初二轴对称经典习题附答案Word文档格式.docx
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,D为△ABC内一点,∠BAD=15°
,AD=AC,CE⊥AD于E,且CE=5.
(1)求BC的长;
(2)求证:
BD=CD.
24.如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°
,点D在AB边上运动(D不与A、B重合),连结CD.作∠CDE=30°
,DE交AC于点E.
(1)当DE∥BC时,△ACD的形状按角分类是直角三角形;
(2)在点D的运动过程中,△ECD的形状可以是等腰三角形吗?
若可以,请求出∠AED的度数;
若不可以,请说明理由.
25.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°
,D是AB的中点,DE⊥DF,点E,F分别在AC,BC上,求证:
DE=DF.
参考答案
1.D.
【解析】
试题分析:
∵MN为AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠BDE=90°
;
∵∠ACB=90°
,∴CD=BD;
∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°
,∴∠A=∠BED;
∵∠A≠60°
,AC≠AD,∴EC≠ED,∴∠ECD≠∠EDC.
故选:
D.
考点:
作图—基本作图;
线段垂直平分线的性质;
直角三角形斜边上的中线.
2.C
根据AB=AC,AD平分∠BAC,则点D为BC的中点,AD⊥BC,则CD=4,根据直角三角形斜边上的中线的性质可得:
DE=AE,则△CDE的周长=DE+EC+CD=AE+EC+CD=AC+CD=12+4=16.
(1)、等腰三角形的性质;
(2)、直角三角形的性质
3.C
根据等腰三角形的性质可得:
点M的坐标为(0,2);
(0,-2);
(2,0);
(-2,0);
(0,2
);
(0,
)共6个点.
等腰三角形的性质
4.A
根据角平分线的性质可得:
∠OBD=∠OBC,∠OCB=∠OCE,根据平行线的性质可得:
∠OBD=∠DOB,∠OCE=∠COE,则BD=DO,CE=OE,即DE=DO+OE=BD+CE=5.
5.C.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵ED∥BC,∴∠CBD=∠BDE,∴∠ABD=∠BDE,∴BE=DE,△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD,∵AB=3,AD=1,∴△AED的周长=3+1=4.故选C.
等腰三角形的判定与性质;
平行线的性质.
6.2
或2
当∠APB=90°
时(如图1),
∵AO=BO,
∴PO=BO,
∵∠AOC=60°
,
∴∠BOP=60°
∴△BOP为等边三角形,
∵AB=BC=4,
∴AP=ABsin60°
=4×
=2
当∠ABP=90°
时(如图2),
∵∠AOC=∠BOP=60°
∴∠BPO=30°
∴BP=
在直角三角形ABP中,
AP=
情况二:
如图3,∵AO=BO,∠APB=90°
∴PO=AO,
∴△AOP为等边三角形,
∴AP=AO=2,
故答案为:
2
或2.
勾股定理.
7.15°
或30°
或60°
或75°
或150°
根据点P在等边△ABC外部,且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,找出点P的位置,求得∠APC的度数即可.根据点P在等边△ABC外部,且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,作出如下图形:
由图可得:
∠AP1C=15°
,∠AP2C=30°
,∠AP3C=60°
,∠AP4C=75°
,∠AP5C=150°
(1)、等边三角形的性质;
(2)、等腰三角形的性质
8.105°
根据AC=AD可得:
∠CDA=∠A=50°
,则∠ACD=80°
,根据中垂线的性质以及外角的性质可得:
∠B=∠BCD=25°
,则∠ACB=80+25=105°
.
9.5
根据等腰三角形的判定定理可得:
△ADE、△BDE、△BDC、△ABD和△ABC为等腰三角形.
等腰三角形的判定
10.42°
根据AB=AC,∠A=32°
,则∠ABC=∠C=74°
,根据中垂线的性质可得:
∠ABD=32°
,则∠CBD=∠ABC-∠ABD=74°
-32°
=42°
中垂线的性质
11.15°
设∠F=x°
,根据等腰三角形和外角的性质可得:
∠DEC=2x°
,∠ACB=4x°
,根据等边三角形的性质可得:
4x=60°
,则x=15°
,即∠F=15°
12.70°
或110°
本题需要分两种情况来进行讨论,分别画出图形得出答案.两种情况即为锐角三角形和钝角三角形.
(2)、分类讨论思想
13.5
过点P作PE⊥MN,根据等腰三角形底边上的三线合一定理可得ME=
MN=1,根据∠O=60°
可得∠OPE=30°
,则OE=
OP=6,则OM=OE-ME=6-1=5.
勾股定理.
14.10
根据角平分线的性质以及平行线的性质,把△ODE三条边转移到同一条线段BC上,即可解答.
解:
∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线,
∴∠5=∠6,∠1=∠2,
∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠4=∠6,∠1=∠3.
∴∠4=∠5,∠2=∠3,
即OD=BD,OE=CE.
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm.
10.
