第十章++滞后变量回归模型Word文档格式.docx

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为了具体说明这种滞后关系，我们看一些实例。

1（消费滞后假如一个消费者从今年起每年工资增加2000元，并将持续一段时间。

他的消费行为将受到怎样的影响呢,一般来说，他不会把当年增加的收入全部花光。

很可能是，他把每增加的2000元当年花掉800元，第二年花掉600元，第三年花掉400元，余下的永久储蓄起来。

这样到第三年，他的消费增加额将是1800元。

这样的消费函数写下就是Y=C+0.4X+0.3X+0.2X+ε（10.1.1）ttt?

2t这里Y是消费开支，C是常数，X是收入。

一般地，有限分布滞后模型可以写作Y=α+βX+βX+βX+L+βX+ε（10.1.2）t0t1t?

2kt?

kt这里分布滞后k个时段。

系数β称作短期系数，因为它给出X对Y同期线性作用大小。

如果0X的改变维持不变，

那么（β+β）给出Y在下一周期的改变，（β+β+β）给出再下一周01012期的改

变，等等。

这些部分和称作中期乘子。

最后，经过k个周期，我们得到kβ=β+

β（10.1.3）?

i01ki=0β称为长期分布滞后乘子。

类似地，无β+L+β=

限分布滞后模型可以写作462

Y=α+βX+βX+βX+L+ε（10.1.4）t0t1t?

2t它不需要确定分布

滞后长度，反而数学处理方便一些。

如果定义ββiiω==

（10.1.5）iββ?

i则ω表示一种标准化系数，ω=1。

于是可以将分布滞后模

型改写为i?

iY=α+βωX+ε（10.1.6）t?

it?

it2（通胀滞后经济理

论认为通货膨胀是一种基本的金融现象，因为在持续的经济增长中货币供给量总

会超过实际需求。

当然，通货膨胀与货币供应量的改变之间的联系不是实时的，

总会滞后一个时期。

研究显示二者之间大致滞后3,20个季度。

下表摘自Keith

M.Carlson（1980）的研究报告:

“货币供应对价格的滞后关系”。

样本周期自1955

年第一季度至1969年第四季度，共60个季度。

滞后周期取作20（季度）。

滞后

方程是20P=?

0.146+mMt?

ii=0表10.1.1系数值t值系数值t值

m0.0411.276m0.0654.673011m0.0341.538m0.0694.795112m0.0301.903m0.0724.694213m0.0292.171m0.0734.468314m0.0302.235m0.0724.202415m0.0332.294m0.0693.943516m0.0372.475m0.0623.712617m0.0422.798m0.0533.511718m0.0483.249m0.0393.388819m0.0543.783m0.0223.191920?

m0.0594.3051.0317.87010mi方程中M是货币M1B供应量（通货净额+

存款货币）改变的百分数，P是物价上涨的百分数。

从长期来看，?

=1.031?

1，

它是统计显著的（t=7.870&

gt;

t（20）=2.528），意味着货币供m0.01i应量每增加

1%，价格也相应上涨了1%。

从短期看，m=0.041意味着货币供应量每增加1%，0463

当年物价上涨0.041%。

表10.1.1是美国五、六十年代的数据，对我们只有参考价值。

不过懂得通胀滞后对宏观调控的掌握是很重要的。

3（存款创生假如央行给银行系统注入1000亿元，那么银行的储蓄总额最终可达多少呢,假如法律要求银行必须留下20%作保证金，那么银行第一次可以贷出800亿元。

这800亿元在银行外流通一段时间后，必然又会被存回银行。

银行对这800亿元新到的存款除留下20%作保证金外，可将其余的640亿元再贷出去，这贷出去的存款又会被别人存回银行，如此等等，最终，根据著名的乘数法则，银行储蓄总额会达

11000?

=5000（亿元）1?

0.8用滞后模型描述就是:

Y=X+βX+βX+βX+L+到:

βX+Ltttt?

2t?

k23k?

