高中数学第一章导数及其应用13导数在研究函数中的作用133最大值与最小值教学案苏教版选修22文档格式.docx
- 文档编号:22279839
- 上传时间:2023-02-03
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:150.27KB
高中数学第一章导数及其应用13导数在研究函数中的作用133最大值与最小值教学案苏教版选修22文档格式.docx
《高中数学第一章导数及其应用13导数在研究函数中的作用133最大值与最小值教学案苏教版选修22文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一章导数及其应用13导数在研究函数中的作用133最大值与最小值教学案苏教版选修22文档格式.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
[例1] 求函数f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2]上的最值.
[思路点拨]
→
[精解详析] f′(x)=-4x3+4x,
令f′(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,
得x=-1,x=0,x=1.
当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:
x
-3
(-3,-1)
-1
(-1,0)
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
+
-
f(x)
-60
极大值4
极小值3
-5
所以当x=-3时,f(x)取最小值-60;
当x=-1或x=1时,f(x)取最大值4.
[一点通] 求函数的最值需要注意的问题:
(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似,在给定区间是闭区间时,极值要和区间端点的函数值进行比较,并且要注意取极值的点是否在区间内;
(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求解时,可考虑用导数的方法求解.
1.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m.则M-m=________.
解析:
令f′(x)=3x2-12=0,解得x=±
2.
计算f(-3)=17,f(-2)=24,f
(2)=-8,f(3)=-1,所以M=24,m=-8,故M-m=32.
答案:
32
2.求函数f(x)=ex(3-x2)在区间[2,5]上的最值.
解:
∵f(x)=3ex-exx2,
∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)
=-ex(x2+2x-3)
=-ex(x+3)(x-1),
∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<
0,
即函数f(x)在区间[2,5]上是单调递减函数,
∴x=2时,函数f(x)取得最大值f
(2)=-e2;
x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.
已知函数的最值求参数
[例2] 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
[思路点拨] 根据导数与单调性之间的关系求解,由于f(x)既有最大值,又有最小值,因此a≠0,要注意对参数的取值情况进行讨论.
[精解详析] 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常数函数,与题设矛盾.
取导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4).
令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍).
(1)∵当a>0时,如下表:
(0,2)
最大值
∴当x=0时,f(x)取得最大值,f(0)=3,∴b=3.
又f(-1)=-7a+3>f
(2)=-16a+3,
∴最小值f
(2)=-16a+3=-29,a=2.
(2)∵当a<0时,如下表:
最小值
∴当x=0时,f(x)取得最小值,
∴b=-29.
又f(-1)=-7a-29<f
(2)=-16a-29,
∴最大值f
(2)=-16a-29=3,a=-2.
综上,
或
[一点通] 解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值,同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响,其最值也受a的符号的影响,因此,需要进行分类讨论.本题是运用最值的定义,从逆向出发,由已知向未知转化,通过待定系数法,列出相应的方程,从而得出参数的值.
3.已知函数f(x)=
x2-alnx,a∈R.
(1)若a=2,求函数在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值.
(1)a=2时,f(x)=
x2-2lnx,
f
(1)=
,f′(x)=x-
,f′
(1)=-1,
故切线方程为y-
=-(x-1),即2x+2y-3=0.
(2)依题意,x>0,f′(x)=x-
=
(x2-a),
①a≤1时,因为x∈[1,e],1≤x2≤e2,所以f′(x)≥0(当且仅当x=a=1时等号成立),所以f(x)在区间[1,e]上单调递增,最小值为f
(1)=
.
②a≥e2时,因为1≤x2≤e2,所以f′(x)≤0(当且仅当x=e,a=e2时等号成立),所以f(x)在区间[1,e]上单调递减,最小值为f(e)=
e2-a.
③1<a<e2时,解f′(x)=
(x2-a)=0得x=±
(负值舍去),f′(x)的符号和f(x)的单调性如下表:
f(x)在区间[1,e]上的最小值为f
a-
alna.
