江西省赣州市章贡区学年九年级上学期期中数学试题Word格式.docx
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7.关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k=0的一个根为1,则k的值是_____.
8.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(a,3),点B的坐标是(4,b),若点A与点B关于原点O对称,则ab=_____.
9.在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标为(4,8),半径为5,那么x轴与⊙P的位置关系是_____.
10.若抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为(﹣1,1)和(2,4),则方程x2﹣x﹣2=0的解为________.
11.如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于F.若AC=2,则OF的长为.
12.如图,P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点,以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线y=0相切时,点P的坐标为_____.
三、解答题
13.解方程:
3(x﹣2)=5x(x﹣2)
14.如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°
,得到△A'
B'
C,连接BB'
,若∠A'
B=20°
,求∠A的度数.
15.如图,已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上,以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.
(1)请仅用无刻度的直尺在图1中作出∠BAC的平分线;
(2)请仅用无刻度的直尺在图2中的线段BC上取一个点P,使CP=EF.
16.在平面直角坐标系中xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+1.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)若抛物线过点A(﹣1,6),求二次函数的表达式;
(3)若抛物线与坐标轴只有两个交点,求a的值.
17.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:
“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?
”用现代语言表述为:
如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,AE=1寸,CD=10寸,求直径AB的长.
请你解答这个问题.
18.将两块全等的含30°
角的直角三角板按如图1所示的方式放置,已知∠BAC=∠B1A1C=30°
.固定三角板A1B1C,然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转(旋转角小于90°
)至如图2所示的位置,AB与A1C、A1B1分别交于点D、E,AC与A1B1交于点F.
(1)当旋转角等于20°
时,∠BCB1= °
;
(2)当旋转角等于多少度时,AB与A1B1垂直?
请说明理由.
19.已知关于x的一元二次方程x2﹣2(k﹣1)x+k2﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2满足x12+x22﹣x1x2=24,求k的值.
20.赣县田村素称“灯彩之乡”,田村花灯源于唐代,盛于宋朝,迄今已有1300多年历史了,某公司生产了一种田村花灯,每件田村花灯制造成本为20元.设销售单价x(元),每日销售量y(件)、每日的利润w(元).在试销过程中,每日销售量y(件)、每日的利润w(元)与销售单价x(元)之间存在一定的关系,其几组对应量如下表所示:
销售单价x(元)
30
31
32
40
销售量y(件)
38
36
20
(1)根据表中数据的规律、分别写出每日销售量y(件)、每日利润w(元)关于销售单价x(元)之间的函数表达式(利润=(销售单价﹣成本单价)×
销售件数).
(2)当销售单价为多少元时,公司每日能够获得最大利润?
最大利润是多少?
21.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连接AC、BC,过点C作∠BCP=∠BAC,交AB的延长线于点P,弦CD平分∠ACB,交AB于点E,连接OC、AD、BD.
(1)求证:
PC为⊙O的切线;
(2)若OC=5,OE=1,求PC的长.
22.今年以来,因生猪受到猪瘟的影响,导致多地猪肉价格连续上涨,引起了民众与政府的高度关注,当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时,政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.据统计:
从今年年初至9月20日,猪肉价格不断上涨,9月20日比年初价格上涨了60%、某市民于某超市今年9月20日购买3千克猪肉花120元钱.
(1)问:
那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元?
(2)现在某超市以每千克30元的猪肉进货,按9月20日价格出售,平均一天能销售出100千克,经调查表明:
猪肉的售价每千克下降1元,其日销售量就增加20千克,超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润,为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元?
23.如图1,在锐角△ABC中,AB=5,AC=4
,∠ACB=45°
(1)计算:
求BC的长;
(2)操作:
将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.如图2,当点C1在线段CA的延长线上时.
①求∠CC1A1的度数;
②求四边形A1BCC1的面积;
(3)探究:
如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.
24.已知:
抛物线C1:
y=﹣(x+m)2+m2(m>0),抛物线C2:
y=(x﹣n)2+n2(n>0),称抛物线C1,C2互为派对抛物线,例如抛物线C1:
y=﹣(x+1)2+1与抛物线C2:
y=(x﹣
)2+2是派对抛物线,已知派对抛物线C1,C2的顶点分别为A,B,抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C,抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D.
(1)已知抛物线①y=﹣x2﹣2x,②y=(x﹣3)2+3,③y=(x﹣
)2+2,④y=x2﹣x+
,则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是 (请在横线上填写抛物线的数字序号);
(2)如图1,当m=1,n=2时,证明AC=BD;
(3)如图2,连接AB,CD交于点F,延长BA交x轴的负半轴于点E,记BD交x轴于G,CD交x轴于点H,∠BEO=∠BDC.
