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对于必然事件SP(S)=1
nn
(3)可列可加性:
设Ai,A2,…,An是两两互不相容的事件,有P(UAk)=送P(Ak)(n可以取co)k二k4
2.概率的一些重要性质:
P(Ak)八P(Ak)(n可以取二)
(i)P()=0
(ii)若Ai,A2,…,代是两两互不相容的事件,则有
(iii)设A,B是两个事件若AB,贝UP(B-A)二P(B)-P(A),P(B)_P(A)
(iv)对于任意事件A,P(A)_1
(v)P(A)=1-P(A)(逆事件的概率)
(vi)对于任意事件A,B有P(AB)=P(A)P(B)-P(AB)
4等可能概型(古典概型)
等可能概型:
试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同
若事件a包含k个基本事件,即a=31]}卩{岂}U…Ug』,里
ii,i2,…,ik是1,2,…n中某k个不同的数,则有
p(AJP{e}二兰二A包含的基本事件数
'
丿二'
卫nS中基本事件的总数
5.条件概率
(1)
定义:
设a,b是两个事件,且P(A)A0,称P(B1A)=P(AB)为事件A发生的条件下事
P(A)
件B发生的条件概率
(2)
条件概率符合概率定义中的三个条件
1。
非负性:
对于某一事件B,有P(B|A)Z0
2。
规范性:
对于必然事件S,P(S|A)=1
oOoo
3可列可加性:
设Bi,B2,…是两两互不相容的事件,则有P(UBiA)=£
P(BiA)
i二Z
(3)
乘法定理设P(A)>
0,则有P(AB)=P(B)P(A|B)称为乘法公式
(4)
n
全概率公式:
P(A)=EP(Bi)P(A|Bi)
i二
P(Bk)P(A|Bk)贝叶斯公式:
P(BkIA)=n一
送P(Bi)P(A|Bi)
id
6.独立性
定义
设A,B是两事件,如果满足等式P(ABHP(A)P(B),则称事件a,b相互独立
定理一
设A,B是两事件,且P(A).0,若A,B相互独立,则P(B|A)二PB
定理二
若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:
A与B,A与B,A与B
第二章
随机变量及其分布
1随机变量
定义设随机试验的样本空间为S二{e}.X二X(e是定义在样本空间S上的实值单值函数,称
X=X(e)为随机变量
2离散性随机变量及其分布律
1.离散随机变量:
有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离
散型随机变量
od
P(X=Xk)=Pk满足如下两个条件
(1)Pk-0,
(2)VPk=1
7
2.三种重要的离散型随机变量
(1)分布
设随机变量X只能取0与1两个值,它的分布律是
k1k
P(X=k)=p(1-p)-,k=0,1(0:
:
p:
:
1),则称x服从以p为参数的分布或两点分布。
(2)伯努利实验、二项分布
设实验E只有两个可能结果:
A与A,则称E为伯努利实验.设P(A)二p(0:
p:
1),此时P(A)=1-p.将E独立重复的进行n次,则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。
fn、00
P(X=k)!
pkqn-k,k=0,1,2,…n满足条件
(1)Pk-0,
(2)、Pk=1注意到;
pkqn-k是二项式(p+q)n的展开式中出现pk的那一项,我们称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
(3)泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…,而取各个值的概率为
lke-^
P(X=k),k=0,1,2_,其中’0是常数,则称X服从参数为’的泊松分布记为
k!
3随机变量的分布函数
定义设X是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)=P{X_x},:
x:
称为X的分布函数
分布函数F(x)=P(X乞x),具有以下性质⑴F(x)是一个不减函数
(2)
Q<
F(x)乞1,且F(-:
)=0,F(:
)=1(3)F(x0)=F(x),即F(x)是右连续的
4连续性随机变量及其概率密度
连续随机变量:
如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数f(x),使对于任意函数x
x
有F(x)=[f(t)dt,则称x为连续性随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度
4^0
1概率密度f(x)具有以下性质,满足
(1)f(x)_0,
(2)「f(x)dx=1;
P(X!
