离散数学第一章命题逻辑知识点总结Word格式文档下载.docx
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张辉是三好学生,s:
王丽是三好学生
(4)r∧s.
(5)令t:
张辉与王丽是同学,t是简单命题.
说明:
(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.
(5)中“与”联结的是两个名词,整个句子是一个简单命题.
3.析取式与析取联结词“∨”
定义设p,q为二命题,复合命题“p或q”称作p与q的析取式,记作p∨q.∨称作析取联结词,并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例将下列命题符号化
(1)2或4是素数.
(2)2或3是素数.
(3)4或6是素数.
(4)小元元只能拿一个苹果或一个梨.
(5)王晓红生于1975年或1976年.
解令p:
2是素数,q:
3是素数,r:
4是素数,s:
6是素数,
则
(1),
(2),(3)均为相容或.
分别符号化为:
p∨r,p∨q,r∨s,
它们的真值分别为1,1,0.
而(4),(5)为排斥或.
令t:
小元元拿一个苹果,u:
小元元拿一个梨,
则(4)符号化为(t∧⌝u)∨(⌝t∧u).
令v:
王晓红生于1975年,w:
王晓红生于1976年,则(5)既可符号化为(v∧⌝w)∨(⌝v∧w),又可符号化为v∨w,为什么
4.蕴涵式与蕴涵联结词“”
定义设p,q为二命题,复合命题“如果p,则q”称作p与q的蕴涵式,记作p→q,并称p是蕴涵式的前件,q为蕴涵式的后件.→称作蕴涵联结词,并规定,p→q为假当且仅当p为真q为假.
p→q的逻辑关系:
q为p的必要条件
“如果p,则q”的不同表述法很多:
若p,就q
只要p,就q
p仅当q
只有q才p
除非q,才p或除非q,否则非p.
当p为假时,p→q为真
常出现的错误:
不分充分与必要条件
5.等价式与等价联结词“”
定义设p,q为二命题,复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式,记作p↔q.↔称作等价联结词.并规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.
(1)p↔q的逻辑关系:
p与q互为充分必要条件
(2)p↔q为真当且仅当p与q同真或同假
联结词优先级:
(),⌝,∧,∨,→,↔
同级按从左到右的顺序进行
以上给出了5个联结词:
⌝,∧,∨,→,↔,组成
一个联结词集合{⌝,∧,∨,→,↔},
联结词的优先顺序为:
⌝,∧,∨,→,↔;
如果出
现的联结词同级,又无括号时,则按从左到右
的顺序运算;
若遇有括号时,应该先进行括号
中的运算.
本书中使用的括号全为园括号.
⏹命题常项
⏹命题变项
1.2命题公式及分类
▪命题变项与合式公式
▪命题常项:
▪命题变项:
真值不确定的陈述句
▪定义合式公式(命题公式,公式)递归定义如下:
▪
(1)单个命题常项或变项p,q,r,…,pi,qi,ri,…,0,1
▪是合式公式
▪
(2)若A是合式公式,则(⌝A)也是合式公式
▪(3)若A,B是合式公式,则(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是合式公式
▪(4)只有有限次地应用
(1)~(3)形成的符号串才是合式公式
▪说明:
元语言与对象语言,外层括号可以省去
合式公式的层次
定义
(1)若公式A是单个的命题变项,则称A为0层公式.
(2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一:
(a)A=⌝B,B是n层公式;
(b)A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且
n=max(i,j);
(c)A=B∨C,其中B,C的层次及n同(b);
(d)A=B→C,其中B,C的层次及n同(b);
(e)A=B↔C,其中B,C的层次及n同(b).
例如公式
p0层
⌝p1层
⌝p→q2层
⌝(p→q)↔r3层
((⌝p∧q)→r)↔(⌝r∨s)4层
▪公式的赋值
▪定义给公式A中的命题变项p1,p2,…,pn指定
▪一组真值称为对A的一个赋值或解释
▪成真赋值:
使公式为真的赋值
▪成假赋值:
使公式为假的赋值
▪说明:
▪赋值α=α1α2…αn之间不加标点符号,αi=0或1.
▪A中仅出现p1,p2,…,pn,给A赋值α1α2…αn是
▪指p1=α1,p2=α2,…,pn=αn
▪A中仅出现p,q,r,…,给A赋值α1α2α3…是指
▪p=α1,q=α2,r=α3…
▪含n个变项的公式有2n个赋值.