1=X+βX+βX+βX+L+βX+Lttttt这里X=1000（亿元），β=0.8。

当然这个5000亿不是一夜之间变出来的，它要经过一段时间。

t这几个例子只是经济指标之间滞后关系的一部分代表。

为什么会发生滞后呢,当然主要是技术上的原因。

生产过程是一环套一环的，只有等上一程序完成，才能进行下一程序。

资本、技术、新产品的扩散，都需要时间。

除此之外，人们的心理因素与社会习惯势力也起着滞后作用，新事物、新方法、新产品都需要示范使人信服才能普遍被接受。

经济制度包括财政税收制度也使滞后现象成为必然。

当然这些情况在本书不作细致讨论。

第二节有限分布滞后模型一、滞后长度已知时模型的估计若要估计分布滞后模型

Y=α+βX+L+βX+ε（10.2.1）t0tNt?

Nt这里N已知，称作滞后长度，可以使用标准记法Y=Xβ+

ε（10.2.2）这里464

Y1XXLXαε?

110?

N+11?

Y1XXLXβε?

221?

N+202Y=,X=,β=,ε=（10.2.3）?

MLLMM?

Y1XXLX

βεTTT?

1T?

T?

注意矩阵X里包含前定样本值X,X,L,X，假定这N个观察也是可供利用?

N+1?

N+202的。

如果ε也满足标准假设，即ε~N（0,σI），X被看作固定的，非随机的，那么基于样t?

1?

本信息Y与X，β的最小二乘估计为β=（X&

#039;

X）X&

Y，它是β的无偏估计。

这样估计在分布滞后模型里存在一些问题。

首先，在实际问题中滞后长度N很少已知。

（M）（M）如果将

将不是有效01M某个上界M代替N（M&

N），则β的LSE[β=（α,β,β,L,β）]

估计，因为它忽略了限制β=β=L=β=0。

这个问题我们放到下段解决。

N+1N+2M第二个问题是X的某些列向量可能线性相关。

这是一个典型的线性重合问题。

如果分布滞后长度N较短，比如是3或4，那么线性重合问题可能不严重。

然而实际问题N=10并不少见，如果X改变量不大，或者移动有规则，就会产生严重的线性重合。

线性重合下的LSEt预测精确度很差，如何处理这一问题我们也放到以后解决。

二、分布滞后长度的确定如果真实滞后长度N未知，但它有上界M，那么如何选择N是一个基本的问题。

我们先谈一个简易法则，它称为分布滞后模型的特定估计（AdHocEstimation）。

因为假定X是非随机的，至少是与ε不相关的，X,X等等也是如此，所以可以应ttt?

2用普通最小二乘（OLS）。

我们可以作一个回归序列:

（1）Y对X回归;

tt

（2）Y对X、X回归;

ttt?

1（3）Y对X、X、X回归;

2„„这个过程一直进行到下列情况发生

就停止:

最后的滞后变量统计不显著;

或者最后的滞后变量符号与上一个回归方程相比发生改变。

Alt和Tinbergen将美国1930-1939年石油消费量Y对新订货量X作回归，以季度为滞后465

单位，采用AdHoc方法:

?

Y=8.37+0.171Xtt?

Y=8.27+0.111X+0.064Xtt-1t?

Y=8.27+0.109X+0.07

1X-0.055Xtt-1t-2t?

Y=8.32+0.108X+0.063X+0.022X-0.020Xtt-1t-2t-3t结果他们认为第二个回归方程是最好的。

因为第三、第四个方程里X的系数是不稳定的，t?

2此外系数为负对经济现象不好作出解释。

于是滞后长度就取1为合适。

这就是AdHoc估计与AdHoc方法。

下面的统计检验方法思想与上面的差不多，不过顺序正好相反。

因为分布滞后回归变量X，X„有自然顺序，我们就顺其自然建立一系列假设检验:

tt?

111H:

β=0?

H:

β?

00MaM22H:

0,β=00M?

1aM?

1M33H:

0,β=β=00M?

2aM?

2M?

1M„„iiH:

0,β=L=β=00M?

i+1aM?

i+1M?

i+2M这里每一个零假设检验都是在上一个零假设被接受的条件下进行的。

当某一零假设被拒绝，检验过程就停止。

2假设ε~N（0,σI），则可以用F检验或t检验。

下面我们构造统计量。

记α1XXLX?

10?

n+1?

β1XXLX?

021?

n+2β=,X=（10.2.4）nn?

MLL?

n?

TT?

S2SEn?

