中考几何典型例题整理版Word格式文档下载.docx
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此题是最基础的题目,主要培养学生的作图能力,学生必须落实.
例2、如图,在△ABC中,BD、CE为△ABC的中线,延长BD到F,使DF=BD.延长CE到G,EG=CE.求证:
过A、G、F三点不能作圆.
只要证明点G、A、F三点共线即可.
连接AG、AF、BG、CF.
∵AD=DC、BD=DF,
∴四边形ABCF是平行四边形.故AF∥BC.
同理AGBC是平行四边形,故AG∥BC.
∴点G、A、F三点在同一直线上.
∴过点G、A、F不可能作圆.
此题是小型一个综合题,主要培养学生的思维能力.
例3、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E、F分别是AD、BC的中点,连结EF.
求证:
EF∥AB
对反证法思想的理解和基本步骤的掌握是解决本题的关键.
(用反证法证明)
假设EF与AB不平行,作EG∥AB交BC于G(如图所示),
则
∵E为AD的中点,∴CG=BG即G是BC的中点
∵一条线段只有一个中点,∴F不是BC的中点,这与已知条件矛盾
因此假设EF与AB不平行是错误的,∴EF∥AB
此题目的是理解和掌握反证法的基本步骤,是初中应用反证法证明的典例之一.
例4、用反证法证明:
等腰三角形的底角必定是锐角.
解题的关键是反证法的第一步否定结论,需要分类讨论.
已知:
在△ABC中,AB=AC.求证:
∠A、∠B为锐角.
假设等腰三角形的底角不是锐角,那么只有两种情况:
(1)两个底角都是直角;
(2)两个底角都是钝角;
(1)由∠A=∠B=90°
则∠A+∠B+∠C=∠A+90°
+90°
>
180°
,这与三角形内角和定理矛盾,∴∠A=∠B=90°
这个假设不成立.
(2)由90°
<∠B<180°
,90°
<∠C<180°
,则∠A+∠B+∠C>
,这与三角形内角和定理矛盾.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立.
故原命题正确
∴等腰三角形的底角必定是锐角.
本例中“是锐角(小于90°
)”的反面有“是直角(等于90°
)”和“是钝角(大于90°
)”两种情况,这时,必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立,最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.
第三节:
垂直于弦的直径典型例题
1、如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°
,求CD的长.
分析
要充分利用条件∠BED=30°
,构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形,通过解直角三角形求得未知量.
解
过O作OF⊥CD于F,连结CO,
∵AE=6cm,EB=2cm,∴AB=8cm
∴OA=
AB=4cm,OE=AE-AO=2cm,
在Rt△OEB中,∵∠CEA=∠BED=30°
,
∴OF=
OE=1cm.
在Rt△CFO中,OF=1cm,OC=OA=4cm,
∴CF=
cm.
又∵OF⊥CD.∴CD=2CF=2
答:
CD的长为2
cm.
此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时,常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解;
另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解,较为困难.
2、已知:
△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.
①此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的图形,此题有两种情况;
②利用条件构造垂径定理的基本图形解题.
分两种情况:
(1)如图①,过A作AD⊥BC于D,
又∵AB=AC,∴点O在AD上,∴OD=3cm.连结OB,
在Rt△ODB中,OB==5cm,OD=3cm,由勾股定理,得
,∴
在Rt△ADB中,AD=AO+OD=5+3=8cm,由勾股定理,得
(cm)
(2)如图②,同理可得:
AB=
(cm).
①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:
确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;
②作辅助线的能力.
3、在直径为50cm的⊙O中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB∥CD,求:
AB与CD之间的距离.
此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧,也可能在在圆心的两侧,即有两解.
(略,8cm,22cm)
此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:
确定图形——分析图形——数形结合——解决问题.
4、已知:
如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.求证:
CE=DF;
OE=OF
本题的关键是作OH⊥CD,构造垂径定理的基本图形解题,另外还用到平行线等分线段定理等.
(一)过O作OH⊥CD于H,
∵AE⊥CD,BF⊥CD
∴AE∥OH∥BF
∵AO=BO
∴EH=HF
∵OH⊥CD且O为圆心∴CH=HD
∴CH-EH=HD-HF即
CE=DF
∵EH=HF,OH⊥EF
∴OH是EF的中垂线
∴OE=OF
.