▪真值表
真值表:
公式A在所有赋值下的取值情况列成的表
例给出公式的真值表
A=(q→p)∧q→p的真值表
例B=⌝(⌝p∨q)∧q的真值表
例C=(p∨q)→⌝r的真值表
命题的分类
重言式
矛盾式
可满足式
定义设A为一个命题公式
(1)若A无成假赋值,则称A为重言式(也称永真式)
(2)若A无成真赋值,则称A为矛盾式(也称永假式)
(3)若A不是矛盾式,则称A为可满足式
重言式是可满足式,但反之不真.
上例中A为重言式,B为矛盾式,C为可满足式
A=(q→p)∧q→p,B=⌝(⌝p∨q)∧q,C=(p∨q)→⌝r
1.3等值演算
⏹等值式
定义若等价式A↔B是重言式,则称A与B等值,
记作A⇔B,并称A⇔B是等值式
说明:
定义中,A,B,⇔均为元语言符号,A或B中
可能有哑元出现.
例如,在(p→q)⇔((⌝p∨q)∨(⌝r∧r))中,r为左边
公式的哑元.
用真值表可验证两个公式是否等值
请验证:
p→(q→r)⇔(p∧q)→r
p→(q→r)(p→q)→r
⏹基本等值式
双重否定律:
⌝⌝A⇔A
等幂律:
A∨A⇔A,A∧A⇔A
交换律:
A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A
结合律:
(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)
(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)
分配律:
A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)
A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)
德·
摩根律:
⌝(A∨B)⇔⌝A∧⌝B
⌝(A∧B)⇔⌝A∨⌝B
吸收律:
A∨(A∧B)⇔A,A∧(A∨B)⇔A
零律:
A∨1⇔1,A∧0⇔0
同一律:
A∨0⇔A,A∧1⇔A
排中律:
A∨⌝A⇔1
矛盾律:
A∧⌝A⇔0
⏹等值演算:
由已知的等值式推演出新的等值式的过程
置换规则:
若A⇔B,则Φ(B)⇔Φ(A)
等值演算的基础:
(1)等值关系的性质:
自反、对称、传递
(2)基本的等值式
(3)置换规则
应用举例——证明两个公式等值
例1证明p→(q→r)⇔(p∧q)→r
证p→(q→r)
⇔⌝p∨(⌝q∨r)(蕴涵等值式,置换规则)
⇔(⌝p∨⌝q)∨r(结合律,置换规则)
⇔⌝(p∧q)∨r(德⋅摩根律,置换规则)
⇔(p∧q)→r(蕴涵等值式,置换规则)
也可以从右边开始演算(请做一遍)
因为每一步都用置换规则,故可不写出
熟练后,基本等值式也可以不写出
应用举例——证明两个公式不等值
例2证明:
用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两
个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成
真,另一个成假.
方法一真值表法(自己证)
方法二观察赋值法.容易看出000,010等是左边的
的成真赋值,是右边的成假赋值.
方法三用等值演算先化简两个公式,再观察.
应用举例——判断公式类型
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1)q∧⌝(p→q)
解q∧⌝(p→q)
⇔q∧⌝(⌝p∨q)(蕴涵等值式)
⇔q∧(p∧⌝q)(德⋅摩根律)
⇔p∧(q∧⌝q)(交换律,结合律)
⇔p∧0(矛盾律)
⇔0(零律)
由最后一步可知,该式为矛盾式.
(2)(p→q)↔(⌝q→⌝p)
解(p→q)↔(⌝q→⌝p)
⇔(⌝p∨q)↔(q∨⌝p)(蕴涵等值式)
⇔(⌝p∨q)↔(⌝p∨q)(交换律)
⇔1
由最后一步可知,该式为重言式.
问:
最后一步为什么等值于1
(3)((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)
解((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)
⇔(p∧(q∨⌝q))∧r(分配律)
⇔p∧1∧r(排中律)
⇔p∧r(同一律)
这不是矛盾式,也不是重言式,而是非重言式的可
满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.