①求证:
四边形ACBD是菱形;
②若已知抛物线C2:
y=(x﹣2)2+4,请求出m的值.
参考答案
1.A
【分析】
根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.
【详解】
解:
抛物线y=(x﹣1)2+3的顶点坐标是(1,3).
故选:
【点晴】
本题考查了二次函数的性质,主要是利用顶点式解析式写顶点的方法,需熟记.
2.D
把一个图形绕某一点旋转180°
,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.根据中心对称图形的概念求解.
A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意.
D.
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
3.A
先化成一般式后,在求根的判别式,即可确定根的状况.
原方程可化为:
,
方程由两个不相等的实数根.
故选A.
本题运用了根的判别式的知识点,把方程转化为一般式是解决问题的关键.
4.A
根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角可得答案.
∵△ABC中∠ACB=30°
∴∠ACA1=150°
∴三角板ABC旋转的角度是150°
此题主要考查了旋转的性质,关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
5.C
根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数,进而由角的和差求得结果.
∵∠ACB=55°
∴∠AOB=2∠ACB=110°
∵∠AOP=73°
∴∠POB=∠AOB﹣∠AOP=110°
﹣73°
=37°
∵OP∥CB,
∴∠OBC=∠POB=37°
本题是圆的一个计算题,主要考查了在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍.
6.C
【解析】
试题分析:
由抛物线与x轴有两个交点,可知b2-4ac>0,所以①错误;
由抛物线的顶点为D(-1,2),可知抛物线的对称轴为直线x=-1,然后由抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,可知抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,因此当x=1时,y<0,即a+b+c<0,所以②正确;
由抛物线的顶点为D(-1,2),可知a-b+c=2,然后由抛物线的对称轴为直线x=
=-1,可得b=2a,因此a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确;
由于当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=-1时,ax2+bx+c=2,因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确.
故选C.
考点:
二次函数的图像与性质
7.1
已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+-x-k=0的一个根,把x=1代入方程,即可得到一个关于k的方程,解方程即可求出k值.
把x=1代入方程得:
2-1-k=0,
解方程得k=1.
故答案为:
1
本题考查了方程的解的定义,解题关键是把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.
8.12
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a,b的值,进而得出答案.
【详解】∵点A的坐标为(a,3),点B的坐标是(4,b),点A与点B关于原点O对称,
∴a=﹣4,b=﹣3,
则ab=12,
故答案为12.
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标,熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.
9.相离
欲求⊙P与x轴的位置关系,关键是求出点P到x轴的距离d再与⊙P的半径5比较大小即可.
在直角坐标系内,以P(4,8)为圆心,5为半径画圆,则点P到x轴的距离为d=8,
∵r=5,
∴d>r,
∴⊙P与x轴的相离.
相离.
本题考查直线与圆的位置关系.做好本题的关键是画出简图,明白圆心坐标到x轴的距离是纵坐标的绝对值,到y轴的距离是横坐标的绝对值.
10.﹣1或2
利用方程组的解,确定一元二次方程的解即可.
∵y=x2与直线y=x+2的交点坐标为(-1,1)和(2,4),
∴
消去y得到x2-x-2=0
∴x2-x-2=0的解为x=-1或2,
故答案为-1或2.
本题考查二次函数与一次函数的交点问题,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
11.1
根据垂径定理求出AD,证△ADO≌△OFE,推出OF=AD,即可求出答案.
∵OD⊥AC,AC=2,∴AD=CD=1,∵OD⊥AC,EF⊥AB,∴∠ADO=∠OFE=90°
∵OE∥AC,∴∠DOE=∠ADO=90°
,∴∠DAO+∠DOA=90°
,∠DOA+∠EOF=90°
,∴∠DAO=∠EOF,
在△ADO和△OFE中,∴△ADO≌△OFE(AAS),∴OF=AD=1
(1)、垂径定理;
(2)、全等三角形的判定与性质.
12.(2+
,1)或(2﹣
,1)或(2,﹣1).
⊙P与直线y=0相切时就是:
⊙P与x轴相切,半径为1个单位长度,即点P的纵坐标|y|=1,根据P是抛物线y=x2-4x+3上的一点,代入计算出x的值,并写出点P的坐标,一共有3种可能.
如图所示:
当y=1时,x2-4x+3=1,
解得:
x=2±
∴P(2+
,1)或(2-
,1),
当y=-1时,x2-4x+3=-1,
x1=x2=2,
∴P(2,-1),
则点P的坐标为:
(2+
,1)或(2,-1).