_X_x2)f(x)dx;
(4)若f(x)在点x处连续,则有F(x)=f(x)
xi
2,三种重要的连续型随机变量
(1)均匀分布
记为X~U(a,b)
(2)指数分布
数为n的指数分布
(3)正态分布
(X」
f(x)=
2.?
——
e,-:
:
x:
其中」,;
「(;
「0)为常数,则称X服从参数为」,匚的正态分布或高斯分布,记为
特别,当」=0,;
丁=1时称随机变量X服从标准正态分布
5随机变量的函数的分布
定理设随机变量X具有概率密度fx(x),-:
X:
二,又设函数g(x)处处可导且恒有g'
(x)0,
第三章多维随机变量
1二维随机变量
F(x,y)=P{(X_x)-(Y_y)}记成P{X_x,Y_y}称为二维随机变量(X,Y)的分布
函数
如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)是离散型的随机变量。
我们称P(X二Xi,丫=yj)二Pj,i,j=1,2,为二维离散型随机变量(x,y)的分布律。
对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负可积函数f(x,y),使对于任
yx
意X,y有F(x,y).f(u,v)dudv,则称(X,Y)是连续性的随机变量,函数f(x,y)
-oO
称为随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度。
2边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数F(x,y).而X和Y都是随机变量,各自
也有分布函数,将他们分别记为Fx(x),Fy(y),依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于y的边
缘分布函数。
□0co
Pipij=P{X=Xi},i=1,2,…Pj八Pj二p{yj=1,2,…分
别称Pi.Pj为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。
fY(y)为X,Y关于X和关于Y的边缘概率密度。
3条件分布
P{X=心丫=yj}Pj
则称p{X=人Y=yj}==」,i=1,2,…为在Y=yj条件下随机
P{Y=yj}p划
P{X=Xi,Y=yj}Pj
变量X的条件分布律,同样P{Y=yjX=Xj}==二,j=1,2,…为在
P{X=x}Pi*
X=Xi条件下随机变量X的条件分布律。
设二维离散型随机变量(X,丫)的概率密度为f(x,y),(X,丫)关于y的边缘概率密度为fY(y),
若对于固定的y,f丫(y)〉0,则称f(x,y)为在Y=y的条件下X的条件概率密度,记为
fY(y)
4相互独立的随机变量定义设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数及边缘
分布函数.若对于所有x,y有P{X=x,Y=y}=P{X兰x}P{Y<
y},即F{x,y}=Fx(x)Fy(y),
则称随机变量X和Y是相互独立的
对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数P=0
5两个随机变量的函数的分布
1,Z=X+Y的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度f(x,y).则Z=X+Y仍为连续性随机变量,其
概率密度为fXY(z)=f(z-y,y)dy或fXY(z)=f(x,z-x)dx
又若X和Y相互独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fx(x),fY(y)则
qQqQ
fxy(z)=fx(z-y)fY(y)dy和fxy(z)=fx(x)fY(z-x)dx这两个公式称为
fx,fY的卷积公式
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布
Y
2,Z的分布、Z=XY的分布
仍为连续性随机变量其概率密度分别为
Q0O01z
fY.(zWjxf(x,xz)dxfXY⑵“弔f(x,;
)dx又
若X和Y相互独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fx(x),fY(y)则可化为
O0
fYx(z)=__:
fx(x)fY(xz)dx
3M=max{X,Y}及N二min{X,Y}的分布
设x,y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x),Fy(y)由于M二max{X,Y}
不大于z等价于x和y都不大于z故有P{M乞z}=P{X岂z,丫乞z}又由于x和y相互独立,得到
M=max{X,Y}的分布函数为Fmax(z)二Fx(z)Fy(z)
N=min{X,Y}的分布函数为Fmin(z)=1—匕—Fx(z)M—Fy(z)I
第四章随机变量的数字特征
1•数学期望
C30
定义设离散型随机变量X的分布律为P{X二Xk}二Pk,k=1,2,…若级数7XkPk绝对收敛,则
k」
E(X),即E(X)八XkPk