总结:
A为矛盾式当且仅当A⇔0
A为重言式当且仅当A⇔1
演算步骤不惟一,应尽量使演算短些
1.5对偶与范式
对偶式与对偶原理
定义在仅含有联结词⌝,∧,∨的命题公式A中,将
∨换成∧,∧换成∨,若A中含有0或1,就将0换成
1,1换成0,所得命题公式称为A的对偶式,记为A*.
从定义不难看出,(A*)*还原成A
定理设A和A*互为对偶式,p1,p2,…,pn是出现在A和
A*中的全部命题变项,将A和A*写成n元函数形式,
则
(1)⌝A(p1,p2,…,pn)⇔A*(⌝p1,⌝p2,…,⌝pn)
(2)A(⌝p1,⌝p2,…,⌝pn)⇔⌝A*(p1,p2,…,pn)
定理(对偶原理)设A,B为两个命题公式,
若A⇔B,则A*⇔B*.
析取范式与合取范式
文字:
命题变项及其否定的总称
简单析取式:
有限个文字构成的析取式
如p,⌝q,p∨⌝q,p∨q∨r,…
简单合取式:
有限个文字构成的合取式
如p,⌝q,p∧⌝q,p∧q∧r,…
析取范式:
由有限个简单合取式组成的析取式
A1∨A2∨⋯∨Ar,其中A1,A2,⋯,Ar是简单合取式
合取范式:
由有限个简单析取式组成的合取式
A1∧A2∧⋯∧Ar,其中A1,A2,⋯,Ar是简单析取式
范式:
析取范式与合取范式的总称
公式A的析取范式:
与A等值的析取范式
公式A的合取范式:
与A等值的合取范式
单个文字既是简单析取式,又是简单合取式
p∧⌝q∧r,⌝p∨q∨⌝r既是析取范式,又是合取范式
(为什么)
命题公式的范式
定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式
与合取范式.
求公式A的范式的步骤:
(1)消去A中的→,↔(若存在)
(2)否定联结词⌝的内移或消去
(3)使用分配律
∧对∨分配(析取范式)
∨对∧分配(合取范式)
公式的范式存在,但不惟一
求公式的范式举例
例求下列公式的析取范式与合取范式
(1)A=(p→⌝q)∨⌝r
解(p→⌝q)∨⌝r
⇔(⌝p∨⌝q)∨⌝r(消去→)
⇔⌝p∨⌝q∨⌝r(结合律)
这既是A的析取范式(由3个简单合取式组成的析
取式),又是A的合取范式(由一个简单析取式
组成的合取式)
(2)B=(p→⌝q)→r
解(p→⌝q)→r
⇔(⌝p∨⌝q)→r(消去第一个→)
⇔⌝(⌝p∨⌝q)∨r(消去第二个→)
⇔(p∧q)∨r(否定号内移——德⋅摩根律)
这一步已为析取范式(两个简单合取式构成)
继续:
(p∧q)∨r
⇔(p∨r)∧(q∨r)(∨对∧分配律)
这一步得到合取范式(由两个简单析取式构成)
极小项与极大项
定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,
若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一
次,而且第i(1≤i≤n)个文字出现在左起第i位上,称这样
的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).
n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项
2n个极小项(极大项)均互不等值
用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十进制表示.用Mi表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋值的十进制表示,mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称.
mi与Mi的关系:
⌝mi⇔Mi,⌝Mi⇔mi
主析取范式与主合取范式
主析取范式:
由极小项构成的析取范式
主合取范式:
由极大项构成的合取范式
例如,n=3,命题变项为p,q,r时,
(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)⇔m1∨m3是主析取范式
(p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨⌝r)⇔M1∧M5是主合取范式
A的主析取范式:
与A等值的主析取范式
A的主合取范式:
与A等值的主合取范式.
定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范
式和主合取范式,并且是惟一的.
用等值演算法求公式的主范式的步骤:
(1)先求析取范式(合取范式)
(2)将不是极小项(极大项)的简单合取式(简
单析取式)化成与之等值的若干个极小项的析
取(极大项的合取),需要利用同一律(零
律)、排中律(矛盾律)、分配律、幂等律等.
(3)极小项(极大项)用名称mi(Mi)表示,并
按角标从小到大顺序排序.
求公式的主范式
例求公式A=(p→⌝q)→r的主析取范式与主合
取范式.