综上所述,a≤1时,f(x)的最小值为f
(1)=
;
1<a<e2时,f(x)的最小值为f
alna;
a≥e2时,f(x)的最小值为f(e)=
4.已知函数f(x)=ax2+1(a>
0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.
(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b.
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f
(1)=g
(1),且f′
(1)=g′
(1),
即a+1=1+b,且2a=3+b,
解得a=3,b=3.
(2)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时,
h(x)=x3+3x2-9x+1,
h′(x)=3x2+6x-9.
令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1.
h(x)与h′(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:
(-∞,-3)
(-3,1)
h′(x)
h(x)
28
-4
3
由此可知:
当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(-3)=28;
当-3<
k<
2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.
因此,k的取值范围是(-∞,-3].
与最值有关的恒成立问题
[例3] 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>
0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<
-2t+m,对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
[思路点拨]
(1)可通过配方求函数f(x)的最小值;
(2)h(t)<
-2t+m,即m>
h(t)+2t恒成立,从而可转化为求h(t)+2t的最大值问题解决.
[精解详析]
(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>
0),
∴当x=-t时,f(x)取得最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)+2t=-t3+3t-1.
则g′(t)=-3t2+3=-3(t-1)(t+1).
令g′(t)=0,得t1=1,t2=-1(舍去).
列表:
t
g′(t)
g(t)
极大值1
由表可知,g(t)在(0,2)内有最大值1.
∵h(t)<
-2t+m在(0,2)恒成立等价于m>
g(t)在(0,2)内恒成立.
∴m>
1.即实数m的取值范围是(1,+∞).
[一点通] 有关恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题.求解时要确定这个函数,看哪一个变量的范围已知,即函数是以已知范围的变量为自变量的函数.
一般地,λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max;
λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.
5.已知g(x)=lnx-a,若g(x)<
x2在(0,e]上恒成立,求a的取值范围.
g(x)<
x2即lnx-a<
x2,所以a>
lnx-x2,
故g(x)<
x2在(0,e]上恒成立也就是a>
lnx-x2在(0,e]上恒成立.
设h(x)=lnx-x2,则h′(x)=
-2x=
,
由h′(x)=0及0<
x≤e得x=
当0<
x<
时h′(x)>
0,当
<
x≤e时h′(x)<
即h(x)在
上为增函数,在
上为减函数,
所以当x=
时h(x)取得最大值为h
=ln
所以g(x)<
x2在(0,e]上恒成立时,
a的取值范围为
6.设函数f(x)=ex-ax-2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,k为整数,且当x>
0时,(x-k)f′(x)+x+1>
0,求k的最大值.
(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=ex-a.
若a≤0,则f′(x)>
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>
0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<
0;
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>
所以,f(x)在(-∞,lna)上单调递减,
在(lna,+∞)上单调递增.
(2)由于a=1,
所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.
故当x>
0等价于
+x(x>
0).①
令g(x)=
+x,则
g′(x)=
+1=
由
(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h
(1)<
0,h
(2)>
0,所以h(x)在(0,+∞)上存在惟一的零点.故g′(x)在(0,+∞)上存在惟一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).
当x∈(0,α)时,g′(x)<
当x∈(α,+∞)时,g′(x)>
0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).
又由g′(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).
由于①式等价于k<
g(α),故整数k的最大值为2.
1.函数的最大值与最小值:
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;
但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.
例如:
函数f(x)=
在(0,+∞)上连续,但没有最大值与最小值.
2.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下
(1)求f(x)在(a,b)内的极值.
(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,确定f(x)的最大值与最小值.
3.求实际问题的最大值(最小值)的方法
在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.
[对应课时跟踪训练(八)]
一、填空题
1.函数f(x)=x-sinx,x∈
的最大值是________.
∵f(x)=x-sinx,∴f′(x)=1-cosx≥0.
