西南交通大学研究 数值分析上机实习报告Word下载.docx

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8.2083

53.866

177.62

289.37

189.48

-0.2500

-3.7500

-22.254

-64.297

-94.672

-54.204

6.6667

76.792

351.44

798.62

896.04

397.66

-37.833

-336.08

-1177.9

-2027.1

-1707.0

-558.15

125.50

792.17

1935.5

2261.1

1239.2

248.96

-284.00

-1071.1

-1458.3

-829.80

-166.75

-6.1346

427.33

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25.083

-131.88

0.0694

10.000

-427.33

-25.083

-0.0694

284.00

1458.3

166.74

-125.50

-1935.5

-1239.2

37.833

1177.9

1707.0

-6.6667

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-896.04

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22.254

-64.298

94.672

-54.204

-0.5000

-53.867

177.63

-289.37

（1）Ln（x）的次数n越高，逼近f（x）的程度越好？

答：

不是，比如

时

当

时只在

内收敛，在这区间外是发散的。

（2）高次插值收敛性如何？

高阶倒数存在时，高次插值是收敛的，但不一定

（3）如何选择等距插值多项式次数？

等距插值采用牛顿插值公式，可以选用牛顿前插公式或牛顿后插公式

（4）若要精度增高，你有什么想法？

比如一定用插值吗？

提高精度可以用分段插值的方法，另外不一定非得用插值，也可以用逼近的方法。

（5）逼近某个函数不用插值方式，有何变通之举？

逼近函数不用插值方式，可以用比原函数计算简单且函数值很接近的新函数来代替。

（6）函数之间的误差如何度量，逼近的标准又是什么？

函数之间的误差用范数来衡量。

（7）如何比较好的使用插值多项式呢？

xk=

Columns1through7

-5.0000-4.9000-4.8000-4.7000-4.6000-4.5000-4.4000

Columns8through14

-4.3000-4.2000-4.1000-4.0000-3.9000-3.8000-3.7000

Columns15through21

-3.6000-3.5000-3.4000-3.3000-3.2000-3.1000-3.0000

Columns22through28

-2.9000-2.8000-2.7000-2.6000-2.5000-2.4000-2.3000

Columns29through35

-2.2000-2.1000-2.0000-1.9000-1.8000-1.7000-1.6000

Columns36through42

-1.5000-1.4000-1.3000-1.2000-1.1000-1.0000-0.9000

Columns43through49

-0.8000-0.7000-0.6000-0.5000-0.4000-0.3000-0.2000

Columns50through56

-0.100000.10000.20000.30000.40000.5000

Columns57through63

0.60000.70000.80000.90001.00001.10001.2000

Columns64through70

1.30001.40001.50001.60001.70001.80001.9000

Columns71through77

2.00002.10002.20002.30002.40002.50002.6000

Columns78through84

2.70002.80002.90003.00003.10003.20003.3000

Columns85through91

3.40003.50003.60003.70003.80003.90004.0000

Columns92through98

4.10004.20004.30004.40004.50004.60004.7000

Columns99through101

4.80004.90005.0000

y（xk）=yk=

25.000024.010023.040022.090021.160020.250019.3600

18.490017.640016.810016.000015.210014.440013.6900

12.960012.250011.560010.889910.23979.60938.9991

8.40927.84057.29416.77056.26935.78665.3144

4.84034.35223.84633.34022.88322.55542.4475

2.61543.02193.49203.71493.32322.0435-0.1277

-2.8066-5.2470-6.5469-5.9893-3.38620.73655.2312

8.698510.00008.69855.23120.7365-3.3862-5.9893

-6.5469-5.2470-2.8066-0.12772.04353.32323.7149

3.49203.02192.61542.44752.55542.88323.3402

3.84634.35224.84035.31445.78666.26936.7705

7.29417.84058.40928.99919.609310.239710.8899

11.560012.250012.960013.690014.440015.210016.0000

16.810017.640018.490019.360020.250021.160022.0900

23.040024.010025.0000

2.松弛因子对SOR法收敛速度的影响。

用SOR法求解方程组Ax=b,其中

要求程序中不存系数矩阵A,分别对不同的阶数取w=1.1,1.2,...,1.9进行迭代，记录近似解x（k）达到||x（k）-x（k-1）||<

10-6时所用的迭代次数k，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当w0或w2会有什么影响？

2.1分析和检验

题意分析：

设置不同的取值，通过求线性组Ax=b,的数值解来考察松弛因子对SOR法收敛速度的影响。

此方程是三对角矩阵，SOR方法迭代时对于任一分量，可以不必用所有分量都依次迭代，只需用临近的若干个即可，从而减少计算量。

现在先以8阶方程为例，来测试问题：

1、在同样的初始迭代解下，调用一次SOR算法，对不同松弛因子SOR算法的迭代次数如下表：

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

迭代次数

11

13

16

18

22

31

43

67

141

调用1000次时，平均每次迭代次数如下

平均迭代次数

10.6

12.8

15.6

18.5

22.9

31.4

42.5

67.7

140.9

由上表可以看出=1.1时SOR方法收敛速度最快，越大（从1.1到1.9的范围内）收敛越慢。

2、不同阶数的方程平均迭代次数如下：

阶数

4

7.737

10.414

13.38

17.441

21.993

29.641

41.533

65.329

137.615

8

10.665

12.877

15.688

18.559

22.914

31.478

42.539

67.707

140.975

12

11.93

14.57

17.746

21.548

25.362

31.393

45.513

69.293

142.64

12.254

15.072

18.636

23.088

28.393

33.951

44.737

70.377

143.987

由此可见，对于各阶的方程也是=1.1时SOR方法收敛速度最快；

阶数较大的，收敛速度较慢。

3、w0或w2时SOR方法收敛情况

w0或w2时SOR方法迭代不收敛，迭代500步后的误差：

-1.1

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

Error　

2.10E+242

1.28E+226

1.25E+209

1.59E+191

2.09E+172

2.16E+152

1.25E+131

2.65E+108

1.23E+84

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

　Error

2.07E+21

2.07E+40

6.90E+57

1.08E+74

1.61E+89

1.99E+103

8.32E+116

1.83E+129

1.63E+141

3用Runge-Kutta4阶算法对初值问题y/=-20*y，y（0）=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的作用，推荐两种步长h=0.1,0.2。

注：

此方程的精确解为：

y=e-20x

3.2实验分析

标准4阶Runge-Kutta法计算公式如下：

针对此题，Runge-Kutta4阶算法公式可表示为：

3.3实验结果与结论

h=0.2

h=0.1

绘制成表格如下：

表3-1步长h=0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

数值解

0.3333333

0.1111111

0.0370370

0.0123456

0.0041152

0.0013717

精确

解

0.1353352

0.0183156

0.0024787

0.0003354

0.0000454

0.0000061

差

值

-0.1979980

-0.0927954

-0.0345582

-0.0120102

-0.0040698

-0.0013655

表3-2步长h=0.2

5.000000000

25.000000000

125.000000000

精确解

0.018315639

0.000335463

0.000006144

差值

-4.981684361

-24.999664537

-124.999993856

由表3-1可以看出，h=0.1时，数值解与精确解的差值较大，即h=0.1时，截断误差较大。

由表3-2可以看出，h=0.2时，数值解与精确解的差值太大，即h=0.2时，数值解是发散的。

由此可以看出，h=0.1和0.2时，4阶Runge-Kutta法都是不稳定的。

数值算法的绝对稳定区间是十分重要的，一般情况下，与步长h及f（x，y）有关。

4阶Runge-kutta法的绝对稳定区间为（-2.78,0）。