完整版信息光学习题答案及解析docWord下载.docx
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0,当n为偶数时,右边=2
2n)
所以当n为偶数时,左右两边相等。
1.3证明
(sinx)
根据复合函数形式的
δ函数公式
xi),
[h(x)]
h(xi)
i1
式中xi是h(x)=0
的根,h(xi)表示h(x)在x
xi
处的导数。
于是
comb(x)
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1.4计算图题
1.1所示的两函数的一维卷积。
设卷积为
g(x)。
当-1≤x≤0时,如图题
1.1(a)
所示,
1
)d
x3
g(x)
(1)(1x
3
6
图题1.1
当0<
x≤1时,如图题1.1(b)所示,
)(1
x3
(1
1x
1x3,
即
11x
1x3,
0x1
0,
其它
1.5
计算下列一维卷积。
(1)
(2x3)rectx1
(2)rectx1
rectx1
(3)comb(x)rect(x)
(1)(2x3)rectx1
1rectx
2.5
(2)设卷积为g(x),当x≤0时,如图题1.2(a)所示,
g(x)
x2
当0<
x时,如图题1.2(b)所示
图题1.2
g(x)
(3)comb(x)
rect(x)1
1.6已知exp(
x2)的傅立叶变换为exp(
2),试求
(1)expx2
?
(2)
exp
x2/2
设y
x,
z
exp(
y2)
2)
由坐标缩放性质
f(ax,by)
得
F
b
ab
a
y2/
z2)
y2/2
2z2)
exp(2
1.7
计算积分.
(1)
sinc4
xdx
(2
sinc2xcosxdx
应用广义巴塞伐定理可得
(1)sinc2(x)sinc2(x)dx
(
)(
)d
)2d
sinc2(x)cos
xdx
()
1.8应用卷积定理求
f
sinc
xsinc2x的傅里叶变换.
当
sinc(x)sinc(2x)sinc(x)sinc(2x)1rect()rect
22
1.3(a)所示,
时,如图题
G()
2du
1.3(b)所示,
12du1
G()
当13时,如图题1.3(c)所示,
G(
1du
2G(ξ)的图形如图题
1.3(d)所示,由图可知
3/2
41/2
4
图题1.3
1.9
设fx
,
0,求
fx
fxdx
x)
x)exp(
x)dx
j2x)dx
x)dx
(2)2
(2
)2
1.10
设线性平移不变系统的原点响应为
hx
xstepx,试计算系统对阶跃
函数stepx的响应.
由阶跃函数定义
1,x0
step(x)得
0,x0
线性平移不变系统的原点响应为
hxexpxstepxexpx,x0
所以系统对解阶跃函数stepx的响应为
g(x)step(x)h(x)exp[(x)]d1exp(x),x0
1.11有两个线性平移不变系统,它们的原点脉冲响应分别为h1xsincx和
h2xsinc3x.试计算各自对输入函数fxcos2x的响应g1x和g2x.
1.12已知一平面波的复振幅表达式为
U(x,y,z)Aexp[j(2x3y4z)]
试计算其波长λ以及沿x,y,z方向的空间频率。
设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式
U(x,y,z)aexp(jk?
r)aexp[jk(xcosycoszcos)]
由题可知,kcos
2,kcos
3,kcos
又因为cos2
cos2
所以k
29
波长为
k29
沿x,y,z方向的空间频率为
cos
1,
3,
1.13单色平面波的复振幅表达式为
U
x,y,z
Aexp
j
2y
3z
14
求此波在传播方向的空间频率以及在
x,y,z方向的空间频率.
设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式
U(x,y,z)
aexp(jk?
r)
aexp[jk(xcos
ycoszcos)]
kcos
2,
k
沿x,y,z方向的空间频率为
第三章
光学成像系统的传递函数
3.1参看图3.1.1,在推导相干成像系统点扩散函数
(3.1.5)式时,对于积分号前的相位
因子
expj
k2
xi2
yi2
x0
y0
M2
2d0
2d0
试问:
(1)物平面上半径多大时,相位因子
x02
y02
相对于它在原点之值正好改变π弧度?
(2)设光瞳函数是一个半径为
a的圆,那么在物平面上相应
h的第一个零点的半径是
多少?