证明
(二)延长EO交BF于G,用三角形全等和直角三角形斜边中线证明OE=OF.
(1)此题展示构造垂径定理的基本图形解题的基本方法;
(2)让几何动起来.引申:
让弦CD动起来,与直径AB不相交,让学生在运动中观察、发现问题,培养学生的探究能力.
5、如图,F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任意一点,A是
的中点,AD⊥BC于D,求证:
AD=
BF.
(方法一)由于A是
的中点,连结OA可构造垂径定理的基本图形,BE=
BF,△ADO≌△BEO,得AD=BE=
BF.
(方法二)如图,补圆,延长AD交⊙O于E,造垂径定理的基本图形,问题即可解决.
(略)
说明:
此题是垂径定理的应用为过程,培养学生的发散思维.
第四节:
圆心角、弧、弦、弦心……典型例题
例1、如图,已知:
在⊙O中,
=2
,试判断∠AOB与∠COD,AB与2CD之间的关系,并说明理由.
根据条件确定图形,观察、分析、猜想,特别是两条线段的不等关系,常常把两条线段放到一个三角形中.
∠AOB=2∠COD,AB<
2CD,理由如下:
如图,在⊙O上取一点C’,使
=
.∴∠COD=∠DOC’
∵
,∴,
+
.
∴AB=CC’.∠AOB=∠COC’=∠COD+∠DOC’=2∠COD
又∵在△CDC’中,CD+DC’>
CC’,∴CC’<
2CD,即AB<
2CD.
此题进一步理解定理及其推论的应用条件,在“相等”问题中的不等量.由
可得∠AOB=2∠COD是正确的,但由
得出AB=2CD,是错误的,培养学生在学习中的迁移能力.
例2、如图,已知:
AB是⊙O直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,求证:
要证弧相等,可以证弧对应的弦相等,弧对应的圆心角相等.
证法一:
连结AC、OC、OD、BD,
∵M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,
∴AC=OC、OD=BD
又∵OC=OD,∴AC=BD,∴
证法二:
连结OC、OD,
∵M、N分别是AO、BO的中点,∴OM=
AO,ON=
BO,
∵OA=OB,∴OM=ON,
∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴OC=OD,
∴Rt△COM≌Rt△DON,∴∠COA=∠DOB,∴
证法三、如图,分别延长CM、DN交⊙O于E、F,
AO,ON=
又∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴CE=DF,∴
=
,
,∴
此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目,题目不难,但方法灵活,培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.
例3、如图,已知:
在⊙O中,OA⊥OB,∠A=35°
,求
和
的度数.
连结OC,通过求圆心角的度数求解.
连结OC,
在Rt△AOB中,∠A=35°
∴∠B=55°
,又∵OC=OB,
∴∠COB=180°
-2∠B=70°
的度数为70°
∠COD=90°
-∠COB=90°
-70°
=20°
∴
的度数为20°
此题是基本题目,目的是巩固基础知识.
例4
如图,C是⊙O直径AB上一点,过C点作弦DE,使CD=CO,若
的度数为40°
的度数.
分折:
要求
的度数,可求它所对的圆心角∠BOE的度数,如图作辅助线,通过等量转换得出结果.
连OE、OD并延长DO交⊙O于F.
,∴∠AOD=40°
.
∵CD=CO,
∴∠ODE=∠AOD=40°
∵OD=OE,
∴∠E=∠ODE=40°
∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°
,∠BOF=∠AOD=40°
则∠BOE=∠EOF+∠BOF=80°
+40°
=120°
的度数为120°
此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换.
第五节:
圆周角典型例题
例1在半径等于5cm的圆内有长为5
cm的弦,则此弦所对的圆周角为().
(A)60°
或120°
(B)30°
(C)60°
(D)120°
如图,OA=OB=5cm,AB=5
cm.过O作OC上AB于C,
则AC=
cm.∵sinα=
∵α为锐角,∴α=60°
.∴∠AOB=120°
当圆周角的顶点在优弧
上时,得∠ADB=60°
;
当圆周角的顶点在劣弧
上时.得∠AD’B=120°
∴此弦所对的圆周角为60°
此题为基础题,求一条弦所对的圆周角.圆周角的顶点可以在这条弦所对的优孤上,也可以这这条弦所对的劣弧上.