′σ=,S=（y?

Xβ）（y?

Xβ）（10.2.5）nSEnnnnnT?

2&

1&

β=（XX）XY（10.2.6）nnnni则检验第i个零假设H的似然比统计量可写作0S?

SSEM?

iSEM?

i+1λ=（10.2.7）i2σ?

M?

i+1466

12i如果假设H,H,L,H为真，则这个统计量服从自由度为（1,T?

M+i?

3）的F分布。

注000意M?

i+3正是滞后长度为M?

i+1的模型的参数个数。

除了F检验以外，对模型Y=Xβ+ε（10.2.8）M?

i+1中的最后系数β的显著性也可以用t检验。

M?

i+1如果使用上述假设检验过程，则滞后长度N依赖检验水平，更准确地说是依赖于控制犯第一类错误的概率。

所谓第一类错误是指零假设正确而被拒绝的错误。

然而，在一系列检验中，i2全部拒绝H的概率并不是恰在第i次检验中单个的显著性水平。

例如，当H为真时拒绝它00121i的概率应该是拒绝H或H的概率。

如果H，„，H为真，那么统计量λ,L,λ将有相00001i应的F分布，而λ可以被证明与λ,L,λ都独立。

应用基本的概率多除少补公式i1i?

1P（AUB）=P（A）+P（B）?

P（AB）可算得第i次检验时犯第一类错误的概率为p=P{λ&

F（1,T?

3+i）ULUλ&

2）}iiγi1γ1=P{λ&

3+i）}+iγiP{λ&

4+i）ULUλ&

2）}i?

1γ（i?

1）1γ1?

P{λ&

3+i）}iγi?

1）1γ1=γ+p?

γp=γ（1?

p）+p,i=1,2,Lii?

1ii?

1i?

11i这里γ是第i次个别检验的显著性水平，p=0。

全部概率是在H，„，H为真的条件下i000计算的，如果我们对每一个别检验使用同样的显著性水平，那么犯第一类错误的概率将会迅速增加。

例如，如果对所有k取γ=0.01k则p=0.01，p=0.0199，p=0.029701123等等。

实际上，如果最大的滞后长度M很大，那么合适的检验策略应该是在开始检验时取很小的显著性水平。

也就是说，犯第一类错误的概率应该被控制在一个合理的水平，即使滞后长度相当大的话。

467

算例10.2.2有限分布滞后模型原始数据共100个观察，自变量为1元，如

下表。

表10.2.2序号YX序号YX序号YX1-.0985.0739351.3980.2019

692.7891.569622.5138.8967364.2310.9423704.8810.87353-.8275.0203373.8855.8388713.0440.756241.1821.0684384.4633.9368722.0428.56365.9262.3585391.9477.321373.7279.153362.4641.5556402.2425.6748741.7162.763972.2399.7245411.6532.1058752.8040.788983.6225.4150423.0682.6750762.7111.499191.3987.0888431.8767.6057771.3276.1758102.6762.9597441.1603.4230781.2481.4498112.4671.326845.2905.0128792.2675.5261121.4037.071346.8379.7789802.4530.0359132.2836.850647.9048.2617813.0846.7595143.0689.9018481.9855.9705822.5924.5914151.2260.7672494.3127.8766832.6237.9440161.4753.8805501.6077.5075843.2225.9434171.8868.6952512.3510.300285-.1255.3479182.7819.764452.7831.6348863.5974.8374192.3368.4866534.0621.4658871.9880.1989202.3845.783954.9515.4570881.2730.5806212.5771.3054553.9985.7689893.6314.9075222.5453.476856.6632.2040903.3495.6540231.8029.338357.3977.0567912.0034.743424-.1072.6053582.9906.8021922.5205.6939253.5259.9940591.5791.2238931.0241.3734262.5074.3538601.3804.6952942.4878.952427.8473.4566613.1039.7836953.8875.380828-.2218.0036623.4001.9079962.1767.4961293.4271.862263

