创新设计一轮复习 第八章 第6节文档格式.docx
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线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系
c2=a2+b2
[微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e===.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程-=1(mn>
0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线-=λ(m>
0,n>
0,λ≠0)的渐近线方程是±
=0.( )
(5)若双曲线-=1(a>
0)与-=1(a>
0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )
解析
(1)因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部.
(3)当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m<0,n<0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√ (5)√
2.(选修2-1P62A6改编)经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.
解析 设双曲线方程为:
x2-y2=λ(λ≠0),把点A(3,-1)代入,得λ=8,故所求双曲线方程为-=1.
答案 -=1
3.(选修2-1P61A1改编)已知双曲线x2-=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于________.
解析 设双曲线的焦点为F1,F2,|PF1|=4,则||PF1|-|PF2||=2,故|PF2|=6或2,又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c-a=-1,故|PF2|=6.
答案 6
4.(2018·
浙江卷)双曲线-y2=1的焦点坐标是( )
A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上,又c2=a2+b2=3+1=4,所以c=2,故焦点坐标为(-2,0),(2,0).
答案 B
5.(2017·
全国Ⅲ卷)双曲线-=1(a>
0)的一条渐近线方程为y=x,则a=________.
解析 由题意可得=,所以a=5.
答案 5
6.(2018·
北京卷)若双曲线-=1(a>
0)的离心率为,则a=________.
解析 由题意可得,=,即a2=16,又a>
0,所以a=4.
答案 4
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】
(1)已知F1,F2为双曲线C:
x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )
A.B.C.D.
(2)(2019·
济南调研)已知圆C1:
(x+3)2+y2=1和圆C2:
(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
解析
(1)由x2-y2=2,知a=b=,c=2.由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|=2|PF2|,
∴|PF1|=4,|PF2|=2,
在△PF1F2中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得
cos∠F1PF2==.
(2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
答案
(1)C
(2)x2-=1(x≤-1)
规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;
2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.
【训练1】
(1)已知双曲线C:
0)的离心率为2,左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C上,若△AF1F2的周长为10a,则△AF1F2的面积为( )
A.2a2B.a2
C.30a2D.15a2
杭州质检)双曲线C的渐近线方程为y=±
x,一个焦点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为( )
A.8B.10C.4+3D.3+3
解析
(1)由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上,由e==2,得c=2a,∴△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+4a,又△AF1F2的周长为10a,∴|AF1|+|AF2|=6a,又∵|AF1|-|AF2|=2a,
∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,在△AF1F2中,|F1F2|=4a,
∴cos∠F1AF2=
==.
又0<
∠F1AF<
π,∴sin∠F1AF2=,
∴S△AF1F2=|AF1|·
|AF2|·
sin∠F1AF2=×
4a×
2a×
=a2.
(2)由已知得双曲线方程为-=1,设双曲线的另一个焦点为F′,则|PF|=|PF′|+4,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF′|+4+|PA|+3,当F′,P,A三点共线时,|PF′|+|PA|有最小值,为|AF′|=3,故△PAF的周长的最小值为10.
答案
(1)B
(2)B
考点二 双曲线的标准方程
【例2】
(1)(2017·
全国Ⅲ卷)已知双曲线C:
0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
(2)(2018·
天津卷)已知双曲线-=1(a>
0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
解析
(1)由题设知=,①
又由椭圆+=1与双曲线有公共焦点,
易知a2+b2=c2=9,②
由①②解得a=2,b=,则双曲线C的方程为-=1.
(2)由d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线-=1(a>
0)的离心率为2,所以=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为-=1.
答案
(1)B
(2)C
规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:
设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.
2.与双曲线-=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0).
【训练2】
(1)(2019·
海南二模)已知双曲线C:
0)过点(,),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是( )
A.-y2=1B.-=1
C.x2-=1D.-=1
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±
3y=0,且双曲线经过点P(,2),则双曲线的方程为________________.
解析
(1)由双曲线C:
0)过点(,),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得解得
∴双曲线C的标准方程是x2-=1.
(2)由双曲线的渐近线方程为y=±
x,
可设双曲线方程为-=λ(λ≠0).
因为双曲线过点P(,2),所以-=λ,λ=-,
故所求双曲线方程为-=1.
答案
(1)C
(2)-=1
考点三 双曲线的性质
多维探究
角度1 求双曲线的渐近线
【例3-1】(一题多解)(2018·
全国Ⅱ卷)双曲线-=1(a>
0)的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.y=±
xB.y=±
C.y=±
xD.y=±
解析 法一 由题意知,e==,所以c=a,所以b==a,即=,所以该双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
x.
