质数合数分解质因数Word文档格式.docx
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5,把60这个合数用2×
5或22×
5的形式来表示,就是把60分解质因数.
例1两个质数的积是46,求这两个质数的和.
分析:
两个质数的积是46,46是偶数,只能是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数只有2,因此很容易得出另外的质数,从而问题得以解决.
解:
因为46是偶数,因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数只有2,另一质数46÷
2=23,所以2与23的和为25.
例2用2,3,4,5中的三个数能组成哪些三位质数?
首先考虑个位数字是几,如果个位数字是2或4,这样的三位数必能被2整除,因此这样的三位数不会是质数,如果个位数字是5,这样的三位数必能被5整除,这样的三位数也不会是质数,所以个位数字只能是3,再由剩下的三个数字组成百位、十位,得出个位数字是3的三位数为:
243,423,253,523,453,543,最后根据质数的判断方法,得到所求的质数.
如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时,这个数必能被2或5整除,因此个位数字只能是3,而个位数字是3的三位数有243,423,253,523,453,543,其中243,423,453,543均能被3整除,253能被11整除,所以只有523是质数.
质数的判断方法是,当一个数比较小时,用定义直接判断,但这个数比较大时,通常采用查质数表,最好记住100以内的所有质数.在没有质数表的情况下,可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除.如果能被其中某一个质数整除,就说明这个数是合数,如果除到商已比试除的质数小,还不能被这些质数中的任何一个整除,那么这个数一定是质数.
例如,判断100以内的数是否是质数,只需用2、3、5、7这四个质数去试除,如果没有一个能整除它,这个数一定是质数,否则不是质数.判断97是不是质数,因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,因此97是质数.为什么不必去试除比97小的所有的质数呢?
因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,它就一定不能被4,6,8,9,10等数(分别为2,3,5的倍数)整除,又因为,如果用11或大于11的质数去试除,97÷
11=8…9,97÷
13=7…6,其商为8、7,比除数还小,都已试除过,因此判断100以内的数是否是质数只需用2,3,5,7去试除.
判断200以内的数是否是质数,只需用2,3,5,7,11,13,17这七个质数去试除;
判断300以内的质数,只需用2到17这七个质数去试除;
判断400以内的质数,只需用20以内的八个质数与去试除;
判断500以内的质数,只需2到23的质数去试除.其余可用类似的方法推出,你可以思考一下1000以内的质数如何判断?
例3将40,44,45,63,65,78,99,105这八个数平分成两组,使每组四个数的乘积相等.
如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的.要使两组数的乘积相等,只有两组数中的质因数相同,而且质因数的个数也相同,就可以了,所以从这八个数分解质因数入手,根据各质因数的个数,进行适当的搭配,便能找出问题的答案.
将八个数分解成质因数:
40=23×
544=22×
11
45=32×
563=32×
7
65=5×
1378=2×
13
99=32×
11105=3×
这八个数分解质因数后一共有6个2,8个3,4个5,2个7,2个11,2个13.因此,这八个数被分成两组后,每一组应含有3个2,4个3,2个5,1个7,1个11,1个13,这样可以得到两组分别为:
40,63,65,99和44,45,78,105.
例4360有多少个约数?
如果先求360的所有约数,再数出它们的个数,显然比较麻烦.为此,先将360分解质因数:
360=23×
32×
5,360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成,我们将360的所有约数列成下面的数阵:
1 2 22 23
3 2×
3 22×
3 23×
3
32 2×
32 22×
32 23×
32
5 2×
5 22×
5 23×
5
3×
5 2×
5 22×
5 23×
32×
5 2×
5 22×
5 23×
这个数阵共6行,每行4个约数,所以360共有4×
6=24个,而24=(3+1)×
(2+1)×
(1+1),这里3,2,1恰好是360分解质数式子中2,3,5的个数,从而得到下面关于约数个数的一个重要结论:
一个大于1的整数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积.用数字式子表示为:
如果A分解质因数为:
则A的全体约数的个数为:
(r1+1)×
(r2+1)×
…×
(rn+1)
例5有30个约数的最小自然数是多少?
设所求的数为A,则A有30个约数,因为30=30×
1=2×
15=6×
5=10×
3=2×
5,要使A最小,一般使A的质因数的幂指数尽可能小,质因数的个数尽可能少,所以A必为下列形式:
其中a1,a2,a3为互不相同的质数.
要使A最小,a1,a2,a3尽可能小,显然a3=2,a2=3,a1=5,这样
A=24×
5=720
因为30=30×
5,而且题中要求
a2、a3为互不相等的质数,为了使A最小,a3=2,a2=3,a1=5,所以A=24×
5=720.
例6九个连续自然数中至多有四个质数,例如1至9中有2、3、5、7四个质数.请在200以内再找出五组这样的质数.
9个连续自然数中至多有5个奇数.在两位数中,个位是5的数必能被5整除,而且三个连续的奇数必有一个能被3整除,所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时,其余的四个奇数才有可能是质数.当找到一组这样的两位以上的质数时,另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数.按照上述办法找出后,再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果.
首先容易得出3,5,7,11;
5,7,11,13;
在两位数中,按照上面的方法可得出以下各组数:
11,13,15,17,19;
41,43,45,47,49;
71,73,75,77,79;
101,103,105,107,109;
131,133,135,137,139;
161,163,165,167,169;
191,193,195,197,199;
根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11,13,17,19;
101,103,107,109;
191,193,197,199这三组符合条件.
200以内另外五组这样的质数为:
3,5,7,11;
11,13,17,19;
191,193,197,199.
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- 质数 合数 分解 质因数
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