i
oO
称级数7XkPk的和为随机变量X的数学期望,记为
k4
设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分.]xf(x)dx绝对收敛,则称积分
oq"
bo
xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望,记为E(X),即E(X)二xf(x)dx
定理设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数)
(i)如果X是离散型随机变量,它的分布律为P{X二Xk}二Pk,k=1,2,…若vg(xk)pk绝对收敛
则有E(Y)=E(g(X))八g(Xk爪
(ii)如果X是连续型随机变量,它的分概率密度为f(x),若_g(x)f(x)dx绝对收敛则有
E(Y)=E(g(X))=.;
g(x)f(x)dx
数学期望的几个重要性质
1设C是常数,则有E(C)=C
2设X是随机变量,C是常数,则有E(CX)=CE(X)
3设x,y是两个随机变量,则有E(XY^E(X)E(Y);
4设X,Y是相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y)
2方差
定义设X是一个随机变量,若E{LX-E(X)f}存在,则称E{[X-E(X)f}为X的方差,记为D(x)即D(x)=E{X…E(X)F},在应用上还引入量.D(x),记为匚(x),称为标准差或均方差。
D(X)=E(X一E(X))2=E(X2)—(EX)2
方差的几个重要性质
1设C是常数,则有D(C)=0,
2
2设X是随机变量,C是常数,则有D(CX)=CD(X),D(XC^D(X)
3设x,Y是两个随机变量,则有D(X,Y)=D(X)-D(Y)-2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}特别,若x,Y相互独立,则有D(XYHD(X)D(Y)
4D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X),即P{X=E(X)}=1
切比雪夫不等式:
设随机变量X具有数学期望E(X)-;
「2,则对于任意正数;
,不等式
3协方差及相关系数
定义量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)二E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)
++
对于任意两个随机变量
X和y,D(XY)=D(X)D(Y)2Cov(X,Y)
协方差具有下述性质
1Cov(X,Y)二Cov(Y,X),Cov(aX,bY)二abCov(X,Y)
2Cov(XiX2,Y)=Cov(Xi,Y)Cov(X2,Y)
定理1「XY<
1
2*=1的充要条件是,存在常数a,b使P{Y=a•bx}=1
当*=0时,称X和Y不相关
附:
几种常用的概率分布表
分布
参数
分布律或概率密度
数学期
望
方差
两点分布
0£
p£
1
P{X=k)=pk(1—p)1_k,k=0,1,
p
P(1-p)
二项式分
布
n31
0cpc1
p(x=k)=CnP(1—p)」,k=0,1,…n,
np
nP(1-p)
泊松分布
>
0
)ke-人
P(X=k)=e,k=0,1,2,…k!
人
k
几何分布
pc1
P(X=k)=(1—p)k」p,k=1,2,…
1p
1-p
2p
均匀分布
acb
f(x)i
r"
1K,acxcbb—a,
i0,其他
a+b
(b-a)2
12
指数分布
9>
1n日
f/、」:
e'
x>
f(x)=」8
[0,其他
Q
萨
正态分布
P
CT>
._(x_h2
f(x)=r^^e卅v2兀口'
a2
第五章大数定律与中心极限定理
1•大数定律
弱大数定理(辛欣大数定理)设X]X2…是相互独立,服从统一分布的随机变量序列,并具有数学期望
定义设Y,丫Yn…是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任意正数呂,有
limP{Yn—a<总=1,则称序列£
%,…Yn…依概率收敛于a,记为Yn—Ja
伯努利大数定理设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,
2中心极限定理
定理一(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2厂'
Xn相互独立,服从同一分布,且具有
数学期望和方差E(XJ=」,D(Xk)-;
「2(k=i,2,…),则随机变量之和7Xk标准化变量
i=1
z
X
k-E(、Xk)
Xk打
k土
k仝
i=1
.n二
J
DCXk)
k吕
定理二(李雅普诺夫定理)
设随机变量X1,X2,…,Xn…相互独立,它们具有数学期望和方差
II2f2=2
E(Xk)=f,D(XQ0,k=1,2…记Bn八;
k¥
布,则对任意x,有町p'
^np諾肘x}込矗产咕%)
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