高中数学选修11《变化率与导数》教案一Word文档格式.docx
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2.通过几何画板演示,使学生对概念的理解更直观,生动。
五、教学过程设计
1.创设情境、引入新课
教师介绍:
微积分的创立是数学发展的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要方法和手段。
在本章中,学生将通过大量的实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,那么,我们先来研究变化率的问题,引出新课。
设计意图:
充分挖掘章引言的教学价值,它说明了三方面的问题:
首先,简明的指出了函数和微积分的关系;
其次,概述了微积分的创立史及它的地位;
第三,概述本章的学习内容。
2.实例探索,引出概念
问题1:
大家可能有过吹气球的经验。
在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢。
这个过程中的自变量和函数值分别是谁?
试建立它们之间的函数关系,从数学角度如何描述上述变化过程呢?
通过分析生活实例,提炼数学模型,为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。
师生活动:
回忆吹气球的过程(或者让学生现场吹气球),建立半径r关于体积V的函
数关系:
r(V)?
r(V2)?
r(V1)
。
通过观察和计算,用数据解释上述现象,并通过几何画板演示,更逼真的
V2?
V1
感受上述现象。
图1直观地演示了当球的体积增大(黑色部分面积变大,绿色越来越薄)时,半径增大越来越小。
图2演示当A,B两点向右运动时,自变量的增量保持不变,但是平均变化率越来越小。
图1
问题2怎样才能更准确的描述运动员的运动状态呢?
分析实例,抽象数学模型,为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景,并使学生初步感受平均变化率的不足,激发进一步探求新知的欲望。
问题2
中的平均变化率计算公式v?
h(t2)?
h(t1)
t2?
t1
并借助于几何画给予直观解释。
3.分析归纳,得到概念
问题3对比问题1和问题2中的平均变化率计算关系式,他们有什么共同特点?
对于一般函数f(x),如何计算其平均变化率?
让学生结合两个实例,对比、分析,抽象概括出一般形式,经历由特殊到一般的数学过程。
学生讨论,分析,归纳根据前面的实例,得到结论:
f(x2)?
f(x1)称为函数f(x)从x1到x2的平均变化定义:
一般地,函数y=f(x)中,式子21f(x2)?
f(x1)?
y率,则?
x2?
x1?
x
其中△x、△y的值可正、可负,但△x值不能为0,△y的值可以为0。
x?
若函数f(x)为常函数时,△y=0。
变式:
f(x)?
f(x)f(x?
?
x)?
f(x)
?
x?
x
2
1
21
问题4观察函数f(x)的平均变化率,结合直线的斜率分析平均
x1
y?
变化率的几何意义是什么?
图4
从几何角度得到平均变化率的几何意义,体现数形结合的思想。
r(v0?
v)?
r(v0)。
?
v?
0?
vlim
问题8对于一般函数f(x)在x?
x0处的瞬时变化率如何表示呢?
引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得出函数在某点处的瞬时变化率,即导数,帮助学生实现认识上的飞跃。
在前面两个问题的基础上提出导数的概念:
一般地,函数f(x)在x?
x0处的瞬时变化率是:
lim
y?
|f?
(x0)?
lim称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f?
(x0)或x?
x,即:
00?
0f(x?
Δx)?
f(x)?
lim?
x?
x00?
0f(x0?
f(x0).?
5.自主归纳,提升认识
问题9:
通过本节课的学习你有哪些收获?
通过小结帮助学生自行构建知识体系,理清知识脉络,更好地理解本节课的知识和思想方法。
在学生自主小结的基础上揭示函数思想、逼近思想方法,概念形成过程中的抽象概括。
六、目标检测设计
1.将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品,需要对原油进行冷却和加热。
如果
2?
在第xh时候,原油温度(单位:
c)为f(x)?
7x?
15(0?
8)。
(1)计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它的意义。
(2)计算第3h和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它的意义。
2.已知一个物体运动的位移(m)与时间t(s)满足关系S(t)=-2t2+5t
(1)求物体第5秒和第6秒的瞬时速度。
(2)求物体在t时刻的瞬时速度。
(3)求物体t时刻运动的加速度,并判断物体作什么运动?
目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型,建立各学科之间的联系,更深刻地把握事物变化的规律。
高中数学选修1-1《变化率与导数》教案【二】
教学准备
1.教学目标
(1)理解平均变化率的概念.
(2)了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.
(3)理解导数的概念
(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率.
2.教学重点/难点
教学重点:
瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解
教学难点:
会求简单函数y=f(x)在x=x0处的导数
3.教学用具
多媒体、板书
4.标签
教学过程
一、创设情景、引入课题
【师】十七世纪,在欧洲资本主义发展初期,由于工场的手工业向机器生产过渡,提高了生产力,促进了科学技术的快速发展,其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【板演/PPT】
【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
米)与起跳后的时间t(单位:
秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:
欲知结论怎样,让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究
[1]变化率问题
【合作探究】
探究1气球膨胀率
【师】很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:
L)与半径r(单位:
dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
【活动】
【分析】
当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为
(1)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为
0.62>
0.16
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
解析:
探究2高台跳水
【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
秒)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
(请计算)
【生】学生举手回答
【活动】学生觉得问题有价值,具有挑战性,迫切想知道解决问题的方法。
【师】解析:
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
【设计意图】两个问题由易到难,让学生一步一个台阶。
为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。
探究3计算运动员在
这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
【活动】师生共同归纳出结论
平均变化率:
上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示,那么问题中的变化率可用式子
我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.
习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1),于是,平均变化率可以表示为:
【几何意义】观察函数f(x)的图象,平均变化率的几何意义是什么?
探究2当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.
从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1m/s.
为了表述方便,我们用xx表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.
【瞬时速度】
我们用
表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
那么,运动员在某一时刻的瞬时速度?
【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想:
△t越小,V越接近于t=2秒时的瞬时速度。
探究3:
(1).运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?
(2).函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?
导数的概念:
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作
或,
【总结提升】
由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:
[3]例题讲解
例题1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:
)为y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:
在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是
在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;
在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.
[4]本节课知识总结
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
(2)计算平均变化率
3、求物体运动的瞬时速度:
(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求极限
4、由导数的定义可得求导数的一般步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0
)
(2))平均变化率
三、复习总结和作业布置
[1]课堂练习
1.函数y=f(x)的自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为()A.f(x0+Δx)B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·
Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
2.若一质点按规律s=8+t2运动,则在时间段2~2.1中,平均速度是()A.4B.4.1
C.0.41D.-1.13.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.
课堂练习【参考答案】
1.D
分别写出x=x0和x=x0+Δx对应的函数值f(x0)和f(x0+Δx),两式相减,就得到了函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故应选D.
2.B
3.解析:
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 变化率与导数 高中数学 选修 11 变化 导数 教案