法二 由e===,得=,所以该双曲线的渐近线方程为y=±
答案 A
角度2 求双曲线的离心率
【例3-2】
(1)(2018·
全国Ⅲ卷)设F1,F2是双曲线C:
0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( )
A.B.2C.D.
泰安联考)已知双曲线C1:
0),圆C2:
x2+y2-2ax+a2=0,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A.B.
C.(1,2)D.(2,+∞)
解析
(1)不妨设一条渐近线的方程为y=x,则F2到y=x的距离d==b,在Rt△F2PO中,|F2O|=c,所以|PO|=a,所以|PF1|=a,又|F1O|=c,所以在△F1PO与Rt△F2PO中,根据余弦定理得cos∠POF1==-cos∠POF2=-,则3a2+c2-(a)2=0,得3a2=c2,所以e==.
(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±
x,即bx±
ay=0,圆C2:
x2+y2-2ax+a2=0可化为(x-a)2+y2=a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=a,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得<
a,即c>
2b,即c2>
4b2,又知b2=c2-a2,所以c2>
4(c2-a2),即c2<
a2,所以e=<
,又知e>
1,所以双曲线C1的离心率的取值范围为.
答案
(1)C
(2)A
角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题
【例3-3】已知M(x0,y0)是双曲线C:
-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·
<
0,则y0的取值范围是( )
C.D.
解析 因为F1(-,0),F2(,0),-y=1,所以·
=(--x0,-y0)·
(-x0,-y0)=x+y-3<
0,即3y-1<
0,解得-<
y0<
.
规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由==1+直接求e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【训练3】
(1)(2019·
上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:
0)的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切,则C的离心率为( )
(2)已知焦点在x轴上的双曲线+=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.
解析
(1)双曲线C的渐近线方程为by±
ax=0,结合图形易知与圆相切的只可能是by-ax=0,又圆心坐标为(2,1),则=1,得3a=4b,
所以9a2=16b2=16(c2-a2),则e2=,
又e>
1,故e=.
(2)对于焦点在x轴上的双曲线-=1(a>
0),它的一个焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为=b.本题中,双曲线+=1即-=1,其焦点在x轴上,则解得4<
m<
8,则焦点到渐近线的距离d=∈(0,2).
答案
(1)B
(2)(0,2)
[思维升华]
1.与双曲线-=1(a>
0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为-=t(t≠0).
2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程-=0就是双曲线-=1(a>
0)的两条渐近线方程.
[易错防范]
1.双曲线方程中c2=a2+b2,说明双曲线方程中c最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆.
2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1,
+∞)这个前提条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.
3.双曲线-=1(a>
0)的渐近线方程是y=±
x,-=1(a>
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.(2019·
郑州模拟)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( )
2x
解析 因为2b=2,所以b=1,因为2c=2,所以c=,所以a==,所以双曲线的渐近线方程为y=±
2.双曲线C:
0)的一个焦点为F,过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,且交y轴于B,若A为BF的中点,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
解析 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为,故双曲线C的离心率e==.
3.(2018·
0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A.B.2C.D.2
解析 法一 由离心率e==,得c=a,又b2=c2-a2,得b=a,所以双曲线C的渐近线方程为y=±
x.由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C的渐近线的距离为=2.
法二 离心率e=的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是y=±
x,∴点(4,0)到C的渐近线的距离为=2.
答案 D
4.(2019·
天津和平区一模)已知双曲线-=1(a>
0)的离心率为,过右焦点F作渐近线的垂线,垂足为M.若△FOM的面积为,其中O为坐标原点,则双曲线的方程为( )
A.x2-=1B.-=1
解析 由题意可知e==,可得=,
取一条渐近线为y=x,
可得F到渐近线y=x的距离d==b,
在Rt△FOM中,由勾股定理可得|OM|===a,由题意可得ab=,
联立解得
所以双曲线的方程为-=1.
答案 C
5.已知F2,F1是双曲线-=1(a>
0)的上、下两个焦点,过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的渐近线方程为( )
解析 根据双曲线的定义,可得|BF1|-|BF2|=2a,
∵△ABF2为等边三角形,∴|BF2|=|AB|,∴|BF1|-|AB|=|AF1|=2a,又∵|AF2|-|AF1|=2a,∴|AF2|=|AF1|+2a=4a,∵在△AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,∠F1AF2=120°
,∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·
|AF2|cos120°
,即4c2=4a2+16a2-2×
=28a2,亦即c2=7a2,则b===a,由此可得双曲线C的渐近线方程为y=±
二、填空题
6.直线l:
y=2x+10过双曲线-=1(a>
0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为_________________________________.
