全国近年高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案整理Word格式.docx
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A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
∅⊆A∅B(B≠∅)
考点3 集合的基本运算
[必会结论]
1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.A∩(∁UA)=∅;
A∪(∁UA)=U;
∁U(∁UA)=A。
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)集合{x|y=
}与集合{y|y=
}是同一个集合.( )
(2)已知集合A={x|mx=1},B={1,2},且A⊆B,则实数m=1或m=
。
( )
(3)M={x|x≤1},N={x|x>
ρ},要使M∩N=∅,则ρ所满足的条件是ρ≥1.( )
(4)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中有4个元素.( )
(5)若5∈{1,m+2,m2+4},则m的取值集合为{1,-1,3}.( )
答案
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
(5)×
2.[2017·
北京高考]若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=( )
A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}
答案 A
解析 ∵A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},
∴A∩B={x|-2<x<-1}.故选A。
3.[课本改编]已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|0〈x≤4},则A∪B=( )
A.[-1,4]B.(0,3]
C.(-1,0]∪(1,4]D.[-1,0]∪(1,4]
解析 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},故A∪B=[-1,4].选A。
4.[2017·
全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x〈1},B={x|3x〈1},则( )
A.A∩B={x|x<
0}B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>
1}D.A∩B=∅
解析 ∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.
又A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.
故选A。
5.[2018·
重庆模拟]已知集合A={x∈N|πx<
16},B={x|x2-5x+4〈0},则A∩(∁RB)的真子集的个数为( )
A.1B.3
C.4D.7
答案 B
解析 因为A={x∈N|πx〈16}={0,1,2},B={x|x2-5x+4<
0}={x|1<
x〈4},故∁RB={x|x≤1或x≥4},故A∩(∁RB)={0,1},故A∩(∁RB)的真子集的个数为3.故选B.
板块二 典例探究·
考向突破
考向
集合的基本概念
例1
(1)[2017·
郑州模拟]已知集合A={x|y=
x∈Z},B={p-q|p∈A,q∈A},则集合B中元素的个数为( )
C.5D.7
答案 C
解析 由题意知A={-1,0,1},当p=-1,q=-1,0,1时,p-q=0,-1,-2;
当p=0,q=-1,0,1时,p-q=1,0,-1;
当p=1,q=-1,0,1时,p-q=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知,集合B中的元素为-2,-1,0,1,2,共计5个,选C。
(2)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若A∩B={-3},则a=________。
答案 -1
解析 由A∩B={-3}知,-3∈B.
又a2+1≥1,故只有a-3,a-2可能等于-3.
①当a-3=-3时,a=0,此时A={0,1,-3},B={-3,-2,1},A∩B={1,-3}.故a=0舍去.
②当a-2=-3时,a=-1,
此时A={1,0,-3},B={-4,-3,2},
满足A∩B={-3},故a=-1.
触类旁通
解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.本例
(1)集合B中的代表元素为实数p-q.
(2)要深刻理解元素的互异性,在解决集合中含有字母的问题时,一定要返回代入验证,防止与集合中元素的互异性相矛盾.
【变式训练1】
(1)[2018·
昆明模拟]若集合A={x|x2-9x〈0,x∈N*},B=
∈N*,y∈N*,则A∩B中元素的个数为________.
答案 3
解析 解不等式x2-9x〈0可得0<
x<
9,所以A={x|0<
9,x∈N*}={1,2,3,4,5,6,7,8},又
∈N*,y∈N*,所以y可以为1,2,4,所以B={1,2,4},所以A∩B=B,A∩B中元素的个数为3.
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
答案 -
解析 因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,解得m=-
或m=1(舍去),
此时当m=-
时,m+2=
≠3符合题意.
所以m=-
.
集合间的基本关系
例 2 已知集合A={x|x〈-3或x>
7},B={x|x〈2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,-1]
解析 由题意知2m-1≤-3,m≤-1,∴m的取值范围是(-∞,-1].
本例中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余不变,该如何求解?
解 当B=∅时,有m+1〉2m-1,则m<
2.
当B≠∅时,
或
解得m>
6。
综上可知m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).
本例中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},又该如何求解?
解 当B=∅时,满足B⊆A,此时有m+1>
2m-1,即m<
2;
当B≠∅时,要使B⊆A,则有
解得2≤m≤4.
综上可知m的取值范围是(-∞,4].
根据两集合的关系求参数的方法
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
【变式训练2】 设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.
(1)若a=
试判定集合A与B的关系;
(2)若BA,求实数a组成的集合C。
解
(1)由x2-8x+15=0,
得x=3或x=5,∴A={3,5}.
若a=
,由ax-1=0,得
x-1=0,即x=5.
