数轴上的动点问题 专题讲义设计自编版Word下载.docx

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利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来

数轴上两点之间的距离三种表示方式：

①如果两个点所表示的数的大小已知，直接用较大的数减去较小的数；

②如果两个点所表示的数的大小未知，则用两个数的差的绝对值表示；

③动点的起始点和终止点之间的线段可以用动点所走的路程表示。

例题2：

数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求线段AB、AQ、BP、PQ、AP、BQ的长。

3.列式：

解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法，可以根据题目中的线段之间的数量关系，列出方程并解方程

例题3：

已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4，P为数轴上一点，对应的数为x。

若点P到A、B两点的距离相等，求点P对应的数。

三、动点问题的常用工具

1.中点公式：

如图，数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，且B为A、C中点，则b=

2.解绝对值方程：

①|a|=b，则a=±

b②|a|=|b|，则a=±

b③|x-a|+|x-b|=c（零点分段法）

3.分类讨论思想：

例题4：

已知数轴上两点A、B对应的数分别为-3、5，P为数轴上的动点，其对应的数为x。

数轴上是否存在点P，使得点P到A、B的距离之和为10，若存在，请求出x的值；

若不存在，请说明理由。

四、动点问题的常见题型

1.点的重合问题：

通常是相遇与追击问题，通过点的运动状态可以判断出两个动点重合，重合则两个点表示的数相等，将两个动点用含t的式子表示出来，并令两个式子相等。

例题5：

已知数轴上有A，B，C三点，分别代表﹣30，﹣10，10，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．

（1）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？

（2）多少秒后，甲到A，B，C的距离和为48个单位？

（3）在甲到A、B、C的距离和为48个单位时，若甲调头并保持速度不变，则甲，乙还能在数轴上相遇吗？

若能，求出相遇点；

若不能，请说明理由．

2.中点问题：

①题目中明确说明其中一个点为另外两个点的中点，如：

A、B、C三点，点A是点B、C的中点，直接利用中点公式列方程

②题目中说三个点有一个点是另外两个点的中点，如：

A、B、C三点，有一点是另外两个点的中点，分三种情况进行讨论，然后利用中点公式列方程

例题6：

如图，数轴原点为O，A、B是数轴上的两点，点A对应的数是1，点B对应的数是﹣4，动点P、Q同时从A、B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）AB两点间的距离是　　；

动点P对应的数是　　（用含t的代数式表示）；

动点Q对应的数是　　（用含t的代数式表示）．

（2）几秒后，点O恰好为线段PQ中点？

（3）几秒后，恰好有OQ=2PO？

3、线段长及线段的和、差、倍、比关系问题

解题思路：

题目中通常会说点与点之间的距离，即线段的长度，条件中会给出两条线段的和、差、倍数、或比例关系，先将题目中的线段用两点间的距离表示出来，然后根据具体的关系列方程，当动点之间的位置无法确定时，通常用绝对值来表示线段长度。

（1）线段之长问题（线段之和问题、线段之比问题、线段倍数问题、线段相等问题）

例题7：

如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b和8，O是原点，且（a+20）2+|b+10|=0．

（1）填空：

a=　　，b=　　；

（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t，用含t的代数式表示BC和AB的长；

并探索：

BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而变化？

请说明理由．

（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；

当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，

问：

①当t为多少时，点Q追上点P；

②当t为多少时，P、Q两点相距6个单位长度？

4.线段定值问题：

题目中给出几条线段的关系，要求判断其是否为定值，先将所给线段都用两点间的距离表示出来，然后再将题目中所给的式子用线段表示出来，化简之后可以将t消去，所得值为常数，因此可以确定是定值。

例题8：

如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣6）2=0．

若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．

（1）a=　　，b=　　，c=　　；

（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．

①当t=1时，则AC=　　，AB=　　；

②当t=2时，则AC=　　，AB=　　；

③请问在运动过程中，3AC﹣4AB的值是否随着时间t的变化而改变？

若变化，请说明理由；

若不变，请求其值．

动点问题练习

1．如图，直线l上有AB两点，AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB

（1）OA=　　cmOB=　　cm；

（2）若点C是线段AB上一点，且满足AC=CO+CB，求CO的长；

（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．

①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；

②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以3cm/s的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以3cm/s的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程是多少？

2.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣11，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距29个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；

同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．

（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？

（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；

（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．

3.如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB=15，且OA：

OB=2．

（1）A、B对应的数分别为　　、　　；

（2）点A、B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距1个单位长度？

（3）点A、B以

（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得4AP+3OB﹣

为定值，若存在请求出m值以及这个定值；

若不存在，请说明理由．

4.如图，已知数轴上点A表示的数为7，点B表示的数为﹣5，点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点Q从原点O出发，也沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）线段AB的长度为　　，数轴上点P和点Q表示的数分别为　　、　　（用含t的代数式表示）；