解析 由题意得一个焦点为F(-5,0),c=5,=2,
又a2+b2=c2,所以a2=5,b2=20,
所以双曲线方程为-=1.
7.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________.
解析 a2=9,b2=16,故c=5.∴A(3,0),F(5,0),不妨设直线BF的方程为y=(x-5),代入双曲线方程解得B.∴S△AFB=|AF|·
|yB|=·
2·
=.
答案
8.(2019·
梅州质检)已知双曲线C:
0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点,直线PO,PF2分别交双曲线C左、右支于M,N.若|PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=60°
,则双曲线C的离心率为________.
解析 由题意,|PF1|=2|PF2|,由双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1O|=|F2O|,|PO|=|MO|,得四边形PF1MF2为平行四边形,又∠MF2N=60°
,可得∠F1PF2=60°
,在△PF1F2中,由余弦定理可得,4c2=16a2+4a2-2·
4a·
2a·
cos60°
,即4c2=20a2-8a2,c2=3a2,可得c=a,所以e==.
三、解答题
9.(2019·
安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线的方程;
(2)(一题多解)若点M(3,m)在双曲线上,求证:
·
=0.
(1)解 ∵e=,
∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴双曲线的方程为x2-y2=6,即-=1.
(2)证明 法一 由
(1)可知,a=b=,
∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),
∴kMF1=,kMF2=,
kMF1·
kMF2==-.
∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,
故kMF1·
kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴·
法二 由
(1)可知,a=b=,∴c=2,
∴F1(-2,0),F2(2,0),
=(-2-3,-m),=(2-3,-m),
∴·
=(3+2)×
(3-2)+m2=-3+m2,
∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,
10.设A,B分别为双曲线-=1(a>
0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.
解
(1)由题意知a=2,
∵一条渐近线为y=x,即bx-ay=0.
∴由焦点到渐近线的距离为,得=.
又∵c2=a2+b2,∴b2=3,
∴双曲线的方程为-=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),其中x0≥2.
又+=t,即(x1,y1)+(x2,y2)=t(x0,y0),
则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程y=x-2代入双曲线方程-=1得x2-16x+84=0,其中Δ=(16)2-4×
84>
0,
则x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12.
∴解得
∴t=4,点D的坐标为(4,3).
能力提升题组
20分钟)
11.(2019·
河南适应测试)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>
0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为,则双曲线的渐近线方程为( )
2xB.y=±
解析 不妨设P为双曲线右支上一点,则|PF1|>
|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角,故∠PF1F2=.
由余弦定理,可得=,即(a-c)2=0,所以c=a,则b=a,所以双曲线的渐近线方程为y=±
12.已知点F为双曲线E:
0)的右焦点,直线y=kx(k>
0)与E交于不同象限内的M,N两点,若MF⊥NF,设∠MNF=β,且β∈,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.[,+]B.[2,+1]
C.[2,+]D.[,+1]
解析 如图,设左焦点为F′,连接MF′,NF′,令|MF|=r1,|MF′|=r2,则|NF|=|MF′|=r2,
由双曲线定义可知r2-r1=2a①,∵点M与点N关于原点对称,且MF⊥NF,∴|OM|=|ON|=|OF|=c,∴r+r=4c2②,
由①②得r1r2=2(c2-a2),又知S△MNF=2S△MOF,
∴r1r2=2·
c2·
sin2β,∴c2-a2=c2·
sin2β,
∴e2=,又∵β∈,∴sin2β∈,
∴e2=∈[2,(+1)2].
1,∴e∈[,+1].
13.(2018·
北京卷)已知椭圆M:
+=1(a>
b>
0),双曲线N:
-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;
双曲线N的离心率为________.
解析 设椭圆的右焦点为F(c,0),双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A,
由题意可知A,由点A在椭圆M上得,+=1,∴b2c2+3a2c2=4a2b2,∵b2=a2-c2,∴(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),∴4a4-8a2c2+c4=0,∴e-8e+4=0,∴e=4±
2,∴e椭=+1(舍去)或e椭=-1,∴椭圆M的离心率为-1.∵双曲线的渐近线过点A,∴渐近线方程为y=x,∴=,故双曲线的离心率e双==2.
答案 -1 2
14.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:
y=kx+与双曲线C
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