∴B={5}.∴BA.
(2)∵A={3,5},又BA,
故若B=∅,则方程ax-1=0无解,有a=0;
若B≠∅,则a≠0,由ax-1=0,得x=
∴
=3或
=5,即a=
或a=
故C=
集合的基本运算
命题角度1 集合的交集及运算
例 3 [2017·
山东高考]设集合M={x||x-1|〈1},N={x|x〈2},则M∩N=( )
A.(-1,1)B.(-1,2)
C.(0,2)D.(1,2)
解析 ∵M={x|0〈x〈2},N={x|x<
2},
∴M∩N={x|0〈x〈2}∩{x|x〈2}={x|0〈x〈2}.
故选C。
命题角度2 集合的并集及运算
例 4 [2018·
武汉模拟]设全集U=R,集合A={x|2x-x2〉0},B={y|y=ex+1},则A∪B等于( )
A.{x|x〈2}B.{x|1〈x〈2}
C.{x|x〉1}D.{x|x>
0}
答案 D
解析 由2x-x2〉0得0〈x<
2,故A={x|0〈x<
2},由y=ex+1得y>
1,故B={y|y〉1},所以A∪B={x|x>
0}.故选D。
命题角度3 集合的补集及运算
例 5 [2016·
浙江高考]已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( )
A.[2,3]
B.(-2,3]
C.[1,2)
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
解析 ∵Q=(-∞,-2]∪[2,+∞),∴∁RQ=(-2,2),∴P∪(∁RQ)=(-2,3].故选B.
命题角度4 抽象集合的运算
例 6 [2018·
唐山统一测试]若全集U=R,集合A=
≤0,B={x|2x〈1},则下图中阴影部分表示的集合是( )
A.{x|2<
x〈3}B.{x|-1≤x〈0}
C.{x|0≤x〈6}D.{x|1≤x≤6}
解析 A={x|-1≤x〈6},B={x|x〈0},A∩(∁UB)={x|0≤x<
6}.选C项.
集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决.
(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
核心规律
解决集合问题,要正确理解有关集合的含义,认清集合元素的属性;
再依据元素的不同属性,采用不同的方法对集合进行化简求解,一般的规律为:
(1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴来解;
(2)若给定的集合是点集,用数形结合法求解;
(3)若给定的集合是抽象集合,用Venn图求解.
满分策略
1。
元素的属性:
描述法表示集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)是正确求解集合问题的先决条件.
2。
元素的互异性:
在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
3.空集的特殊性:
在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,要先考虑∅是否成立,以防漏解。
板块三 启智培优·
破译高考
创新交汇系列1——集合中的创新性问题
[2018·
吉林模拟]设全集U={1,2,3,4,5,6},且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如:
{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000。
(1)若M={2,3,6},则∁UM表示的6位字符串为________;
(2)已知A={1,3},B⊆U,若集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是________.
解题视点 考查新定义问题,关键是正确理解题目中的新定义,利用集合间的关系及运算解决问题.
解析
(1)由已知得,∁UM={1,4,5},
则∁UM表示的6位字符串为100110。
(2)由题意可知A∪B={1,3,6},
而A={1,3},B⊆U,
则B可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B的个数是4.
答案
(1)100110
(2)4
答题启示 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
1紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;
2用好集合的性质。
解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
跟踪训练
设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“孤立元”,给定A={1,2,3,4,5},则A的所有子集中,只有一个“孤立元”的集合共有( )
A.10个B.11个
C.12个D.13个
解析 “孤立元"
是1的集合:
{1},{1,3,4},{1,4,5},{1,3,4,5}.
“孤立元”是2的集合:
{2},{2,4,5}.
“孤立元”是3的集合:
{3}.
“孤立元”是4的集合:
{4},{1,2,4}.
“孤立元”是5的集合:
{5},{1,2,5},{2,3,5},{1,2,3,5}.共有13个.故选D。
板块四 模拟演练·
提能增分
[A级 基础达标]
1.[2017·
全国卷Ⅱ]设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
A.{1,-3}B.{1,0}
C.{1,3}D.{1,5}
解析 ∵A∩B={1},∴1∈B。
∴1-4+m=0,即m=3。
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.
2.若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则( )
A.M=NB.M⊆N
C.N⊆MD.M∩N=∅
解析 M={x||x|≤1}=[-1,1],N={y|y=x2,|x|≤1}=[0,1],所以N⊆M.故选C.
3.[2017·
山东高考]设函数y=
的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( )
A.(1,2)B.(1,2]
C.(-2,1)D.[-2,1)
解析 ∵4-x2≥0,∴-2≤x≤2,∴A=[-2,2].
