全等三角形几种常见辅助线精典题型.docx
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全等三角形几种常见辅助线精典题型
全等三角形几种常有协助线精典题型
一、截长补短
1、已知ABC中,A60o,BD、CE分别均分ABC和.ACB,BD、CE交于点O,试判
断BE、CD、BC的数目关系,并加以证明.
A
2、如图,点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的随意
一点(点B除外),作DMN60,射线MN与∠DBA外角的均分线交于点N,DM与MN有如何的数目关系?
E
OD
D
BC
N
3、如图,AD⊥AB,CB⊥AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,∠AMD=75°,
∠BMC=45°,求AB的长。
ADMBE
4、已知:
如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.求证:
BE+DF=AE.
C
5、以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边
ABD、ACE,连结CD、A
M
B
BE订交于点O.求证:
OA均分DOE.
6、如下图,ABC是边长为1的正三角形,BDC是顶角为120的等腰三角形,以D为顶
点作一个60的MDN,点M、N分别在AB、AC上,求AMN的周长.
7、如下图,在ABC中,ABAC,D是底边BC上的一点,E是线段AD上的一点,且
BED2CEDBAC,求证BD2CD.
8、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,
求证:
AD均分∠CDE
二、全等与角度
A
A
A
E
N
M
BE
BC
CD
BDDC
1、如图,在ABC中,BAC60,AD是BAC的均分线,且ACABBD,求ABC的度
数.
2、如下图,在ABC中,ACBC,C20,又M在AC上,N在BC上,
且知足BAN50,ABM60,求NMB.C
3、在正
ABC内取一点D,使
DADB,在ABC外取一点E,使
DBE
DBC,且BEBA,求
BED.
M
N
4、如下图,在ABC中,BAC
BCA
44,M为ABC内一点,使
得MCA
30,MAC16,求BMC的度数.
A
B
5、如图:
在ABC内取一点M,使得MBA
30o,MAB10o.设ACB80o,AC
BC,求
AMC.
6、如图,点M为正方形ABCD的边AB上随意一点,MNDM且与∠ABC外角的均分线交于点N,MD与MN有如何的数目关系?
如是正五边形,正六边形呢?
参照答案:
一、截长补短
1、BECDBC,
原因是:
在BC上截取BFBE,连结OF,
A
E
OD
1
4
23
BFC
利用SAS证得BEO≌BFO,∴1
2,
∵A60,∴BOC
90o1
A120o,∴
DOE120o,
2
∴ADOE180o,∴AEOADO180o,∴13180o,
∵24180o,∴12,∴34,
利用AAS证得CDO≌CFO,∴CDCF,∴BCBFCFBECD.
2、DMMN.
过点M作MG∥BD交AD于点G,AGAM,∴GDMB
又∵∠ADMDMA120o,∠DMA∠NMB120o
∴∠ADM∠NMB,而∠DGM∠MBN120o,
∴DGM≌MBN,∴DMMN.
3、过点D作BC的垂线,垂足为E.
∵∠AMD=75°,∠BMC=45°∴∠DMC=60°
D
E
∵
DMCM
∴CDDM
C
=
=
∵AD⊥AB,DE⊥BC,CB⊥AB,∠AMD=75°
AMB
∴∠ADM=∠EDC
∴△ADM≌△CDE
∴AD=DE
故ABED为正方形,AB=AD=h,选D.4、延伸CB至M,使得BM=DF,连结AM.
AD
F
MBEC
∵AB=AD,AD⊥CD,AB⊥BM,BM=DF
∴△ABM≌△ADF
∴∠AFD=∠AMB,∠DAF=∠BAM
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM
∴∠AMB=∠EAM
∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.
5、因为ABD、ACE是等边三角形,所以ABAD,AEAC,CAEBAD60o,
则BAEDAC,所以BAE≌DAC,
则有ABEADC,AEBACD,BEDC.
在DC上截取DFBO,连结AF,简单证得ADF≌ABO,ACF≌AEO.
从而由AFAO.得AFOAOF;
由AOEAFO可得AOFAOE,即OA均分DOE.
6、如下图,延伸AC到E使CEBM.
在BDM与CDE中,因为BDCD,MBDECD90o,BMCE,
所以BDM≌CDE,故MDED.
A
N
M
BC
E
D
因为BDC120o,MDN60o,所以BDMNDC60o.
又因为BDMCDE,所以MDNEDN60o.
在MND与END中,DNDN,MDNEDN60o,DMDE,
所以MND≌END,则NEMN,所以AMN的周长为2.
7、如下图,作
BED的均分线交BC于F,又过A作AH∥EF交BE于G,交BC于H,则
知EAGDEF
1
BEFAGEBAC,从而GEAE.
2
又AGE
1
BEDCED,则AGBCEA.
2
由ABEBAEBEDBACCAEBAE可得
A
ABGCAE.
E
注意到ABCA,故有ABG≌CAE,从而BGAE,AGCE,
G
于是BGGE.
BHFDC
又由AH∥EF,有BH
HF,GH
1
EF,且AH
HD.
2
EF
FD
而CED
FED,从而CD
EC
AG
AHGH
AH
1
HD
1,
FD
EF
EF
EF
EF
2
FD
2
1
1
1
1
1
即CDHDFDHF
FD
2
BF
FDBD,故BD2CD.
2
2
2
2
8、延伸DE至F,使得EF=BC,连结AC.
∵∠ABC+∠AED=180°,∠AEF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF
∵AB=AE,BC=EF∴△ABC≌△AEF
∴
EFBC,ACAF
A
=
=
∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF
∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF
即AD均分∠CDE.
F
BE
CD
二、全等与角度
1、如下图,延伸AB至E使BEBD,连结ED、EC.
A
由ACABBD知AEAC,
而BAC60o,则AEC为等边三角形.
BDC
注意到EADCAD,ADAD,AEAC,
E
故AED≌ACD.
从而有DEDC,DECDCE,
故BEDBDEDCEDEC2DEC.
所以DECDCE20o,ABCBECBCE60o20o80o
【另解】在AC上取点E,使得AEAB,则由题意可知CEBD.
A
在ABD和AED中,ABAE,BADEAD,ADAD,
E
BDC
则ABD≌AED,从而BDDE,
从而有DECE,ECDEDC,
AEDECDEDC2ECD.
注意到ABDAED,则:
ABC
ACB
ABC
1
ABC
3
ABC180o
BAC120o,
2
2
故ABC80.
【评论】由已知条件能够想到将折线ABD“拉直”成AE,利用角均分线AD能够结构全等三角形.相同地,将AC拆分红两段,以后再利用三角形全等亦可,此思路也是十分自然
的.
需要说明的是,不论采纳哪一种方法,都表现出对于角均分线“对称”的思想.
上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”,它们是证明等量关系时优先考虑的方
法.
2、过M作AB的平行线交BC于K,连结KA交MB于P.
连结PN,易知APB、MKP均为正三角形.
因为BAN50,ACBC,C20,
所以ANB50,BNABBP,BPNBNP80,
则PKN40,KPN180608040,
故PNKN.从而MPN≌MKN.
从而有PMN
1
30
KMN,NMBKMP
2
3、如下图,连结DC.因为AD
BD,AC
BC,CD
CD,
则ADC≌BDC,
故BCD30o.
而DBEDBC,BEABBC,BDBD,
B
所以BDE≌BDC,
故BEDBCD30o.
4、在ABC中,由BACBCA44可得ABAC,ABC92.
如下图,作BDAC于D点,延伸CM交BD于O点,连结OA,
则有OACMCA3
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