优化设计课后题和大作业.doc
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机械优化设计作业
第一、机械优化设计课后练习
第一章机械优化的基本概念与数学模型
1-1.优化设计问题的数学模型是由哪几部分组成的?
其一般表达形式是什么?
答:
由三部分组成:
设计变量、约束条件和目标函数。
优化设计一般表达形式是:
Find————设计变量
min————目标函数
s.t.————约束条件
————约束条件
式中:
1-2.建立优化设计问题数学模型的一般步骤及其需要注意的问题是什么?
答:
建立优化设计问题数学模型的一般步骤为:
(1)选取设计变量
(2)建立目标函数
(3)确定约束条件
其注意事项:
(1)设计变量
在设计过程中选择的设计变量必须都是独立变量,有明显依赖关系;设计变量的选取与优化层次及优化问题的提法有关;设计变量的数目要适当;设计变量有显著且能直接调整控制参数。
(2)约束条件
周密分析、合理确定约束条件,从客观实际出发,且能表为设计变量的约束函数的限制确定为约束;各约束条件应当是独立而不矛盾;要特别注意那些对优化效果确有影响,确有限制作用的约束,应注意它们是否可以适当放松以达更好优化效果。
(3)目标函数
目标函数可能是多种,具体选哪个取决于对设计的具体要求和客观条件;根据工程实际选定最重要的为优化目标;考虑当前设计方案的实际情况;同时应考虑该指标是否容易给出数学表达式,常常以多目标优化使用更符合实际。
1-3.优化设计问题的求解方法有哪几类?
迭代法的基本思想及特点是什么?
答:
①优化设计问题的求解方法分为两大类:
简单优化问题的求解和数值迭代法。
(1)简单优化问题的求解方法:
a、解析法:
适用于形式简单、容易求导,可直接写出数学模型显式表达式的、不带或仅带简单等式约束的优化问题,可通过高等数学的极值条件解方程求解。
b、图解法:
N≤2维情况,通过作图求解,简单直观。
(2)数值迭代法——现代优化设计的基本方法
a、数学规划法:
根据函数及其导数的局部性态决定迭代方向和步长。
迭代通式:
b、准则法:
多用于结构优化-复杂结构优化(隐函数)。
迭代通式为(未必收敛)
②迭代法的基本思想:
根据目标函数的变化规律,以适当的步长沿着能使目标函数下降的方向,“步步逼近”,“步步下降”或“步步登高”,逐步向目标函数值的最优点进行探索,逐步逼近或直至达到目标函数的最优点。
③迭代法的特点:
具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算;最后得出的是逼近精确解的近似解。
1-4.欲造容积为V的长方形无盖水箱,如何选定其长、宽、高,才能使用料最少,写出数学模型。
解:
选取长(l),宽(d),高(h)为设计变量:
设计目标:
用料最省
约束条件
数学模型为:
Find
min
s.t.
第二章优化设计的最优性条件
2-1.梯度与海森阵的表达与意义是什么?
梯度与方向导有何关系?
答:
(1)梯度的表达:
为一个N维列阵
意义:
它是目标函数ƒ(X)对各个设计变量的一阶偏导数所组成的列向量,方向就是函数变化率最大的方向,用来研究多元函数沿各坐标方向的变化率。
(2)海森阵的表达:
为二阶导数
海森阵是多元函数关于诸设计变量的二阶导数矩阵,是对称方阵。
(3)梯度与方向导数的关系:
多元函数在某方向上的方向导数是梯度在该方向上的投影。
2-2、求几种特殊函数的梯度与海森阵:
线性函数:
;二次型函数:
;一般二次函数:
解:
(1)、线性函数:
设,则
所以
故:
因为,所以海森阵H(X)=0
(2)、二次型函数:
设:
为对称阵
则海森阵为:
(3)一般二次函数:
由上题结果,设A为对称阵,
则梯度为:
,
海森阵为:
2-3、多元函数的无约束极值、等式约束极值及不等式约束极值的必要条件的具体形式是什么?
充分条件是什么?
答:
(一)多元函数的无约束极值的必要条件是:
设多元函数在处有一阶及二阶连续偏导数
(1)必要条件:
=0
(2)充分条件:
=0
H(X*)为正定或者是负定,即二阶导海森阵正定或者负定,即对任何非零N维向量Y有,正定时有极小值,负定时有极大值。
(二)多元函数的等式约束极值必要条件为Largrange条件:
在极值点X*,满足1),2),3)三个条件:
1).
2).
3).正则条件;要求秩为J。
充分条件:
在Largrange条件基础上,满足目标函数的高阶条件与凸规划等理论判别。
(三)多元函数的不等式约束极值必要条件:
1).
2).
3).
4).
另外还要满足正则条件,即在X*点诸临界约束的梯度线形无关,相互独立。
充分条件:
当f(X)为凸函数、可行域D为凸集的凸规划问题时,必要条件也就是他的充分条件,因此充分条件为:
1).f(X)为凸函数、可行域D为凸集
2).
3).
4).
5).
