算法设计与分析习题解答16章Word格式.docx
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while(low<
high&
&
b[high]>
=prvotkey)
--high;
b[low]=b[high];
b[low]<
=prvotkey)
++low;
b[high]=b[low];
}
b[low]=b[0];
returnlow;
voidqsort(intl[],intlow,inthigh)
intprvotloc;
if(low<
prvotloc=partions(l,low,high);
//将第一次排序的结果作为枢轴
qsort(l,low,prvotloc-1);
//递归调用排序由low到prvotloc-1
qsort(l,prvotloc+1,high);
//递归调用排序由prvotloc+1到high
voidquicksort(intl[],intn)
qsort(l,1,n);
//第一个作为枢轴,从第一个排到第n个
intmain()
inta[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};
intvalue=0;
//将最小差的值赋值给value
for(intb=1;
b<
11;
b++)
cout<
<
a[b]<
'
'
;
endl;
quicksort(a,11);
for(inti=0;
i!
=9;
++i)
if((a[i+1]-a[i])<
=(a[i+2]-a[i+1]))
value=a[i+1]-a[i];
else
value=a[i+2]-a[i+1];
value<
return0;
4.设数组a[n]中的元素均不相等,设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素,并说明最坏情况下的比较次数。
#include<
intmain()
{
inta[]={1,2,3,6,4,9,0};
intmid_value=0;
//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它
for(inti=0;
=4;
if(a[i+1]>
a[i]&
a[i+1]<
a[i+2])
{
mid_value=a[i+1];
cout<
mid_value<
break;
}
elseif(a[i+1]<
a[i+1]>
cout<
}//for
5.编写程序,求n至少为多大时,n个“1”组成的整数能被2013整除。
doublevalue=0;
for(intn=1;
n<
=10000;
++n)
value=value*10+1;
if(value%2013==0)
"
n至少为:
break;
}
}//for
return0;
6.计算π值的问题能精确求解吗?
编写程序,求解满足给定精度要求的π值
intmain()
doublea,b;
doublearctan(doublex);
//声明
a=16.0*arctan(1/5.0);
b=4.0*arctan(1/239);
cout<
"
PI="
<
a-b<
endl;
return0;
doublearctan(doublex)
inti=0;
doubler=0,e,f,sqr;
//定义四个变量初
sqr=x*x;
e=x;
while(e/i>
1e-15)//定义精度范围
f=e/i;
//f是每次r需要叠加的方程
r=(i%4==1)?
r+f:
r-f;
e=e*sqr;
//e每次乘于x的平方
i+=2;
//i每次加2
}//while
returnr;
7.圣经上说:
神6天创造天地万有,第7日安歇。
为什么是6天呢?
任何一个自然数的因数中都有1和它本身,所有小于它本身的因数称为这个数的真因数,如果一个自然数的真因数之和等于它本身,这个自然数称为完美数。
例如,6=1+2+3,因此6是完美数。
神6天创造世界,暗示着该创造是完美的。
设计算法,判断给定的自然数是否是完美数
intvalue,k=1;
cin>
>
value;
for(inti=2;
=value;
while(value%i==0)
k+=i;
//k为该自然数所有因子之和
value=value/i;
if(k==value)
该自然数是完美数"
else
该自然数不是完美数"
8.有4个人打算过桥,这个桥每次最多只能有两个人同时通过。
他们都在桥的某一端,并且是在晚上,过桥需要一只手电筒,而他们只有一只手电筒。
这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。
每个人走路的速度是不同的:
甲过桥要用1分钟,乙过桥要用2分钟,丙过桥要用5分钟,丁过桥要用10分钟,显然,两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度,问题是他们全部过桥最少要用多长时间?
由于甲过桥时间最短,那么每次传递手电的工作应有甲完成
甲每次分别带着乙丙丁过桥
例如:
第一趟:
甲,乙过桥且甲回来
第二趟:
甲,丙过桥且甲回来
甲,丁过桥
一共用时19小时
9.欧几里德游戏:
开始的时候,白板上有两个不相等的正整数,两个玩家交替行动,每次行动时,当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差,而且这个数字必须是新的,也就是说,和白板上的任何一个已有的数字都不相同,当一方再也写不出新数字时,他就输了。
请问,你是选择先行动还是后行动?