(3)由这些结果,设观察是在透镜光轴附近进行,那么
a,λ和do之间存在什么关系
时可以弃去相位因子
expjk
(1)由于原点的相位为零,于是与原点相位差为π的条件是
(xo2
yo2)
kro2
ro
do
2do
(2)根据
h(xo,yo;
xi,yi)
P(x,y)exp
[(xi
Mxo)x
(yi
Myo)y]dxdy
2dodi
di
~
)y]
dxdy
2dodi
xo)x(yi
yo
di
相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样,其中心位于理想像点
(xo,yo)
h(xo,yo
;
xi
yi)
P(x,y)exp
]dxdy
2dodi
xo
yo)
circ
r
aJ1(2a
B
2dodi
式中r
x2
y2,而
yi
在点扩散函数的第一个零点处
J1(2a
o)0,此时应有
ao
3.83,即
o
0.61
(2)
将
(2)式代入
(1)式,并注意观察点在原点
(xi
0),于是得
ro
(3)
(3)根据线性系统理论,
像面上原点处得场分布,
必须是物面上所有点在像面上的点扩
散函数对于原点的贡献h(xo,yo;
0,0)。
按照上面的分析,如果略去
h第一个零点以外的影
响,即只考虑
h的中央亮斑对原点的贡献,那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近
do/a范围内的小区域。
当这个小区域内各点的相位因子
exp[
jkro2
/2do]变化不
大,而降它弃去。
假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度
(例如π/16)就满足以上要求,
则kro2/2do
ro2
do/16,也即
16
a2.44do
(4)
例如λ=600nm,do=600mm,则光瞳半径a≥1.46mm,显然这一条件是极易满足的。
3.2一个余弦型振幅光栅,复振幅透过率为
txo,yo11cos2foxo
放在图3.1.1所示的成像系统的物面上,用单色平面波倾斜照明,平面波的传播方向在xoz平
面内,与z轴夹角为θ。
透镜焦距为f,孔径为D。
(1)求物体透射光场的频谱;
(2)使像平面出现条纹的最大θ角等于多少?
求此时像面强度分布;
(3)若θ采用上述极大值,使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少?
与θ=0时
的截止频率比较,结论如何?
(1)斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp(jkx0,sin),为确定起见
设θ>
0,则物平面上的透射光场为
Uo(xo,yo)Aexp(jkxo,sin)t(xo,yo)
A
sin
j2xofo
j2xo
其频谱为
A(,){Uo(xo,yo)}
fo
由此可见,相对于垂直入射照明,物频谱沿ξ轴整体平移了
θ/λ距离。
(2)欲使像面有强度变化,至少要有两个频谱分量通过系统。
系统的截至频率
cD/4f,于是要求
D,
D
fo
4f
由此得
θ角的最大值为
max
arcsin
此时像面上复振幅分布和强度分布为
Ui(xi,yi)
Aexp
[1
1exp(
j2xi
fo)]
Ii(xi,yi)
A2
5
cos2
fox
(3)照明光束的倾角取最大值时,由
(1)式和
(2)
式可得
或
fomax
θ=0时,系统的截止频率为
c
D/4
f,因此光栅的最大频率
比较(3)和(4)式可知,当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍,
也就提高了
系统的极限分辨率,但系统的通带宽度不变。
3.3光学传递函数在
0处都等于
1,这是为什么?
光学传递函数的值可能大于
1吗?
如果光学系统真的实现了点物成点像,这时的光学传递函数怎样?
在
HI(
hI(xi
yi)exp[
j2(xi,
yi)]dxidyi
(,)
HI(0,0)
hI(xi,yi)dxidyi
式中,令
hI(xi,yi)
h(xi,yi)
hI(xi,yi)dxidyi
为归一化强度点扩散函数,因此
(1)式可写成
h(xi,yi)exp[j2(xi,yi)]dxidyi
而(0,0)1h(xi,yi)dxidyi
即不考虑系统光能损失时,认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上,着便
是归一化点扩散函数的意义。
(2)不能大于1。
(3)对于理想成像,归一化点扩散函数是δ函数,其频谱为常数1,即系统对任何频率的传递都是无损的。
3.4当非相干成像系统的点扩散函数hIxi,yi成点对称时,则其光学传递函数是实函
数.
解:
由于hI(xi,yi)是实函数并且是中心对称的,即有hI(xi,yi)
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