上，相邻两边CQ,CR落在正方形的边BC,CD上,求矩形停车场PQCR面枳的最大値和最小值。

设ZPAB=e,（0°

<

<

9<

90°

）,S长RP交ABTM,

易得PQ=MB=AB—AM=100—90cos6>

RP=RM—PM=100—90sm^,

U而SgQCR=（100—90COS&

X100—90sin8）=10000-9000（sin6+cos<

9）+8100sin^cos^令f=sin&

+cos&

（1<

r<

a/2）,

iSgg=10000—9000?

+8100•匚二=4050（Z-J），+950,故当f=罟

299

N,S矩仰心有最小值950〃/；

当I=A/2m,s矩形pg有最大值（14050-9000逅府

涉员到角与边之间的相互关系，可以用边为变量翟立函数关系，求辭过程一般可以利用三角函数的相关知识，如正取、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式.函数单调性等。

4总结

三角因数的发展已经茜于完善，虽然一些不常用的函数接近舍弃，但貝余的三角san然在实际生活中发挥着車要的作用。

国師、鉄路建设、尿地产建设、竞技比赛以及安全问题上那可以广泛应用,方便了我们的日常生活。

参考文献

⑴史彩玉.三角函数在实际中的应用【J】・高中生,2005,04:

37.

⑵慕译啊.三甬函数在生活中的应用尝试[JL数学炎好者（高一人教大^）,2008^0.3802:

49-50.

⑶许伟.浅谈三角函数在三角形解题中的应用【J].湖州师范学院学ffi,2003,S1：

32-35.

⑷刘兴文，则日勤.三角因数在鉄路工相中的应用技术[J].科技创新导ffi,2008,No.9321:

33-34.

[5].祝全力•三角函数的最值问體探累•中国科教创新导刊[J],2009,（3）:

72-77.

[6]•张顾燕.数学教育与数学文飮数学通»

2005,2