(1)求主析取范式
(p→⌝q)→r
⇔(p∧q)∨r,(析取范式)①
(p∧q)
⇔(p∧q)∧(⌝r∨r)
⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)
⇔m6∨m7,
r
⇔(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r
⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)
⇔m1∨m3∨m5∨m7③
②,③代入①并排序,得
(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7(主析取范式)
(2)求A的主合取范式
⇔(p∨r)∧(q∨r),(合取范式)①
p∨r
⇔p∨(q∧⌝q)∨r
⇔(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)
⇔M0∧M2,②
q∨r
⇔(p∧⌝p)∨q∨r
⇔(p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)
⇔M0∧M4③
(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4(主合取范式)
主范式的用途——与真值表相同
(1)求公式的成真赋值和成假赋值
例如(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7,
其成真赋值为001,011,101,110,111,
其余的赋值000,010,100为成假赋值.
类似地,由主合取范式也可立即求出成
假赋值和成真赋值.
(2)判断公式的类型
设A含n个命题变项,则
A为重言式⇔A的主析取范式含2n个极小项
⇔A的主合取范式为1.
A为矛盾式⇔A的主析取范式为0
⇔A的主合取范式含2n个极大项
A为非重言式的可满足式
⇔A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项
⇔A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项
例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕
业的大学生中选派一些人出国学习.选派必须
满足以下条件:
(1)若赵去,钱也去;
(2)李、周两人中至少有一人去;
(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人;
(4)孙、李两人同去或同不去;
(5)若周去,则赵、钱也去.
试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出
国?
解此类问题的步骤为:
①将简单命题符号化
②写出各复合命题
③写出由②中复合命题组成的合取式
④求③中所得公式的主析取范式
解①设p:
派赵去,q:
派钱去,r:
派孙去,
s:
派李去,u:
派周去.
②
(1)(p→q)
(2)(s∨u)
(3)((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))
(4)((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))
(5)(u→(p∧q))
③
(1)~(5)构成的合取式为
A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧
((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))∧(u→(p∧q))
④A⇔(⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)
结论:
由④可知,A的成真赋值为00110与11001,
因而派孙、李去(赵、钱、周不去)或派赵、钱、
周去(孙、李不去).
A的演算过程如下:
A⇔(⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧(s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))∧
((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))(交换律)
B1=(⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))
⇔((⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(q∧⌝r))(分配律)
B2=(s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))
⇔((s∧⌝u)∨(p∧q∧s)∨(p∧q∧u))(分配律)
B1∧B2⇔(⌝p∧q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)
∨(q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧s)∨(p∧q∧⌝r∧u)
再令B3=((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))
得A⇔B1∧B2∧B3
⇔(⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)
在以上演算中多次用矛盾律
要求:
自己演算一遍
1.6推理理论
推理的形式结构
推理的形式结构—问题的引入
推理举例:
(1)正项级数收敛当且仅当部分和有上界.
(2)若
推理:
从前提出发推出结论的思维过程
上面
(1)是正确的推理,而
(2)是错误的推理.
证明:
描述推理正确的过程.
判断推理是否正确的方法
•真值表法
•等值演算法判断推理是否正确
•主析取范式法
•构造证明法证明推理正确
说明:
当命题变项比较少时,用前3个方法比较方
便,此时采用形式结构“
”.而在构
造证明时,采用“前提:
结论:
B”.
推理定律与推理规则
推理定律——重言蕴涵式
构造证明——直接证明法
例构造下面推理的证明:
若明天是星期一或星期三,我就有课.若有课,今天必备课.我今天下午没备课.所以,
明天不是星期一和星期三.
解
设p:
明天是星期一,q:
明天是星期三,
r:
我有课,s:
我备课
推理的形式结构为
例构造下面推理的证明:
2是素数或合数.若2是素数,则是无理数.
若是无理数,则4不是素数.所以,如果4是
素数,则2是合数.
用附加前提证明法构造证明
解设p:
2是素数,q:
2是合数,
是无理数,s:
4是素数
前提:
p∨q,p→r,r→⌝s
结论:
s→q
证明
①s附加前提引入
②p→r前提引入
③r→⌝s前提引入
④p→⌝s②③假言三段论
⑤⌝p①④拒取式
⑥p∨q前提引入
⑦q⑤⑥析取三段论
请用直接证明法证明之
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- 离散数学 第一章 命题逻辑 知识点 总结
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