另外还要满足正则条件,即在X*点诸临界约束的梯度线形无关,相互独立。
2-4、求的极值点及其性质,图解验证。
解:
由得:
得三个解及相应的函数值,如下:
,,
求导得海森阵:
H=
将代入上式得:
是正定阵,因此是局部极小值点
将代入上式得:
也是正定阵,因此也是局部极小值点。
将代入上式得:
既非正定阵,也非负定阵,因此是鞍点。
又由于,所以是最小点。
在MATLAB中画出如下图形:
从图上看出是鞍点,和是极小点,然后他们的函数值,可以看出是最小点。
与计算结果相符合。
2-5、Find
min
s.t.
检查(2,1,2),(4/3,2/3,3),(3/2,3/2,2)三点的Kuhn-Tucker条件。
解:
不等式约束极值Kuhn-Tucker条件为:
(1)、
(2)、
(3)、
(4)、
另外还要满足正则条件,即在X*点诸临界约束的梯度线形无关,相互独立。
先判定是否为凸函数
ƒ(x)=x12+x22+x32
∂ƒ/∂x1=2x1,∂2ƒ/∂x12=2,∂2ƒ/∂x1∂x2=0,∂2ƒ/∂x1∂x3=0
∂ƒ/∂x2=2x2,∂2ƒ/∂x22=2,∂2ƒ/∂x2∂x1=0,∂2ƒ/∂x2∂x3=0
∂ƒ/∂x3=2x3,∂2ƒ/∂x32=2,∂2ƒ/∂x3∂x1=0,∂2ƒ/∂x3∂x2=0
经计算H(x)的各阶顺序主子式大于等于0,即:
H(x)半正定。
∴ƒ(x)为凸函数。
同理可知:
g(x)也为凸函数。
再求出f(X)和gj(X)在X*处的梯度:
①将x1*=(2,1,2)代入
g1(X*)=0,g2(X*)=0,g3(X*)=-2,g4(X*)=-1,g5(X*)=0
∴g1(X*)、g2(X*)和g5(X*)为起作用的约束。
则▽g1(X*)=[-1,-1,-1]T,▽g1(X*)=[0,-2,-1]T▽g5(X*)=[0,0,-1]T,
▽ƒ(X*)=[4,2,4]T
代入(j=1、2、5)即:
解得:
因为,不满足,所以对于点(2,1,2)不存在满足Kuhn-Tucker条件的。
②将x2*=(4/3,2/3,3)代入
g1(X*)=0,g2(X*)=0,g3(X*)=-4/3,g4(X*)=-2/3,g5(X*)=-1
∴g1(X*),g2(X*)为起作用的约束。
▽g1(X*)=[-1,-1,-1]T,▽g2(X*)=[0,-3,-2/3]T▽ƒ(X*)=[8/3,4/3,6]T代入即:
无解,所以对于点(4/3,2/3,3)不存在满足Kuhn-Tucker条件的。
③将x2*(3/2,3/2,2)代入
g1(X*)=0,g2(X*)=-1,g3(X*)=-3/2,g4(X*)=-3/2,g5(X*)=0
∴g1(X*)与g5(X*)为起作用的约束。
▽g1(X*)=[-1,-1,-1]T,▽g5(X*)=[0,0,-1]T,▽ƒ(X*)=[3,3,4]T
代入(j=1、5)即:
解得:
λ1=3λ5=1
∴λ1=3>0λ5=1>0
∴当λ=[30001]T时点(3/2,3/2,2)满足K—T条件。
第三章无约束规划的解法
3-1、用黄金分割法求目标函数f=x(x+2)的最优解,初始区间为[-3,5],误差ε不大于0.05。
解:
(1)a=-3,b=5
,得11次迭代能得到理想解。
在[-3,5]内取点
则
所以令,即新的区间为[-3,1.944]
(2)
则
所以令,即新的区间为[-3,0.056]
(3)
则
所以令,即新的区间为[-1.833,0.056]
(4)、
则
所以令,即新的区间为[-1.833,-0.6656]
(5)、
则
所以令,即新的区间为[-1.3871,-0.6656]
(6)、
则
所以令,即新的区间为[-1.1114,-0.6656]
(7)、
则
所以令,即新的区间为[-1.1114,-0.8359]
(8)、
则
所以令,即新的区间为[-1.1114,-0.9412]
(9)、
则
所以令,即新的区间为[-1.0464,-0.9412]
(10)、
则
所以令,即新的区间为[-1.0062,-0.9814]
(11)、
则
所以令,即新的区间为[-1.0062,-0.9909]
区间长度为:
|-0.9909-(-1.0062)|=0.0153<ε=0.05
所以,最优解:
x*=(-0.9909-1.0062)/2=-0.9986
f(x*)=-0.9986*(2-0.9986)=1
第四章线性规划与二次规划
4-1.用单纯形法求解以下线性规划:
Find
Min
S.t.
解:
引入非负松弛变量,化不等式约束为等式约束:
构造单纯形表:
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
di
(1)
0
2/3
0
1
0
0
0
0
35
(2)
0
8/15
2/5
0
1
0
0
0
70
(3)
0
2/15
3/5
0
0
1
0
0
70
(4)
3/4
7/12
1/4
0
0
0
1
0
90
(5)
1/4
5/12
3/4
0
0
0
0
1
90
(6)
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