例2、(河南省,2002)已知:
如图,以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D,交AC于E,过E作EF⊥BC,垂足为F,且BF:
FC=5:
1,AB=8,AE=2.求EC的长.
连结BE,构造直角三角形,并出现典型的双垂直图形,通过解直角三角形解
得.
如图,连结BE,则BE⊥AC,
∴
设BF=5x,BC=6x.
∵EF⊥BC,∠EBF=∠CBE,
∴△BEF∽△BCE,∴
.即60=5x·
6x,∵FC>
0,∴
,∵
①添加辅助线,构造直角三角形;
②构成典型的双垂直图形,非常重要.
例3、(陕西省,2002)已知:
如图,BC为半圆O的直径,F是半圆上异于B、C的一点,A是
的中点,AD⊥BC于点D,BF交AD于点E.
(1)求证:
BE·
BF=BD·
BC;
(2)试比较线段BD与AE的大小,并说明道理.
(1)连结FC,证△BDE∽△BCF即可;
(2)要比较两条线段的大小,通常是把两条线段转移到
一个三角形内,利用大角对大边来判断.
(1)连结FC,则BF⊥FC.
在△BDE和△BCF中,
∵∠BEC=∠EDB=90°
,∠EBC=∠EBD,∴△BDE∽△BCF.
,即BE·
BC.
(2)AE>
BD,连结AC、AB,则∠BAC=90°
,∵
,∴∠1=∠2.
又∵∠2+∠ABC=90°
,∠3+∠ABD=90°
,∴∠2=∠3,∴AE=BE.
在Rt△EBD中,BE>
BD,∴AE>
BD.
①训练学生添加辅助线;
②第
(2)小问是教材P102中3题的拓展.
例4、(太原市,2002)如图,已知BC为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为D,BF交AD于E,且AE=BF.
(2)如果sin∠FBC=
,AB
,求AD的长.
(1)连结AC.∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°
又AD⊥BC,垂足为D,∴∠1=∠3.
在△AEB中,AE=BE,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3,
(2)设DE=3x,∵AD⊥BC,sin∠FBC=
,∴BE=5x,BD=4x.
∵AE=BE,∴AE=5x,AD=8x.
在Rt△ADB中,∠ADB=90°
解这个方程,得x=1,∴AD=8.
①此题是教材P102中3题的变形;
②训练学生求线段长度的方法:
直接求和列方程求解.
第六节:
圆的内接四边形典型例题
例1、圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数的比是3﹕2﹕7,求四边形各内角度数.
设∠A、∠B、∠C的度数分别为3x、2x、7x.
∵ABCD是圆内接四边形.∴∠A+∠C=180°
即3x+7x=180°
∴x=18°
∴∠A=3x=54°
,∠B=2x=36°
,∠C=7x=126°
又∵∠B+∠D=180°
∴∠D=180°
一36°
=144°
①巩固性质;
②方程思想的应用.
例2、(2001厦门市,教材P101中17题)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,AD与三角形ABC的外接圆相交于D.求证:
DB=DC.
要证DB=DC,只要证∠BCD=∠CBD,充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质,即可解决.
∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC,
∵∠EAD为圆内接四边形ABCD的外角,∴∠BCD=∠EAD,
又∠CBD=∠DAC,
∴∠BCD=∠CBD,∴DB=DC.
角相等的灵活转换,利用圆内接四边形的性质作桥梁.
例3、如图,△ABC是等边三角形,D是
上任一点,求证:
DB+DC=DA.
要证明一条线段等于两条线段的和,往往可以“截长”和“补短”法,本题两种方法都可以证明.
延长DB至点E,使BE=DC,连AE.
在△AEB和△ADC中,BE=DC.
△ABC是等边三角形.∴AB=AC.
∵
四边形ABDC是⊙O的内接四边形,
∴∠ABE=∠ACD.
∴△AEB≌△ADC.
∴∠AEB=∠ADC=∠ABC.
∵∠ADE=∠ACB,
又∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠AEB=∠ADE=60°
.
∴△AED是等边三角形,∴AD=DE=DB+BE.
∵BE=DC,∴DB+DC=DA.
本例利用“截长”和“补短”法证明.培养学生“角相等的灵活转换”能力.在圆中,圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系,应重视.
第七节:
直线和圆的位置关系典型例题
例1、在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=4cm,BC=2cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何种位置关系?
为什么?