为什么?
设最初两个数较大的为a,较小的为b,两个数的最大公约数为factor。
则最终能出现的数包括:
factor,factor*2,factor*3,...,factor*(a/factor)=a.一共a/factor个。
如果a/factor是奇数,就选择先行动;
否则就后行动。
习题4
1.分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关,试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。
2.证明:
如果分治法的合并可以在线性时间内完成,则当子问题的规模之和小于原问题的规模时,算法的时间复杂性可达到O(n)。
O(N)=2*O(N/2)+x
O(N)+x=2*O(N/2)+2*x
a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a*O(N/2)+(a+1)*x
由此可知,时间复杂度可达到O(n);
3.分治策略一定导致递归吗?
如果是,请解释原因。
如果不是,给出一个不包含递归的分治例子,并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。
不一定导致递归。
如非递归的二叉树中序遍历。
这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是:
应用了栈这个数据结构。
4.对于待排序序列(5,3,1,9),分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。
归并排序:
(5,3)(1,9);
(3,5,1,9);
第三趟:
(1,3,5,9);
快速排序:
第一趟:
5(,3,1,9);
//5为哨兵,比较9和5
第二趟:
5(1,3,,9);
//比较1和5,将1挪到相应位置;
第三趟:
5(1,3,,9);
//比较3和5;
第四趟:
(1,3,5,9);
5.设计分治算法求一个数组中的最大元素,并分析时间性能。
//简单的分治问题
//将数组均衡的分为“前”,“后”两部分
//分别求出这两部分最大值,然后再比较这两个最大值
externconstintn=6;
inta[n]={0,6,1,2,3,5};
//初始化
intmid=n/2;
intnum_max1=0,num_max2=0;
i<
=n/2;
++i)//前半部分
if(a[i]>
num_max1)
num_max1=a[i];
for(intj=n/2+1;
j<
n;
++j)//后半部分
if(a[j]>
num_max2)
num_max2=a[j];
if(num_max1>
=num_max2)
数组中的最大元素:
num_max1<
num_max2<
时间复杂度:
O(n)
6.设计分治算法,实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置,要求时间复杂性为O(n),空间复杂性为O
(1)。
例如,对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。
//采用分治法
//将数组分为0-k-1和k-n-1两块
//将这两块分别左移
//然后再合并左移
voidLeftReverse(char*a,intbegin,intend)
(end-begin+1)/2;
i++)//交换移动
inttemp=a[begin+i];
a[begin+i]=a[end-i];
a[end-i]=temp;
voidConverse(char*a,intn,intk)
LeftReverse(a,0,k-1);
LeftReverse(a,k,n-1);
LeftReverse(a,0,n-1);
i++)
a[i]<
chara[7]={'
a'
'
b'
c'
d'
e'
f'
g'
};
Converse(a,7,3);
7.设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。
intdata[100];
//在m个数中输出n个排列数(n<
=m)
voidDPpl(intnum,intm,intn,intdepth)
{
if(depth==n)
{
i++)
data[i]<
}
for(intj=0;
m;
j++)
if((num&
(1<
j))==0)
{data[depth]=j+1;
DPpl(num+(1<
j),m,n,depth+1);
DPpl(0,5,1,0);
DPpl(0,5,2,0);
DPpl(0,5,3,0);
DPpl(0,5,4,0);
DPpl(0,5,5,0);
8.设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。
参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现
9.在有序序列(r1,r2,…,rn)中,存在序号i(1≤i≤n),使得ri=i。
请设计一个分治算法找到这个元素,要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。
//在有序数组中
//采用二分法查找符合条件的元素
voidFindnum(int*a,intn)
intlow=0;
inthigh=n-1;
while(low<
=high)
