第一章随机事件及其概率习题可编辑修改word版Word格式文档下载.docx
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216
则P(A)=0.25?
?
.
10.已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6,及条件概率
P(B|A)=0.8,则和事件A+B的概率P(A+B)=0.7.
12.假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随机取一件结果不是
2
三等品,则取到一等品的概率为.
3
13.已知P(A)=a,P(B|A)=b,则P(AB)=a-ab.
14.
一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为
次品的概率1.
6
212
15.
甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是,
率为2/5.
,三人中恰好有两人合格的概
25
16.一次试验中事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概
率为1-(1-p)n
;
A至多发生一次的概率为
(1-p)n+np(1-p)n-1.
17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是甲中的概率为0.75.
二、选择题
1.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”则其对立事件A为(D).
(A)“甲种产品畅销,乙种产品滞销”;
(B)“甲、乙两种产品均畅销”;
(C)“甲种产品滞销”;
(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.
2.对于任意二事件A和B,与AB=B不等价的是(D).
(A)
A⊂B;
(B)
B⊂A;
(C)
AB=Φ;
(D)
AB=Φ.
3.如果事件A,B有B⊂A,则下述结论正确的是(C).
(A)A与B同时发生;
(B)A发生,B必发生;
(C)A不发生B必不发生;
(D)B不发生A必不发生.
4.A表示“五个产品全是合格品”,B表示“五个产品恰有一个废品”,C表示“五个产品不全是合格品”,则下述结论正确的是(B).
A=B;
A=C;
B=C;
(D)
A=B-C.
5.若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0则(C).
(A)A和B不相容;
(B)AB是不可能事件;
(C)AB未必是不可能事件;
(D)P(A)=0或P(B)=0.
6.对于任意二事件A和B有P(A-B)=
(C).
(A)P(A)-P(B);
(B)P(A)-P(B)+P(AB);
(C)P(A)-P(AB);
(D)P(A)+P(B)+P(B)-P(AB).
8.设A,B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的(D).
(A)
A与B不相容;
(B)A与B相容;
(C)P(AB)=P(A)P(B);
(D)P(A−B)=P(A).
9.当事件A、B同时发生时,事件C必发生则(B).
(C)
P(C)≤P(A)+P(B)-1;
P(C)=P(AB);
P(C)≥P(A)+P(B)-1;
P(C)=P(A+B).
10.设A,B为两随机事件,且B⊂A,则下列式子正确的是(A).
(A)P(A+B)=P(A);
(B)P(AB)=P(A);
P(B|A)=P(B);
P(B-A)=P(B)-P(A).
11.设A、B、C是三随机事件,且P(C)>
0,则下列等式成立的是(B).
(A)P(A|C)+P(A|C)=1;
(B)P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C);
(C)P(A|C)+P(A|C)=1;
(D)P(AB|C)=P(A|C)P(B|C).
12.设A,B是任意两事件,且A⊂B,P(B)>
0,则下列选项必然成立的是(B).
P(A)<
P(A|B);
P(A)>
P(A)≤P(A|B);
P(A)≥P(A|B).
13.设A,B是任意二事件,且P(B)>
0,P(A|B)=1,则必有(C).
P(A+B)>
P(A);
P(B);
P(A+B)=P(A);
P(A+B)=P(B).
14.袋中有5个球,其中2个白球和3个黑球,又有5个人依次从袋中任取一球,取后
不放回,则第二人取到白球的概率为(D).
(A)
1;
(B)2;
(C)1;
(D)2.
4455
15.设0<
P(A)<
1,0<
P(B)<
1,P(A|B)+P(A|B)=1,则
(D).
(A)事件A和B互不相容;
(B)事件A和B互相对立;
(C)事件A和B互不独立;
(D)事件A和B相互独立.
16.某人向同一目标重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<
p<
1),则此人第4
次射击恰好第2次命中目标的概率为(C).
(A)3p(1-p)2;
(B)6p(1-p)2;
(C)3p2(1-p)2;
(D)6p2(1-p)2.
三、解答题
1.写出下列随机实验样本空间:
(1)同时掷出三颗骰子,记录三只骰子总数之和;
(2)10只产品中有3次产品,每次从中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取的次数;
(3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
(4)将一尺之棰折成三段,观察各段的长度.
解1
(1){3,4,5,,18};
(2){3,4,5,,10};
(3)查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,
{00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111};
(4){(x,y,z)|x>
0,y>
0,z>
0,x+y+z=1}其中x,y,z分别表示三段之长.