∴函数f(x)=x-sinx在
上为单调增函数,
∴当x=π时,f(x)取最大值π.
π
2.函数y=
的最大值为________.
y′=
令y′=0,则x=e.
因此函数f(x)的最大值为f(e)=
3.函数f(x)=x·
e-x,x∈[0,4]的最小值为________.
f′(x)=e-x-x·
e-x=e-x(1-x),
令f′(x)=0,得x=1.
而f(0)=0,f
(1)=
,f(4)=
因此函数f(x)的最小值为0.
4.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为
,则a=________.
y′=-2x-2,令y′=0,得x=-1.
而f(-1)=-1+2+3=4≠
,∴a>
-1.
而f
(2)=-4-4+3=-5,
因此f(a)=-a2-2a+3=
解得a=-
(舍去)或a=-
5.函数f(x)=ax4-4ax3+b(a>
0)在[1,4])上的最大值为3,最小值为-6,则a+b=________.
f′(x)=4ax3-12ax2(a>
0,x∈[1,4]).
由f′(x)=0,得x=0(舍),或x=3,可得x=3时,f(x)取到最小值为b-27a.
又f
(1)=b-3a,f(4)=b,
因此f(4)为最大值.
由
解得
所以a+b=
二、解答题
6.已知函数f(x)=alnx+1(a>0).
(1)若a=2,求函数f(x)在(e,f(e))处的切线方程;
(2)当x>0时,求证:
f(x)-1≥a
(1)当a=2时,f(x)=2lnx+1,
f′(x)=
,f(e)=3,k=f′(e)=
所以函数f(x)在(e,f(e))处的切线方程为
y-3=
(x-e),
即2x-ey+e=0.
(2)令g(x)=f(x)-1-a
=alnx-a
(x>0),
则g′(x)=
,由g′(x)=0,得x=1.
当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减;
当x>1时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以g(x)在x=1处取得极小值,也是最小值.
因此g(x)≥g
(1)=0,即f(x)-1≥a
7.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
(1)f′(x)=-3x2+6x+9=-3(x2-2x-3)
=-3(x+1)(x-3).
令f′(x)<
0,则-3(x+1)(x-3)<
解得x<
-1或x>
3.
∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)结合
(1),令f′(x)=0,得x=-1或x=3.
又∵x∈[-2,2],∴x=-1.
当-2<
-1时,f′(x)<
当-1<
2时,f′(x)>
0.
∴x=-1是函数f(x)的极小值点,该极小值也就是函数f(x)在[-2,2]上的最小值,
即f(x)min=f(-1)=a-5.
又函数f(x)的区间端点值为
f
(2)=-8+12+18+a=a+22,
f(-2)=8+12-18+a=a+2.
∵a+22>
a+2,∴f(x)max=a+22=20,∴a=-2.
此时f(x)min=a-5=-2-5=-7.
8.已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.若对任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范围.
由题意知f
(1)=-3-c.
因此b-c=-3-c,从而b=-3.
对f(x)求导,得f′(x)=4ax3lnx+ax4×
+4bx3=x3(4alnx+a+4b).
由题意知f′
(1)=0,
得a+4b=0,解得a=12.
因为f′(x)=48x3lnx(x>
令f′(x)=0,解得x=1.
1时,f′(x)<
0,此时f(x)为减函数;
当x>
1时,f′(x)>
0,此时f(x)为增函数.
所以f(x)在x=1处取得极小值f
(1)=-3-c,
并且此极小值也是最小值.
所以要使f(x)≥-2c2(x>
0)恒成立,
只需-3-c≥-2c2即可.
整理得2c2-c-3≥0,解得c≥
或c≤-1.
所以c的取值范围为(-∞,-1]∪
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第一章 导数 及其 应用 13 研究 函数 中的 作用 133 最大值 最小值 教学 案苏教版 选修 22
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/22279839.html