中考数学专项复习16《二次函数的应用》练习 浙Word格式.docx
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(1)求二次函数的解析式;
(2)求△BOD内切圆的面积;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△BOP的面积等于
?
如果存在,那么这样的点有几个?
如果不存在,请说明理由.
4.如图1.已知抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,A点坐标为(﹣2,0),B的坐标为(4,0).直线l过B,C两点.点P是线段BC上的一个动点(点P不与B,C两点重合).在点P运动过程中,始终有一条过点P且和y轴平行的直线也随之运动,该直线与抛物线的交点为M,与x轴的交点为N.
(1)①求出抛物线的函数表达式;
②直接写出直线l的函数表达式;
(2)若直线MN把△OBC的面积分成1:
3的两部分,求出此时点P的坐标.
(3)如图2,①连接BM,CM,设△MBC的面积是S,在点P的运动过程中,S是否存在最大值?
若存在,请求出这个最大值;
②当△MBC的面积最大时,直线MN上另有一动点E,在坐标平面内是否存在点F,使以点A,P,E,F为顶点的四边形为菱形?
若存在,请直接写出点F的坐标;
5.如图1,已知在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)设△COB沿x轴正方向平移t(0<t≤3)个单位长度时,△COB与△CDB重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围;
考生请注意:
下面的(3),(
4),(5)题为三选一的选做题,即只能选做其中一个题目,多答时只按作答的首题评分,切记哟!
(3)点P是x轴上的一个动点,过点P作直线l∥AC交抛物线与点Q,试探究:
随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;
若不存在,请说明理由;
(4)设点Q是y轴右侧抛物线上异于点B的点,过点Q做QP∥x轴交抛物线于另一点P,过P做PH⊥x轴,垂足为H,过Q做QG⊥x轴,垂足为G,
则四边形QPHG为矩形.试探究在点Q运动的过程中矩形QPHG能否成为正方形?
若能,请直接写出符合条件的点Q的坐标;
若不能,请说明理由;
(5)试探究,在y轴右侧的抛物线上是否存在一点Q,使△QDC是等腰三角形?
若存在,请直接写出符合条件的点Q坐标;
6.如图,抛物线m:
y=﹣
x2+
x+4与x轴交于点A、B,顶点为M(3,
),将抛物线m绕点B旋转180°
得到新的抛物线n,此时A点旋转至E点,M点旋转至D点.
(1)求A、B点的坐标;
(2)求抛物线n的解析式;
(3)若点P是线段ED上一个动点(E点除外),过点P作y轴的垂线,垂足为F,连接EF.如果P点的坐标为(x,y),△PEF的面积为s,求s与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围;
如果s有最大值,请求出s的最大值,如果没有请说明理由;
(4)设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G,以G为圆心,A、B两点的距离为直
径作⊙G,试判断直线CM与⊙G的位置关系,并说明理由.
7.如图,已知二次函数y=﹣(x+1)(x﹣m)的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,且图象经过点M(2,3).
(2)求ABC的面积;
(3)在抛物线的对称轴上找一点H,使AH+CH最小,并求出点H的坐标.
8.如图,抛物线y=ax2+bx+4的对称轴是直线x=
,与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,并且点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,连接AD交y
轴于点E,连接AC,设△AEC的面积为S1,△DEC的面积为S2,求S1:
S2的值.
(3)点F坐标为(6,0),连接DF,在
(2)的条件下,点P从点E出发,以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动;
点Q从点F出发,以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动,当其中一点到达终点时,另外一点也随之停止运动.若点P、Q同时出发,设运动时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形?
请直接写出所有符合条件的t值.
9.已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3)在
(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?
若P点存在,求出P点的坐标;
若P点
不存在,请说明理由.
10.如图,直线x=﹣4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=﹣4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:
BD=1:
3.
(1)求点A的坐标;
(2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.
11.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣4,0),B(﹣1,3),C(﹣3,3)
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设此二次函数的对称轴为直线l,该图象上的点P(m,n)在第三象限,其关于直线l的对称点为M,点M关于y轴的对称点为N,若四边形OAPN的面积为20,求m、n的值.
12.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣8交y轴于点A,交x轴正半轴于点B.
(1)求直线AB对应的函数关系式;
(2)有一宽度为1的直尺平行于y轴,在点A、B之间平行移动,直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ,设M点的横坐标为m,且0<m<3.试比较线段MN与PQ的大小.
13.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=
.
(2)M是线段AB上的任意一点,当△MBC为
等腰三角形时,求M点的坐标.
14.如图,已知抛物线y=
(x﹣2)(x+a)(a>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线过点M(﹣2,﹣2),求实数a的值;
(2)在
(1)的条件下,解答下列问题;
①求出△BCE的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,直接写出点H的坐标.
15.如图,顶点为A的抛物线y=a(x+2)2﹣4交x轴于点B(1,0),连接AB,过原点O作射线OM∥
AB,过点A作AD∥x轴交OM于点D,点C为抛物线与x轴的另一个交点,连接CD.
(1)求抛物线的解析式(关系式);
(2)求点A,B所在的直线的解析式(关系式);
(3)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动,设点P运动的时间为t秒,问:
当t为何值时,四边形ABOP分别为平行四边形?
等腰梯形?
(4)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动,同时动点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动时间为t秒,连接PQ.问:
当t为何值时,四边形CDPQ的面积最小?
并求此时PQ的长.