故答案是:
,1)或(2,﹣1).
本题考查了切线的性质,并与二次函数相结合,首先理解圆的半径和点P的纵坐标有关,且点P又在抛物线上,x、y的值满足解析式,所以列一元二次方程可求解.
13.x1=2,x2=
.
观察方程发现等号的左右两边都有x−2的因式,所以我们把x−2看成一个整体,把等号右边的式子移到等号的左边,然后提取公因式后,可化为两式相乘为0的形式,即可求出方程的两个解.
5x(x﹣2)﹣3(x﹣2)=0
(x﹣2)(5x﹣3)=0
∴x﹣2=0或5x﹣3=0,
∴x1=2,x2=
此题考查了学生用因式分解法来解一元二次方程,解本题时注意,不要把左右两边的式子乘开,通过先观察应把方程的右边整体移到左边,提取公因式后进而求解.最后还要注意方程解的形式的书写.
14.65°
首先证明△CBB′是等腰直角三角形,求出∠CB′A′即可解决问题.
由旋转的性质可知:
BC=CB′,
∵∠BCB′=90°
∴∠CB′B=45°
∴∠CB′A′=∠CB′B﹣∠BB′A′=45°
﹣20°
=25°
∴∠CA′B′=90°
﹣25°
=65°
由旋转的性质可知∠A=∠CA′B′=65°
本题考查旋转的性质,三角形内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
15.
(1)见解析;
(2)见解析;
(1)如图1中,线段AD即为所求.
(2)如图2中,连接EC,OD,EC交OD于G,作直线FG交线段BC于点P,点P即为所求.
理由:
连接CD.
∵BC是⊙O的切线,
∵OD⊥BC,
∴∠BDO=∠C=90°
∴OD∥AC,
∴∠ODA=∠DAC,
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD=∠DAC,
∴AD平分∠BAC.
本题考查作图−复杂作图,圆周角定理,切线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
16.
(1)抛物线的对称轴为x=2;
(2)二次函数的表达式为y=x2﹣4x+1;
(3)a=
(1)直接由对称轴的x=−
即可求解;
(2)把点A(−1,6),代入y=ax2−4ax+1求得a=1,即可求解析式;
(3)根据题意△=0,即可得到(−4a)2−4•a×
1=0,解得即可.
(1)对称轴x=﹣
=﹣
=2,
∴抛物线的对称轴为x=2;
(2)把点A(﹣1,6),代入y=ax2﹣4ax+1得,
a=1,
∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x+1;
(3)∵抛物线与坐标轴只有两个交点,抛物线有交点(0,1),
∴抛物线与x轴只有一个交点,即△=0,
∴(﹣4a)2﹣4•a×
1=0,
解得a=
或a=0(舍去),
∴a=
本题考查二次函数的图象及性质;
熟练掌握二次函数对称轴的求法,待定系数法求解析式,(3)正确理解题意是解题的关键.
17.直径AB的长为26寸.
连接OC,由直径AB与弦CD垂直,根据垂径定理得到E为CD的中点,由CD的长求出DE的长,设OC=OA=x寸,则AB=2x寸,OE=(x−1)寸,由勾股定理得出方程,解方程求出半径,即可得出直径AB的长.
如图所示,连接OC.
∵弦CD⊥AB,AB为圆O的直径,
∴E为CD的中点,
又∵CD=10寸,
∴CE=DE=
CD=5寸,
设OC=OA=x寸,则AB=2x寸,OE=(x﹣1)寸,
由勾股定理得:
OE2+CE2=OC2,
即(x﹣1)2+52=x2,
x=13,
∴AB=26寸,
即直径AB的长为26寸.
此题考查了垂径定理,勾股定理;
解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点,进而由弦长的一半,弦心距及圆的半径构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
18.
(1)160;
(2)当旋转角等于30度时,AB与A1B1垂直,理由见解析;
(1)旋转角∠A1CA=20°
,所以∠BCB1=90°
+90°
−20°
=160°
(2)当AB与A1B1垂直时,∠A1ED=90°
,则可求∠A1DE度数,根据三角形外角性质可知∠DCA度数,即旋转角度数.
时,则∠A1CA=20°
∴∠BCB1=90°
+90°
故答案为160;
(2)当旋转角等于30度时,AB与A1B1垂直,理由如下:
当AB与A1B1垂直时,∠A1ED=90°
∴∠A1DE=90°
﹣∠A1=90°
﹣30°
=60°
∵∠A1DE=∠A+∠DCA,
∴∠DCA=60°
=30°
即当旋转角等于30度时,AB与A1B1垂直.