2.设A,B,C为三事件,用A,B,C运算关系表示下列事件:
(1)A发生,B和C不发生;
(2)A与B都发生,而C不发生;
(3)A,B,C均发生;
(4)A,B,C至少一个不发生;
(5)A,B,C都不发生;
(6)A,B,C最多一个发生;
(7)A,B,C中不多于二个发生;
(8)A,B,C中至少二个发生.
解
(1)ABC或A-(AB+AC)或A-(B+C);
(2)ABC或AB-ABC或AB-C;
(3)
ABC;
(4)A+B+C;
(5)ABC或A+B+C;
(6)ABC+ABC+ABC+ABC;
(7)ABC;
(8)AB+AC+BC.
3.下面各式说明什么包含关系?
(1)
AB=A
(2)
A+B=A;
(3)
A+B+C=A
解
(1)A⊂B;
(2)A⊃B;
(3)A⊃B+C
4.设Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={2,3,4},B={3,4,5},C={5,6,7}具体写出下列各事件:
AB,
(2)
A+B,(3)
AB,(4)
ABC,(5)A(B+C).
解
(1){5};
(2){1,3,4,5,6,7,8,9,10};
(3){2,3,4,5};
(4){1,5,6,7,8,9,10};
(5){1,2,5,6,7,8,9,10}.
5.从数字1,2,3,…,10中任意取3个数字,
(1)求最小的数字为5的概率;
记“最小的数字为5”为事件A
10
∵10个数字中任选3个为一组:
选法有C3种,且每种选法等可能.
又事件A相当于:
有一个数字为5,其余2个数字大于5。
这种组合的种数有1⨯C2
1⨯C21
∴P(A)=5=.
1012
(2)求最大的数字为5的概率。
4
记“最大的数字为5”为事件B,同上10个数字中任选3个,选法有C3种,且每种选法等可能,又事件B相当于:
有一个数字为5,其余2数字小于5,选法有1⨯C2种
P(B)=4=.
1020
6.
从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则A表“4只人不配对”
∵从10只中任取4只,取法有⎛ç
10⎫⎪种,每种取法等可能。
⎝⎭
要4只都不配对,可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取一只。
取法有⎛ç
5⎫⎪⨯24
C4⋅248
∴P(A)=5=
1021
P(A)=1-P(A)=1-
8=13.
2121
7.试证P(AB+AB)=P(A)+P(B)-2P(AB).
。
8.已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。
(1)两只都是正品;
(2)两只都是次品;
(3)一只是正品,一只是次品;
(4)至少一只是正品。
解
(1)
C2
p=8=
28;
45
(2)
C21
p=2=
1045
C1C1
p=82=
16;
(4)
p4=1-p2
=1-
1=44.
4545
9.把10本书任意放在书架上,求其中指定的5本书放在一起的概率。
解所求概率
p=6!
⨯5!
=1.
10!
42
10.某学生宿舍有8名学生,问
(1)8人生日都在星期天的概率是多少?
(2)8人生日都不在星期天的概率是多少?
(3)8人生日不都在星期天的概率是多少?
1⎛1⎫8
p1=78=ç
7⎪;
68⎛6⎫8
p2=78=ç
(3)p3=1-78=1-ç
7⎪.
⎝⎭⎝⎭
11.从0~9中任取4个数构成电话号码(可重复取)求:
(1)有2个电话号码相同,另2个电话号码不同的概率p;
(2)取的至少有3个电话号码相同的概率q.
C1C2A2
p=1049=0.432;
104
C1C3A1+C1
q=104910=0.037.
12.随机地将15名新生平均分配到三个班中,这15名新生有3名优秀生.求
(1)每个班各分一名优秀生的概率p
(2)3名优秀生在同一个班的概率q.
解基本事件总数有
15!
种
5!
(1)每个班各分一名优秀生有3!
种,对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分
法总数为
12!
种,所以共有
3!
.所以p=4!
4!
=25.
种分法
91
(2)3名优秀生分配到同一个班,分法有3种,对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中
3⨯12!
分法总数为
共有3⨯12!
所以q=2!
=6.
2!
种
13.在单位园内随机地取一点Q,试求以Q为中点的弦长超过1的概率.
解:
在单位园内任取一点Q,并记Q点的坐标为(x,y),由题意得样本空间
Ω={(x,y)x2+y2<
1},记事件A为“以Q为中心的弦长超过1”,则事件
⎧⎪()(2
)⎛1⎫2⎫⎪
⎧()2
23⎫
A=⎨x,y1-x+y
>
ç
⎪
⎬,即A=⎨x,yx+y
<
4⎬
⎪⎩
由几何概率计算公式得
⎝⎭⎪⎭
⎩⎭
⨯3
P(A)=4=3.
⨯14
14.设A,B是两事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问
(1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少?
(2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?