【点评】此题比较简单,利用的是角平分线的定义,平行线及等腰三角形的性质.
15.
要求EM+CM的最小值,需考虑通过作辅助线转化EM,CM的值,从而找出其最小值求解.
连接BE,与AD交于点M.则BE就是EM+CM的最小值.
取CE中点F,连接DF.
∵等边△ABC的边长为6,AE=2,
∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4,
∴CF=EF=AE=2,
又∵AD是BC边上的中线,
∴DF是△BCE的中位线,
∴BE=2DF,BE∥DF,
又∵E为AF的中点,
∴M为AD的中点,
∴ME是△ADF的中位线,
∴DF=2ME,
∴BE=2DF=4ME,
∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME,
∴BE=
BM.
在直角△BDM中,BD=
BC=3,DM=
AD=
∴BM=
=
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值为
点评:
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.
16.
<x<5.
试题解析:
依题意得:
10-2x-x<x<10-2x+x,
解得
1.等腰三角形的性质;
2.解一元一次不等式组;
3.三角形三边关系.
17.2
作PE⊥OA于E,根据角平分线的性质可得PE=PD,根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°
,由直角三角形中30°
的角所对的直角边等于斜边的一半,可求得PE,即可求得PD.
作PE⊥OA于E,∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵∠BOP=∠AOP=15°
,∴∠AOB=30°
,∵PC∥OB,∴∠ACP=∠AOB=30°
∴在Rt△PCE中,PE=
PC=
×
4=2(在直角三角形中,30°
角所对的直角边等于斜边的一半),
∴PD=PE=2,
(1)角平分线的性质;
(2)含30度角的直角三角形.
18.36
连接BD,
∵AB=AC,∠A=36°
∴∠C=∠ABC=72°
∵BE=BD=BC,
∴∠BDC=72°
∴∠DBC=36°
∴∠EBD=36°
∴∠EDB=72°
∴∠ADE=180°
﹣72°
=36°
36
19.
如图,作EF⊥AB垂足为F,连接CF.
∴∠ABC=60°
∵△EBD是等边三角形,
∴BE=BD,∠EBD=60°
∴∠EBD=∠ABC,
∴∠EBF=∠DBC,
又∵EB=BD,
∴△EBF≌△DBC,
∴BF=BC,EF=CD,
∵∠FBC=60°
∴△BFC是等边三角形,
∴CF=BF=BC,
∵BC=
AB,
∴BF=
∴AF=FB,
∴点E在AB的垂直平分线上,
∴在点D从点A移动至点C的过程中,点E移动的路线和点D运动的路线相等,
∴在点D从点A移动至点C的过程中,点E移动的路线为
等边三角形的性质;
含30度角的直角三角形.
20.10.
因为2+2<4,所以等腰三角形的腰的长度是4,底边长2,周长:
4+4+2=10,答:
它的周长是10,故答案为:
等腰三角形的性质;
三角形三边关系.
21.55.
∵∠AFD=145°
,∴∠CFD=35°
又∵FD⊥BC于D,DE⊥AB于E
∴∠C=180°
-(∠CFD+∠FDC)=55°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=55°
,∴∠A=70°
根据四边形内角和为360°
可得:
∠EDF=360°
-(∠AED+∠AFD+∠A)=55°
∴∠EDF为55°
2.三角形内角和定理.
22.
(1)、10;
(2)、证明过程见解析
(1)、根据等腰直角三角形的性质得出∠BAC=45°
,从而得出∠CAD=30°
,根据垂直得出AC=BC=10;
(2)、过D作DF⊥BC于F,然后证明Rt△DCE和Rt△DCF全等,从而得出CF=CE=5,根据BC=10得出BF=FC,从而得出答案.
(1)、在△ABC中,∵AC=BC,∠ACB=90°
,∴∠BAC=45°
∵∠BAD=15°
,∴∠CAD=30°
.∵CE⊥AD,CE=5,∴AC=10.∴BC=10.
(2)、过D作DF⊥BC于F.在△ADC中,∠CAD=30°
,AD=AC,∴∠ACD=75°
∵∠ACB=90°
,∴∠FCD=15°
.在△ACE中,∠CAE=30°
,CE⊥AD,∴∠ACE=60°
∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°
.∴∠ECD=∠FCD.∴DF=DE.
在Rt△DCE与Rt△DCF中,
∴Rt△DCE≌Rt△DCF.
∴CF=CE=5.∵BC=10,∴BF=FC.∵DF⊥BC,∴BD=CD.
(1)、三角形内角和定理;
(2)、三角形全等的判定与性质
23.