2.8314.8137972.5551.9264301.5897.392464-.8988.353598

3.8721.8940311.0131.4099651.4643.0211991.7053.416732

3.3436.7080663.8145.93521002.1483.0838333.5517.586867

2.7535.8799342.7500.959068.7671.3099依据书中第10章第2节,用AdHoc方法,确定分布滞后长度,同时计算回归模型。

下面468

是计算机输出的主要结果。

数据文件准备,第一列是因变量Y,第二列是

自变量X,滞后过程由程序自动完成。

例10.2.2.数据文件中,n=100,M=1现

在进行第1次回归,Y对X（t）,样本数N=n回归方程Y=.7366+2.5605X1残差平方和:

86.50回归平方和:

55.87

:

.8650标准差=.9301回归方程整体显著性F检方差的估计

验,H0:

b0=b1=0F统计量:

63.2940F临界值F（1,98）3.938全

相关系数R:

.6264现在进行第2次回归,Y对X（t）,X（t-1）,样

本数N=n-1要作滞后回归,需要决定自变量是往前移动还是往后移动。

第1列是X

（1）到X（N）,第2列是X

（2）到X（N+1）,第3列是X（3）到X（N+2）,等等,称往前移动。

第1列是X

（1）到X（N）,第2列是X（0）到X（N,1）,第3列是X（,1）到X（N,2）,等等,称往后移动。

选择移动参数为1（1=往前移动,,1=往后移动），来自过程控制参数集回归方程Y=.7094+2.6262X1+-.0389X2残差平方和:

85.00回归平方和:

57.37方差的估计:

.8586标准差

=.9266回归方程整体显著性F检验,H0:

b0=b1=...=b2=0F统计量:

32.3949F临界值F（2,96）3.091全相关系数R:

.6348计算

结束。

下面是第1次回归的拟合效果图，其全相关系数是0.6264。

第2次滞后回归的全相关系数是0.6348，拟合效果应该还有所改进。

图10.2.2.1三、有限多项式滞后为了消除线性重合的影响，Almon（1965）提出利用多项式来减少参数空间。

对于有限个点，比如说n+1个，可以用一个不超过n次的多项式来通过这些点。

如果降低多项式的阶数，保持曲线平滑，那么这个低阶多项式可以近似通过这些点。

469

为了说明Almon的多项式滞后方法，我们假定有4个滞后权系数β、β、β、β。

有0123一个多项式23P（n）=α+nα+nα+nα（10.2.9）0123使得2323β=α+0?

α+0?

α，β=α+1?

α+1?

α00123101232323β=α+2?

α+2?

α，β=α+3?

α+3?

α2012330123如果用矩阵形式记法就是βα?

1000?

00?

β1111α?

11=（10.2.10）?

β1248α22?

β13927α?

3?

或β=Wα（10.2.11）这里β、W、α定义已很明显。

此时多项式系数的数目等于滞后权系数的数目，没有什么约束关系强加于β。

对于任何向量β，存在向量α，使β=Wα成立。

因为W非奇异，故i?

1α=Wβ。

要使多项式的阶数减1，可使α=0，即3β?

100?

0?

α?

β111?

1=α（10.2.12）?

β1242?

2?

β139?

类似地，要使多项式阶数再减1，可取β?

β11α?

10=?

（10.2.13）?

β12α2?

β133?

一般地，如果滞后权系数β，β，β，„

β下降到Q阶多项式，即012NQβ=P（i）=α+αi+L+αi,i=0,1,L,N（10.2.14）i01Q则方程组可写为470

100L0?

αβ?

111L1?

112Q?

=122L2

（10.2.15）?

MM?

MMMOM?

αβQ?

Q?

1NNLN?

或写成（Q）β=Hα（10.2.16）Q（Q）因为α仅含Q+1个系数，我们已将参数空间从N+1维减至Q+1维。

换句话说，我们已经对参数作了N?

Q个约束。

将上式代入滞后模型Y=Xβ+ε（10.2.17）中，得（Q）（Q）Y=XHα+ε=Zα+εQ（10.2.18）（Q）这里Z=XH。

使用这个模型，α的最小二乘估计是Q（Q）?

α=（Z&

Z）Z&

Y

（10.2.19）而β的限制最小二乘（RestrictedLeastSquares,RLS）估计是（Q）?

β=H?

α=H（Z&

Y（10.2.20）2因此，如果我们假定模型被正确的指定，ε~N（0,σI），则（Q）（Q）2?

α~N（α,σ（Z&

Z