intmid=(low+high)/2;
if(a[mid]==mid)
这个数是:
a[mid]<
elseif(a[mid]>
mid)
high=mid-1;
low=mid+1;
inta[7]={1,0,2,5,6,7,9};
Findnum(a,7);
时间复杂度为O(log2n)。
10.在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。
请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。
//先对序列进行快速排序
//再进行一次遍历
//输出众数的重复次数
inta[10]={1,2,3,5,3,3,3,2,5,1};
intcount=0;
intmax=0;
//max表示出现的次数
qsort(a,0,10);
while(i<
10)
intj;
j=i+1;
if(a[i]=a[j]&
count++;
i++;
if(count>
max)
max=count;
count=0;
重复次数:
max<
时间复杂度nlog(n)
11.设M是一个n×
n的整数矩阵,其中每一行(从左到右)和每一列(从上到下)的元素都按升序排列。
设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中,并分析算法的时间复杂性。
12.设S是n(n为偶数)个不等的正整数的集合,要求将集合S划分为子集S1和S2,使得|S1|=|S2|=n/2,且两个子集元素之和的差达到最大。
//先用快速排序进行一趟排序
//如果s1(大的数集)的的个数大于n/2
//将(i<
=n/2-low-1)个最小的数排到后面
//如果s1(大的数集)的的个数小于n/2
//将s2(小的数集)n/2-low-1排到前面
//将排好的数组的前n/2个数赋值给s1
//将排好的数组的后n/2个数赋值给s2
constintn=8;
voidpartions(inta[],intlow,inthigh)
//进行一趟快排
intprvotkey=a[low];
a[0]=a[low];
a[high]<
a[low]=a[high];
a[low]>
a[high]=a[low];
a[low]=prvotkey;
if(low>
=n/2)
=n/2-low-1;
for(intj=0;
n-i;
++j)
if(a[j]<
a[j+1])
{
inttemp=a[j];
a[j]=a[j+1];
a[j+1]=temp;
}//for
}//if
else
for(intk=n-1;
k<
++k)
if(a[k]>
a[k-1])
inttemp1=a[k];
a[k]=a[k-1];
a[k-1]=temp1;
inta[n]={1,3,5,9,6,0,-11,-8};
partions(a,0,n-1);
if(i<
4)
属于子集s1的:
属于子集s2的:
13.设a1,a2,…,an是集合{1,2,…,n}的一个排列,如果i<
j且ai>
aj,则序偶(ai,aj)称为该排列的一个逆序。
例如,2,3,1有两个逆序:
(3,1)和(2,1)。
设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。
//用归并进行排序
//当一个子集的一个数大于第二个子集的一个数,为逆序,即a[i]>
a[j]
//则逆序数为end-j+1;
intcount;
voidMerge(inta[],inta1[],intbegin,intmid,intend)//合并子序列
inti=begin,j=mid+1,k=end;
while(i<
=mid&
=end)
if(a[i]<
=a[j])
a1[k++]=a[i++];
//取a[i]和a[j]中较小者放入r1[k]
a1[k++]=a[j++];
count+=(end-j+1);
=mid)
a1[k++]=a[i++];
while(j<
voidMergeSort(inta[],intbegin,intend)
intmid,a1[1000];
if(begin==end)
return;
mid=(begin+end)/2;
MergeSort(a,begin,mid);
MergeSort(a,mid+1,end);
Merge(a,a1,begin,mid,end);
inta[6]={6,5,4,3,2,1};
MergeSort(a,0,6);
count<
14.循环赛日程安排问题。
设有n=2k个选手要进行网球循环赛,要求设计一个满足以下要求的比赛日程表:
(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次;
(2)每个选手一天只能赛一次。
采用分治方法。
将2^k选手分为2^k-1两组,采用递归方法,继续进行分组,直到只剩下2个选手时,然后进行比赛,回溯就可以指定比赛日程表了
15.格雷码是一个长度为2n的序列,序列中无相同元素,且每个元素都是长度为n的二进制位串,相邻元素恰好只有1位不同。
例如长度为23的格雷码为(000,001,011,010,110,111,101,100)。
设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。
//构造格雷码
#inc
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