16.如图,抛物线C1:
y=(x+m)2(m为常数,m>0),平移抛物线y=﹣x2,使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,设点D的横坐标为a.
(1)如图1,若m=
①当OC=2时,求抛物线C2的解析式;
②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?
若存在,求出a的值;
(2)如图2,当OB=2
﹣m(0<m<
)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).
17.如图,在平面直角坐标系中,己知点O(0,0),A(5,0),B(4,4).
(1)求过O、B、A三点的抛物线的解析式.
(2)在第一象限的抛物线上存在点M,使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大,求点M的坐标.
(3)作直线x=m交抛物线于点P,交线段OB于点Q,当△PQB为等腰三角形时,求m的值.
18.给定直线l:
y=kx,抛物线C:
y=ax2+bx+1.
(1)当b=1时,l与C相交于A,B两点,其中A为C的顶点,B与A关于原点对称,求a的值;
(2)若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线l′,则无论非零实数k取何值,直线l′与抛物线C都只有一个交点.
①求此抛物线的解析式;
②若P是此抛物线上任一点,过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点,O为原点.求证:
OP=PQ.
19.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A(﹣3,0),B(0,﹣3)两点,二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A.
(1)求一次函数y=kx+b的解析式;
(2)若二次函数y=x2+mx+n图象的顶点在直线AB上,求m,n的值;
(3)当﹣3≤x≤0时,二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣4,求m,n的值.
20.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A,交y轴于点B,已知经过点A,B的直线的表达式为y=x+3.
(1)求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标;
(2)如图①,点P(m,0)是线段AO上的一个动点,其中﹣3<m<0,作直线DP⊥x轴,交直线AB于D,交抛物线于E,作EF∥x轴,交直线AB于点F,四边形DEFG为矩形.设矩形DEFG的周长为L,写出L与m的函数关系式,并求m为何值时周长L最大;
(3)如图②,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使点A,B,Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形?
若存在,直接写出所有符合条件的点Q的坐标;
21.已知:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),B(3,0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)如图①,点P是直线BC上方抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交直线BC于点E.是否存在一点P,使线段PE的长最大?
若存在
,求出PE长的最大值;
(3)如图②,过点A作y轴的平行线,交直线BC于点F,连接DA、DB.四边形OAFC沿射线CB方向运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,当点C与点B重合时立即停止运动.设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S,请求出S与t的函数关系式.
22.如图,抛物线y=ax2+
x+c与x轴
交于点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴
交于点C,连接AC,点M是线段OA上的一个动点(不与点O、A重合),过点M作MN∥AC,交OC于点N,将△OMN沿直线MN折叠,点O的对应点O′落在第一象限内,设OM=t,△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S.
(2)①当点O′落在AC上时,请直接写出此时t的值;
②求S与t的函数关系式;
(3)在点M运动的过程中,请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值.
23.如图1,在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°
,∠yOC=45°
,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O′C′,与OA相交于G,如图2,求经过G,O,B三点的抛物线的解析式;
(3)现有一动点P在
(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在△POB的面积S=8的情况?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
24.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°
,OA=
,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2,
),与y轴交于点D.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?
请说明理由;
(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.
25.已知抛物线l:
y=ax2+bx+c(a,b,c均不为0)的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称以N为顶点,对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线,直线MN为抛物线l的衍生直线.
(1)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 ,衍生直线的解析式是 ;
(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求这条抛物线的解析式;
(3)如图,设
(1)中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行,再沿y轴向上平移1个单位得直线n,P是直线n上的动点,是否存在点P,使△POM为直角三角形?
若存在,求出所有点P的坐标;
26.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合).
(1)求∠OBC的度数;
(2)连接CD、BD、DP,延长DP交x轴正半轴于点E,且S△OCE=S四边形OCDB,求此时P点的坐标;
(3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值.
27.如图,二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P
,Q同时从A
点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;
(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请求出E点坐标;
(3)当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标.
28.如图,矩形OABC的顶点A(2,0)、C(0,2
).将
矩形OABC绕点O逆时针旋转30°
.得矩形OEFG,线段GE、FO相交于点H,平行于y轴的直线
MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D,连结MH.
(1)若抛物线l:
y=ax2+bx+c经过G、O、E三点,则它的解析式为:
;
(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;
(3)在
(1)
(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)运动,设△PQH的面积为s,当
时,确定点Q的横坐标的取值范围.
29.如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣
x2+12的图象与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点B在点C的左侧),连接AB,AC.
(1)点B的坐标为 ,点C的坐标为 ;
(2)过点C作射线CD∥AB,点M是线段AB上的动点,点P是线段AC上的动点,且始终满足BM=AP(点M不与点A,点B重合),过点M作MN∥BC分别交AC于点Q,交射线CD于点N(点Q不与点P重合),连接PM,PN,设线段AP的长为n.
①如图2,当n<
AC时,求证:
△PAM≌△NCP;
②直接用含n的代数式表示线段PQ的长;
③若PM的长为
,当二次函数y=﹣
x2+12的图象经过平移同时过点P和点N时,请直接写出此时的二次函数表达式.
30.已知抛物线经过A(﹣2,0),B(0,2),C(
,0)三点,一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动,连接BP,过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(2)当BQ=
AP时,求t的值;
(3)随着点P的运动,抛物线上是否存在一点M,使△MPQ为等边三角形?
若存在,请直接写t的值及相应点M的坐标;
若不存在,请说明理由
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