（2）在点P和点Q的运动过程中，经过多少秒点P追上点Q？

经过多少秒点B恰为PQ的中点？

（3）运动过程中，若时间t总满足|t+7|﹣|5﹣t|=12，则t的范围是　　．

5.已知式子M=（a+5）x3+7x2﹣2x+5是关于x的二次多项式，且二次多项式系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b．

（1）则a=　　，b=　　．A、B两点之间的距离=　　；

（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2015次时，求点P所对应的有理数．

（3）在

（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？

若可能请求出此时点P的位置，并直接指出是第几次运动，若不可能请说明理由．

6.已知a、b满足（a﹣2）2+|ab+6|=0，c=2a+3b．

（1）直接写出a、b、c的值：

a=　　，b=　　，c=　　．

（2）若有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC．如果数轴上有一点N到点A的距离AN=AB﹣BC，请直接写出点N所表示的数；

（3）在

（2）的条件下，点A、B、C在数轴上运动，若点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动．试问：

是否存在一个常数m使得m•AB﹣2BC不随运动时间t的改变而改变．若存在，请求出m和这个不变化的值；

7.如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为﹣2、1、6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC

（1）请直接写出AB、BC、AC的长度；

（2）若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒5个单位长度的速度向右运动．设点D、E、F同时出发，运动时间为t秒，试探索：

EF﹣DE的值是否随着时间t的变化而变化？

（3）若点M以每秒4个单位的速度从A点出发，点N以每秒3个单位的速度运动从C点出发，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，试探究：

经过多少秒后，点M、N两点间的距离为14个单位。

8.已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：

PA=______，PC=______．

（2）当点P运动到B点时，点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，在点Q开始运动后，P,Q两点之间的距离能否为2个单位长度？

如果能，请求出t的值和此时P表示的数；

如果不能，写明理由。

9.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P是数轴上一动点,P所对应的数为x

（1）若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为；

（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？

若存在，请求出x的值。

若不存在，请说明理由？

（3）当x为何值时，点P到A的距离等于点P到B的距离的2倍

（4）当x=2时，点A以1个单位每秒的速度向左运动，同时B以2个单位每秒的速度向右运动，问多长时间后P到点A，点B的距离相等

（5）当点P以每分钟5个单位长度的速度从O点向右运动时，点A以每分钟3个单位长度的速度向右运动，点B以每分钟2个单位长度的速度向右运动，问几分钟时点P到点A，点B的距离相等。

10.如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AC=2AB，点A对应的数是400．

（1）若AB=600，求点C到原点的距离；

（2）在

（1）的条件下，动点P、Q分别从C、A同时出发，其中P、Q向右运动，R向左运动如图2，已知点Q的速度是点R速度2倍少5个单位长度/秒，点P的速度是点R的速度的3倍，经过20秒，点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，求动点Q的速度．

（3）在

（1）的条件下，O表示原点，动点P、T、R分别从C、O、A出发，其中P、T向左运动，R向右运动如图，点P、T、R分别为20个单位长度/秒、4个单位长度/秒、10个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点，那么

的值是否发生变化？

若不变，求其值；

若变化，说明理由。

11.一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数形结合的综合题，他是这样出的：

如图，数轴上两个动点M，N开始时所表示的数分别为-10，5，M，N两点各自以一定的速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2个单位长度/s．

（1）M，N两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求N点的运动速度．

（2）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？

（3）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有CN：

CM=1：

2．若干秒后，C点在-12处，求此时N点在数轴上的位置．

12.点A、B、C、D在数轴上的位置如图1所示，已知AB=3，BC=2，CD=4．

（1）若点C为原点，则点A表示的数是______

（2）若点A、B、C、D分别表示有理数a，b，c，d，则|a-c|+|d-b|-|a-d|=____________

（3）如图2，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向右运动，到达B点后立即按原速折返；

点Q沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达C点后立即按原速折返．当P、Q中的某点回到出发点时，两点同时停止运动．

①当点停止运动时，求点P、Q之间的距离；

②设运动时间为t（单位：

秒），则t为何值时，PQ=5？

13.如图①，M、N、P是数轴上顺次三点，M、N之间的距离记为MN，M，P之间的距离记为MP．

（1）若MP=3MN，求x的值；

（2）在

（1）的条件下，如图②，点M、N、P开始在数轴上运动，点M以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点N和点P分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t（t＞0）秒，

的值是否随时间t的变化而改变？

若改变，说明理由；

若不变，求其值．

（3）是否存在常数k，使

为定值？

若存在求出k值，并求出这个定值。

14.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？