(1)、证明见解析;
(2)、直角三角形、理由见解析;
(3)、不能,理由见解析;
(4)、α=110°
或125°
或140°
(1)、根据△BOC≌△ADC得到OC=DC,结合∠OCD=60°
,从而得出等边三角形;
(2)、根据△BOC≌△ADC,∠α=150°
得到∠ADC=∠BOC=150°
,根据等边三角形得到∠ODC=60°
,从而得出∠ADO=90°
,从而得到三角形的形状;
(3)、由△BOC≌△ADC,得∠ADC=∠BOC=∠α,当△AOD为等边三角形时,则∠ADO=60°
,结合∠ODC=60°
得出∠ADC=120°
,又根据∠AOD=∠DOC=60°
得出∠AOC=120°
,从而求出∠AOC+∠AOB+∠BOC≠360°
,从而得到答案;
(4)、根据△OCD是等边三角形得到∠COD=∠ODC=60°
,根据三角形的性质得出∠ADC=∠BOC=α,∠AOD=190°
-α,∠OAD=50°
,然后分三种情况分别求出α的大小.
(1)、∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC.∵∠OCD=60°
,∴△OCD是等边三角形.
(2)、△AOD是Rt△.理由如下:
∵△OCD是等边三角形,∴∠ODC=60°
,∵△BOC≌△ADC,∠α=150°
,∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°
-60°
=90°
,∴△AOD是Rt△.
(3)、不能理由:
由△BOC≌△ADC,得∠ADC=∠BOC=∠α.
若△AOD为等边三角形,则∠ADO=60°
,又∠ODC=60°
,∴∠ADC=∠α=120°
又∠AOD=∠DOC=60°
,∴∠AOC=120°
,又∵∠AOB=110°
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°
+120°
+110°
=350°
<
360°
.所以△AOD不可能为等边三角形.
(4)、∵△OCD是等边三角形,∴∠COD=∠ODC=60°
.∵∠AOB=110°
,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°
-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°
-110°
-α-60°
=190°
-α,∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°
∴∠OAD=180°
-∠AOD-∠ADO=180°
-(190°
-α)-(α-60°
)=50°
①当∠AOD=∠ADO时,190°
-α=α-60°
,∴α=125°
②当∠AOD=∠OAD时,190°
-α=50°
,∴α=140°
③当∠ADO=∠OAD时,α-60°
=50°
,∴α=110°
综上所述:
当α=110°
时,△AOD是等腰三角形.
(1)、三角形全等;
(2)、分类讨论思想.
24.
(1)、直角三角形;
(2)、△ECD可以是等腰三角形,∠AED=60°
或105°
(1)、由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°
,再由∠ACB=120°
,得到∠ACD=120°
﹣30°
,则△ACD是直角三角形;
(2)、分类讨论:
当∠CDE=∠ECD时,EC=DE;
当∠ECD=∠CED时,CD=DE;
当∠CED=∠CDE时,EC=CD;
然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算.
(1)、∵△ABC中,AC=BC,∴∠A=∠B=
=30°
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=30°
,又∵∠CDE=30°
,∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°
+30°
=60°
∴∠ACD=180°
﹣∠A﹣∠ADC=180°
﹣60°
,∴△ACD是直角三角形;
(2)、△ECD可以是等腰三角形.理由如下:
①当∠CDE=∠ECD时,EC=DE,∴∠ECD=∠CDE=30°
,∵∠AED=∠ECD+∠CDE,∴∠AED=60°
②当∠ECD=∠CED时,CD=DE,∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°
∴∠CED=
=75°
,∴∠AED=180°
﹣∠CED=105°
③当∠CED=∠CDE时,EC=CD,∠ACD=180°
﹣∠CED﹣∠CDE=180°
=120°
∵∠ACB=120°
,∴此时,点D与点B重合,不合题意.
综上,△ECD可以是等腰三角形,此时∠AED的度数为60°
(2)、分类讨论思想的运用;
(3)、等腰三角形的判定与性质.
25.证明过程见解析.
首先可判断△ABC是等腰直角三角形,连接CD,根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF,继而可得出结论.
如图,连接CD.∵BC=AC,∠BCA=90°
∴△ABC是等腰直角三角形∵D为AB中点
∴BD=CD=AD,CD平分∠BCA,CD⊥AB∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°
∴∠A=∠FCD
∵∠CDF+∠CDE=90°
∠CDE+∠ADE=90°
∴∠ADE=∠CDF,在△ADE和△CFD中,
∵∠A=∠FCD,AD=CD,∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CFD(ASA)∴DE=DF.
(1)、全等三角形的判定与性质;
(2)、等腰直角三角形.
26.∠BAD=20°
∠EDC=30°
根据DE⊥AC,AD=AE,∠DAE=80°
得出∠ADE=∠E=50°
,∠DAF=∠EAF=40°
,根据等边三角形的性质得出∠BAD的度数,根据三角形内角和定理得出∠EDC的度数.
当DE⊥AC时,∵AD=AE,∠DAE=80°
∴∠ADE=∠E=50°
∠DAF=∠EAF=40°
∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°
∴∠BAD=60°
﹣40°
=20°
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC∴60°
+20°
+∠EDC∴∠EDC=30°
三角形内角和定理
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