∵1-x>0,∴x<1,∴B=(-∞,1),∴A∩B=[-2,1).
故选D.
4.已知集合A={x|x2≥4},B={m}.若A∪B=A,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-2)B.[2,+∞)
C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析 因为A∪B=A,所以B⊆A,即m∈A,得m2≥4,解得m≥2或m≤-2。
故选D。
5.[2017·
全国卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )
A.3B.2
C.1D.0
解析 集合A表示以原点O为圆心,半径为1的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.
由图形可知,直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选B.
6.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<
5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析 集合B={1,2,3,4},有4个元素,集合A={1,2},则集合C的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题,即22=4.
7。
陕西模拟]设全集U=R,集合A=
≥0},B={x∈Z|x2≤9},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{1,2}B.{0,1,2}
C.{x|0≤x〈3}D.{x|0≤x≤3}
解析 题图中阴影部分表示的是A∩B,因为A=
≤0}=
}={x∈Z|0≤x〈3}={0,1,2},B={x∈Z|-3≤x≤3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以A∩B={0,1,2}.故选B。
8.设集合A={x|-1≤x<
2},B={x|x<
a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是________.
答案 (-1,+∞)
解析 因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a〉-1.
9.[2018·
郑州模拟]已知集合A={x∈R||x+2|<
3},集合B=
,且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________。
答案 -1 1
解析 A={x∈R||x+2|〈3}={x∈R|-5〈x<
1},
由A∩B=(-1,n),可知m<
1,
则B={x|m〈x<
2},画出数轴,可得m=-1,n=1.
10.设m,n∈R,集合{1,m,m+n}=
,则m-n=________.
答案 -2
解析 ∵{1,m,m+n}=
且m≠0,
∴m+n=0,即m=-n,于是
=-1.
∴由两集合相等,得m=-1,n=1,∴m-n=-2.
[B级 知能提升]
1.已知集合A=
y=
x,x∈R},B={-2,-1,1,2},则下列结论正确的是( )
A.A∩B={-2,-1}B.(∁RA)∪B=(-∞,0)
C.A∪B=(0,+∞)D.(∁RA)∩B={-2,-1}
解析 因为A=(0,+∞),所以A∩B={1,2},(∁RA)∪B={y|y≤0或y=1,2},A∪B={y|y〉0或y=-1,-2},(∁RA)∩B={-1,-2}.所以D正确.
2.[2018·
湖南模拟]设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )
A.(-∞,2)B.(-∞,2]
C.(2,+∞)D.[2,+∞)
解析 集合A讨论后利用数轴可知
解得1≤a≤2或a≤1,即a≤2.故选B.
3.已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1〈a2〈…<
an,n≥2)具有性质P:
对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与
两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”,则( )
A.{1,3,4}为“权集”B.{1,2,3,6}为“权集”
C.“权集”中元素可以有0D.“权集"
中一定有元素1
解析 由于3×
4与
均不属于数集{1,3,4},故A不正确;
由于1×
2,1×
3,1×
6,2×
3,
,
都属于数集{1,2,3,6},故B正确;
由“权集"
的定义可知
需有意义,故不能有0,同时不一定有1,故C,D错误.
4.已知集合A={x∈R|x2-ax+b=0},B={x∈R|x2+cx+15=0},A∩B={3},A∪B={3,5}.
(1)求实数a,b,c的值;
(2)设集合P={x∈R|ax2+bx+c≤7},求集合P∩Z.
解
(1)因为A∩B={3},所以3∈B,所以32+3c+15=0,c=-8,所以B={x∈R|x2-8x+15=0}={3,5}.
又因为A∩B={3},A∪B={3,5},所以A={3},所以方程x2-ax+b=0有两个相等的实数根都是3,所以a=6,b=9,所以a=6,b=9,c=-8。
(2)不等式ax2+bx+c≤7即6x2+9x-8≤7,
所以2x2+3x-5≤0,
所以-
≤x≤1,
所以P=
-
≤x≤1},
所以P∩Z=
≤x≤1}∩Z={-2,-1,0,1}.
5.[2018·
南宁段考]已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|x2-3x≤10}.
(1)若a=3,求(∁RP)∩Q;
(2)若P∪Q=Q,求实数a的取值范围.
解
(1)因为a=3,所以P={x|4≤x≤7},
∁RP={x|x〈4或x〉7}.
又Q={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},所以(∁RP)∩Q={x|x〈4或x>
7}∩{x|-2≤x≤5}={x|-2≤x<4}.
(2)当P≠∅时,由P∪Q=Q得P⊆Q,
所以
解得0≤a≤2;
当P=∅,即2a+1〈a+1时,有P⊆Q,得a〈0。
综上,实数a的取值范围是(-∞,2].
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