解:
由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知AB≠φ,(否则AB=φ依互斥事件加法定理,
P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>
1与P(A∪B)≤1矛盾).
从而由加法定理得
P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)(*)
(1)从0≤P(AB)≤P(A)知,当AB=A,即A∩B时P(AB)取到最大值,最大值为P(AB)=P(A)=0.6,
(2)从(*)式知,当A∪B=Ω时,P(AB)取最小值,最小值为
P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.
15.设A,B是两事件,证明:
P AB+AB =P
A)+P(B)-2P(AB)
证P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)-P(ABAB)=P(A-B)+P(B-A)
=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB).
16.某门课只有通过口试及笔试两种考试,方可结业.某学生通过口试概率为80%,通
过笔试的概率为65%,至少通过两者之一的概率为75%,问该学生这门课结业的可能性有多大?
解A=“他通过口试”,B=“他通过笔试”,则P(A)=0.8,P(B)=0.65,P(A+B)=0.75
P(AB)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.8+0.65−0.75=0.70
即该学生这门课结业的可能性为70%.
17.某地有甲、乙、丙三种报纸,该地成年人中有20%读甲报,16%读乙报,14%读丙报,其中8%兼读甲和乙报,5%兼读甲和丙报,4%兼读乙和丙报,又有2%兼读所有报纸,问成年人至少读一种报纸的概率.
解设A,B,C分别表示读甲,乙,丙报纸
P(A+B+C)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
=0.2+0.16+0.14-0.08-0.05-0.04+0.02=0.35.
18.已知P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1
416
,求事件A,B,C全不发
生的概率.
解P(ABC)=P(A+B+C)=1-P(A+B+C)
=1-[P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)]=1-⎡3-1⎤=3
⎢⎣48⎥⎦8.
19.某厂的产品中有4%的废品,在100件合格品在有75件一等品,试求在该产品任取一件的是一等品的概率.
解令A=“任取一件是合格品”,B=“任取一件是一等品”
P(AB)=P(A)P(B|A)=(1-0.04)⨯0.75=0.72.
20.在100个次品中有10个次品,每次从任取一个(不放回),求直到第4次才取到正品的概率.
解Ai=“第i次取到正品”i
=1,2,3,4.
P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)
=10⨯
9⨯8⨯90=0.00069
100999897
21.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?
记H表拨号不超过三次而能接通,Ai表第i次拨号能接通.
注意:
第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码.
H=A1+A1A2+A1A2A3
∴P(H)=P(A1)+P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=1+
9⨯1+
9⨯8⨯1=3.
10109109810
22.若P(A)>
0,P(B)>
0,且P(A|B)>
P(A),证明P(B|A)>
P(B).
证因为
P(A|B)>
P(A),则
P(AB)>
P(A)⇒P(AB)>
P(A)P(B)P(B)
所以P(B|A)=P(AB)>
P(A)P(B)=P(B).
P(A)P(A)
23.证明事件A与B互不相容,且0<
1,则P(A|B)=
P(A)。
1-P(B)
证P(A|B)=P(AB)=
P(B)
P(A).。
24.设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3
箱、2箱,三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3,从这10箱中任取一箱,再从这箱中任
取一件产品,求取得正品的概率.
解设A={取得的产品为正品},
Bi,i=1,2,3分别为甲、乙、丙三厂的产品
P(B1)=0.5
,P(B2)=0.3,
P(B3)=0.2,
P(A|B1)=0.9,
P(A|B2)=0.8,P(A|B3)=0.7
所以P(A)=∑
i=1
P(B)P(A
B)=0.83.
25.某一工厂有A,B,C三个车间生产同一型号螺钉,每个车间的产量分别占该厂螺钉总
产量的25%、35%、40%,每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5%、4%、2%,如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品,问它是A,B,C车间生产的概率.
解A、B、C分别表示A、B、C三车间生产的螺钉,D=“表示次品螺钉”
P(A)=25%
P(D|A)=5%
P(B)=35%
P(D|B)=4%
P(C)=45%
P(D|C)=2%
P(AD)=P(A)P(DA)
PD
P(A)P(DA)
25⨯525
=P(A)P(DA)+P(B)P(DB)+P(C)P(DC)=25⨯5+35⨯4+40⨯2=69
同理P(B|D)=28
69
P(C|D)=16.
26.已知男人中有5%的色盲患者,女人中有0.25%的色盲患者,今从男女人数中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
解B={从人群中任取一人是男性},A={色盲患者}
因为P(B)=P(B)=0.5
P(A|B)=5%,P(A|B)=0.25%
P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=0.5⨯0.05+0.5⨯0.0025=0.02625
所以P(B|A)=P(B)
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