(1)r=1cm;
(2)r=
cm;
(3)r=2.5cm.
如图,欲判定⊙C与直线AB的关系,只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长,然后再与r比较即可.
过C点作CD⊥AB于D,
在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=4,BC=2,
∴AC=2
,∴AB·
CD=AC·
BC,
∴
,
(1)当r=1cm时
CD>r,∴圆C与AB相离;
(2)当r=
cm时,CD=r,∴圆C与AB相切;
(3)当r=2.5cm时,CD<r,∴圆C与AB相交.
从“数”到“形”,判定圆与直线位置关系.
例2、在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=4cm,BC=2cm,以C为圆心,r为半径的圆,若直线AB与⊙C,
(1)相交;
(2)相切;
(3)相离.求半径r的取值.
(1)∵直线AB与⊙C相离,∴0
r<
CD,即0<
r<
;
(2)∵直线AB与⊙C相切,∴r=CD,即r=
(3)∵直线AB与⊙C相交,∴r>
CD,即r>
.
从“形”到“数”,由圆与直线位置关系来确定半径.
例3、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=∠D=90°
,若AB=6,AD=4,BC=2,试问:
DC上是否存在点P,使Rt△PBC∽Rt△APD?
若Rt△PBC∽Rt△APD,则∠APD+∠BPC=90°
,可知∠APB=90°
,所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点,由条件可知为⊙O与DC相切,所以存在一点P,使Rt△PBC∽Rt△APD.
设以AB为直径的圆为⊙O,OP⊥DC,则:
OP为直角梯形ABCD的中位线,
∴OP=(AD+BC)/2=(4+2)/2=3,又∵OA=OB=AB/2=3,
∴OP=OA,∴⊙O与DC相切,
∴∠APB=90°
,∴∠APD+∠BPC=90°
.又∵∠PBC+∠BPC=90°
∴∠APD=∠PBC,又∵∠C=∠D=90°
,∴Rt△PBC∽Rt△APD.
因此,DC上存在点P,使Rt△PBC∽Rt△APD.
①直线与圆位置关系的应用;
②此题目可以变动数值,使DC与⊙O相交、相离.
第八节:
切线的判定和性质典型例题
例1、如图,△ABC内接于大⊙O,∠B=∠C,小⊙O与AB相切于点D.求证:
AC是小圆的切线.
分析AC与小⊙O的公共点没有确定,故应过O作AC的垂线段OE.再证明OE等于小圆半径,用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC是小圆的切线.
证明
连结OD,作OE⊥AC于E.
∵∠B=∠C,∴AB=AC.
又AB与⊙O小相切于D,∴OD⊥AB.
∵OE⊥AC,∴OD=OE.
即小⊙O的圆心O到AC的距离等于半径,所以AC是小圆的切线.
(1)本题为证明切线的两个常见方法(①连半径证垂直;
②作垂直证半径.)之一;
(2)本题为基本题型,但应用到切线的性质和判定;
(3)本题为教材110页例4的变形题.
例2、(大连市,l999)阅读:
“如图△ABC内接于⊙O,∠CAE=∠B.
AE与⊙O相切于点A.
作直径AF,连结FC,则∠ACF=90°
∴∠AFC+∠CAF=90°
.
∵∠B=∠AFC.
∴∠B+∠CAF=90°
又∵∠CAE=∠B,
∴∠CAE+∠CAF=90°
.
即AE与⊙O相切于点A.
问题:
通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用).
如图,已知△ABC内接于⊙O.P是CB延长线上一点,连结AP.且PA2=PB·
PC.
PA是⊙O的切线.
∵PA2=PB·
PC,∴
又∵∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA.
∠PAB=∠C.
由阅读题的结论可知,PA是⊙O的切线.
(1)此题的阅读材料来源于教材第117页B组第1题;
(2)应用“连半径证垂直”证明切线.
例3、(西宁,1999)已知:
如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,以AB为直径的⊙O交斜边AB于E,OD∥AB.
(1)ED是⊙O的切线;
(2)2DE2=BE·
OD
(1)连结OE、CE,则CE⊥AB.
在Rt△ABC中,∵OA=OC,OD∥AB,
∴D为BC的中点,∴DE=CD,
又∵OC=OE,OD=OD,
∴△COD≌△EOD,∴∠OED=∠OCD=90°
∴ED是⊙O
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