故答案为160.
本题主要考查了旋转的性质,找准旋转角是解题的关键.
19.
(1)k<3;
(2)k=﹣2
(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到△=[−2(k−1)]2−4(k2−k−2)>0,然后求出两个不等式的公共部分即可.
(2)利用根与系数的关系求得x1+x2、x1x2的值,然后将其代入(x1+x2)2−3x1x2=24,列出关于k的方程,通过解方程来求k的值.
(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣2(k﹣1)x+k2﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根,
∴△=[﹣2(k﹣1)]2﹣4(k2﹣k﹣2)>0,
k<3;
(2)∵x1+x2=2(k﹣1),x1x2=k2﹣k﹣2,
又∵x12+x22﹣x1x2=24,
∴(x1+x2)2﹣3x1x2=24,
∴[2(k﹣1)]2﹣3(k2﹣k﹣2)=24,
k1=﹣2,k2=7,
∵k<3,
∴k=﹣2
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;
当△<0,方程没有实数根.
20.
(1)每日销售量y(件关于销售单价x(元)之间的函数表达式为y=﹣2x+100;
每日利润w(元)关于销售单价x(元)之间的函数表达式为w=﹣2x2+140x﹣2000;
(2)当销售单价为35元时,每日能获得最大利润450元.
(1)观察表中数据,发现y与x之间存在一次函数关系,设y=kx+b,将表中的两组数据代入,求得k和b,则每日销售量y(件关于销售单价x(元)之间的函数表达式可得;
根据每件的利润乘以销售量等于利润,可得利润函数;
(2)将
(1)中的二次函数写成顶点式,根据二次函数的性质可得答案.
(1)观察表中数据,发现y与x之间存在一次函数关系,设y=kx+b
则
∴每日销售量y(件关于销售单价x(元)之间的函数表达式为y=﹣2x+100;
∴w=(x﹣20)•y
=(x﹣20)(﹣2x+100)
=﹣2x2+140x﹣2000
∴每日利润w(元)关于销售单价x(元)之间的函数表达式为w=﹣2x2+140x﹣2000;
(2)∵w=﹣2x2+140x﹣2000
=﹣2(x﹣35)2+450
∴当销售单价为35元时,每日能获得最大利润450元.
本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用,明确销售问题的基本数量关系及函数的相关性质,是解题的关键.
21.
(1)证明见解性;
(2)PC=12
(1)根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得OC⊥PC,即可证得结论;
(2)证明∠PEC=∠PCE,根据等角对等边可得PE=PC,设PC=PE=x,则OP=x+1,根据勾股定理即可求得.
(1)证明:
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
∴∠BAC+∠OBC=90°
∵∠BCP=∠BAC,
∴∠OCB+∠BCP=90°
,即∠OCP=90°
∴OC⊥PC,
∴PC为⊙O的切线;
(2)解:
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD
=
∴∠ABD=∠DCB,
∵∠BCP=∠BAC,∠BAC=∠BDC,∠BAD=∠BCD,
∴∠PCB=∠BDC,∠ABD=∠BCD,
∴∠BDC+∠ABD=∠BCD+∠PCB,即∠PEC=∠PCE,
∴PC=PE,
设PC=PE=x,则OP=x+1,
在Rt△OPC中,OP2=OC2+PC2,
∴(x+1)2=52+x2,
解得x=12,
∴PC=12.
本题考查了圆的切线判定和性质,圆周角定理,勾股定理,等腰三角形的性质.根据勾股定理列方程是解决问题的关键.
22.
(1)今年年初猪肉的价格为每千克25元.
(2)应该每千克定价为37元.
(1)利用单价=总价÷
数量可求出9月20日猪肉的单价,设今年年初猪肉的价格为每千克x元,根据年初与9月20日猪肉单价间的关系,可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;
(2)设每千克降价y元,则日销售(100+20y)千克,根据总利润=每千克的利润×
销售数量,即可得出关于y的一元二次方程,解之即可得出y值,再将其较大值代入(40−y)中即可求出结论.
(1)今年9月20日猪肉的价格=120÷
3=40(元/千克).
设今年年初猪肉的价格为每千克x元,
依题意,得:
(1+60%)x=40,
x=25.
答:
今年年初猪肉的价格为每千克25元.
(2)设每千克降价y元,则日销售(100+20y)千克,
(40﹣30﹣y)(100+20y)=1120,
整理,得:
y1=2,y2=3,
∵尽可能让顾客优惠,
∴y=3,
∴40﹣y=37.
应该每千克定价为37元.
【点
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